де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 70
Текст из файла (страница 70)
1Х, 9 8. 9. Исходя иЪ приведенного в задаче 8 выражения для а,(ам справедливого при т (1, и учитывая также численные значения, указанные в задаче 7, доказать, что в случае Ь = 0 имеем а~ (( аь если ~ ио ~ < 8 см сея '. Этот результат также упоминался в гл. 1Х, $8. Задачи !О. Используя выражения, приведенные в задаче 2, и результаты за. дачи 6, показать, что для с )) 1 ( до~де ! 1 ( вагаб р ~ а+ Ь вЂ” 4+ 2 так что инерционным членом можно пренебречь по сравнению с членом дгаб и, на что указывалось в гл. 1Х, 9 8. К главе Х 1. Доказать, что формула (10.150) остается справедливой при налнчи внешнего магнитного поля, К главе Х7 1.
Доказать, что угол между направлением потока тепла и градиентом температуры в эффекте Риги — Ледюка (см. гл. Х1, 91) дается выражение 1»у 1 агс1д ~ — — ~. хх вас .м-'.в ь м. аметим, что эта формула преобразования имеет иной вид, чем соответствующая формула преобразования (11.41) для Аа и Аа. б. Доказать соотношение 0ау= 0ах др используя (11.51) для гс и у, а также (11.54). 6. Из (11.67) следует с (Ас) 1 (Ас) 1 с Вывести из втой формулы с помощью (11.47) соотношение и-1 л-1 с ч~ с с %~ с Рс — Х Рису = !»и — Х Р с) /=! /=1 (1, й = 1, 2,..., л — 1), которое эквивалентно (11.70).
2. Показать, что соотношение 0а» = Т 11 а А р" и аналогичное соотношение с индексом 5 вместо индекса а могут быть преобразованы одно в другое на основе трансформационных свойств матриц С, 1. и А(см. гл. Х1, 9 2). 3. Показать что из выражений (11.23) и (11.32), (11.33) для интенсивности источника знтропии при использовании весовых множителей ил = ела (т. е. при выборе .относительных потоков", отмеченных индекссм г вместо а) следует, что А = О, где 1) — единичная матрица.
Далее на основе этого результата найтй выражение (11.34) для А из соотношения (11.45) и (11.49), считая Ь = г. 4. Доказать, что .молярная" (и — 1)-мерная матрица В связана с анааь аь логичной „массовой" матрицей В соотношением Задачи если использовать то обстоятельство, что механическое равновесие выполняется всюду в системе, т.
е. для произвольного вектора г с компонентами х, у и л. 13. Доказать тождество дс 1,о — = — В др р на основании (11.53), (11.129) при а; = сь д; = рго; и х; = р;, а также результата (11.136) и соотношения 0~~= 0 ". (дх/ду) (см. задачу 5), выбирая о;=ров у;=р; и х;=си 14. Доказать для идеальной смеси, что (р"),.
= — 'Ь; (1, 1=1, 2,...,п — 1), (рл') = 1„[ — '[(р") = — лл (а л+Л' (о — ел)[ у (-„м)- ~(~,м)-' (АО)-') „ где верхний индекс — 1 означает обратную матрицу. Заметим, что последняя матрица симметрична. 15. Доказать для идеальной газовой смеси, что 1ч "уг» = — 7, (пав;л — лглл) (й А=1,2, ...,и — 1). 16. Существуют другие формы выражения (11.175) для интенсивности источника энтропии во вращающейся системе; и 1 — т Уел (~'г+ 2 [ечм] — рол (оэ'т'+2 [эы1) — (ягаб рл) ), 1=1 и 1 а= урло [( тг+2[о'м)) — (дгабМт а=1 и и где ол = ~~~~~ алел — произвольная средняя скорость, а оо = ~~~~ р о е„— л 1 а=1 средняя объемная скорость.
Вывести зти выражения. 17. Доказать, что для равной нулю объемной скорости ос имеем тождество л-1 а-1 Задачи Заметим, что левая часть этого равенства входит в (11.175), а правая часть — в (13.158). !8. Доказать, что где Аэ — матрица (11.34) с а,= р.о.. Заметим, что левая часть равенства входит в (11.177), а выражения, содержащие правую часть, использовались в гл. Х!П, 5 8.
19. Тензоры феноменологических коэффициентов, описывающих диффузию во вращающихся системах (см. гл. Х1, 2 6), имеющих произвольную анизотропию, удовлетворяют соотношениям Онсагера вида (см. (4.60)] ~р(ю)=Е»;( — м) (г', а=1, 2, ..., и — 1) где ю — угловая скорость вращения. Для симметричной (индекс э) и анти- симметричной (индекс а) частей этих декартовых тензоров имеем соотношения Ц (Оъ) = (.э»1( — щ) (Л а=1, 2, ..., и — 1), $.~~~( ) = — Ц~ ( — ) (Л й=1, 2,..., и — 1). Проверить, что для изотропной системы в ю-поле тензор Ц» четен, а тензор 1." нечетен по ю.
Показать, что соотношения Онсагера при этом принимают вид 1.»(ы)=(-»;(м) (й й=1, 2, ..., и — 1). Для изотропной системы все тензоры имеют форму, аналогичную 11.13). Благодаря этому число коэффициентов уменьшается от 9(п — 1)' до (п — 1)'. Показать, что соотношения Онсагера уменьшают далее число независимых коэффициентов до ('/э) п(п — 1). 20. Доказать, что теплопроводность к' для бинарной системы положительна. Доказать то же самое для многокомпонентной системы. В 21. Доказать, что тепло переноса О~ (см.
гл. Х1, $ 7) равно отношению дополняющих миноров Е~ и Еэч в детерминанте (н строк, л стотбцов) из всех феноменологических коэффициентов Ечч, Е»ч, 7. » и Е;» (ю', Л = 1, 2, ..., и — 1). 22. Доказать. что абсолютные величины переноса, введенные в гл. Х1, $7, связаны между собой следующим образом: в ю* ч)», эбс О», абс+ ~» Ф Э Ю~, вбс 'ч».
абс Р» », абс 7 э» 7 23. Доказать, что для многокомпонентной химически реагирующей системы Яр Л а-':Ь, где Зр означает след матрицы, а Л, а и Ь были определены в гл. Х1, 3 8. 438 Задачи 24. Для многокомпонентной системы с одной химической реакцией (г = 1) пз результатов задачи 23 следует (в обозначениях гл. Х1, 9 8): Л,=а:Ь=1п ~~~ ч~ч а,„.
6 а=1 Показать, что отсюда следует соотношение (11.353) для бинарной системы (и = 2). 25. Показать, что градиент температуры в бинарной системе (и = 2) с одной химической реакцией (см. гл. Х1, 6 8) дается выражением Исследовать это выражение, строя график его зависимости от пространственной координаты х для различных значений Н, от 0 (химическое равновесие) до со (отсутствие химической реакции).
26. Локазать методами гл. Х1, 6 8, что теплопроводность многокомпонентиой системы без химических реакций дается формулой — = ( — „) с*.с*=( — „) с а-' с. Показать, что из этого результата вытекают соотношения (11.343) и (11.359) для бинарной системы. 27. Показать, что характеристическая глубина д„ введенная в гл. Х1, 6 8, посредством соотношения связана с величинами 1, о В, кг и к, характеризующими необратимый процесс. 28. Произвести переход (см. гл.
Х1, 6 8) от величин переноса а, „а, м аг, и аг 2 к величинам переноса к, О', О" и с), не используя соотношений Онсагера. Показать, что при этом получаем 21 уг 1ас 1й1 + (а1 2+ и2 1) й1й2+ а2 2й21 1 П' = (а, гс,й, + аг,с,й, — а,,сгйг — а,,с,й,), с,с,,Т' 1 Оч = — — — (аг гс,йг+а, гс,й, — аг,сгйг — а,,сгй!) с,сггТ с Р11 ш В = — 1а1 1С2 (а| 2+а2 1) стс2+а22С!1' сггТ Показать, что из соотношения Онсагера ага=а,, следует соотношение Онсагера В' = В", как и должно быть при линейных преобразованиях потоков и термодинамических сил, 29. Показать, что для многокомпонентной системы с химическими реакциями теплопроводность к (х), определяемая соотношением дТ (х) / = — к(х)— дх Задачи где у — приведенный поток тепла, дается выражением л ( г л ~~ Ьг — й %ч ! * с)г (2х/г/л) Ст ! 1 г=! л=! л=г+! и Г члт Ьг — /г Ч~~ ( с(г (2х/г/л)1 ! * 1 г=! Ф=! Ф ко = ко и (в объеме) к =к ~1 й Тг = — (й (а,,+аг г) с, — (а,, + а,,) с, гЛ/г ) а,, + йа! э+ аз г /г (а г, + а, г) + йг (а, г + аг г) ) .
Р Заметим, что как ко, так и к не зависят от координаты х. 32. Доказать, что тенлопроводность к' (х) бинарной системы с одной химической реакцией при произвольной скорости химической реакцщг Р можно выразить через ко, к, к, агг, аг и х следующим образом: к'(х) = к(х) 1 — 1 — — ' 1— Показать, что предельные выражения для случаев отсутствия химической реакции и химического равновесия следуют из этого результата. 33. Доказать, что (приведенная) теплопроводность бинарной системы с одной химической реакцией при химическом равновесии есть к' = Л+рсгс,/Л й/г, выражая обе стороны этого равенства через а,, а,, = а, и аг г [слг.
задачу 31 и формулы (11.369) и (11.370)). Выписать также общий коэффициент к'(х), приведенный в задаче 32, как функцию Л, О', О и /! ! Указание. Использовать (3.24), (11.280), (11.305), (11.324), (11.32б) и (П.328). 30. Теплопроводность к' (х) бинарной (а = 2) с!!стены с одной химической реакцией (г =!) определяется соотношением (аг г+агг) с, — (а,, +а,,) сг /г/г/1 с(г (2х/г/г)~ ~ а;, +2а, г+а,г lг ! с)г(г//г/г) где Ь/г = /гг — Ьэ Вывести это соотношение из результатов задачи 29 и выражений для О ! и сг, приведенных в гл. Х1, 9 8.
31. Доказать с помощью результата задачи 30, что в предельных случаях г(! = со (отсутствие химической реакции) и аг! = 0 (химическое равновесие) теплопроводность к'(х) бинарной системы с одной химической реакцией имеет значения Задачи 34. Вывести формулу а к = — (Ь, (а~ ~+а, т)+ Ьт(а,, + а, т)], которая справедлива для бинарной системы с одной химической реакцией при химическом равновесии, из соотношения / = — к угад 7', оо соотношений (11.282), (11.283), соотношения Гиббса — Дюгема и условия химического равновесия ф, = ф, (т. е. обращения в нуль химического сродства А).
35. Условие (11.313) химического равновесия для бинарной системы с одной химической реакцией есть ф;=О. С помощью соотношения (11.306) и свойств 0 показать, что зта формулировка эквивалентна условию обращения в нуль химического сродства А = Т ч',;ф,= Т,(ф,— ф,). ~ =1 36. Показать, что вследствие справедливости соотношения Онсагера ,0' = В" поток тепла У для бинарной системы без химических реакций в момент времени 1=0 (теплопроводность )(; см. гл.
Х1, 6 7) равен приведенному потоку тепла / для бинарной системы с одной химической реакцией при химическом равновесии и в стационарном состоянии (тепло-. У проводность к задачи 33). 37. Доказать, что соотношение (11.390) можно записать при помощи к, а. и а, з и ат я в виде Ьс, (Т15) к — (11Т) (И,а,, +(й, + йт) а, т+ Ьта2 т] ЬТ (н~ 1/ет) (с~атт+(с1 — ст) а|я — сза11) если выразить величины переноса в виде функций от а, „а,, и а,а. 38. Доказать соотношение ассад с, с, ЬЬ с йтад Т исыТ которое справедливо для бинарной системы с одной химической реакцией при химическом равновесии, исходя из условия химического равновесия ф, = ф1 (равенство нулю химического сродства) ').
39. Найти к и к (теплопроводности при химическом равновесии) как функции ), В' и П (см. (11.376) и задачу 33], используя результат задачи 38 / в феноменологических уравнениях для 7 и 7 ° Доказать также, что при химическом равновесии справедливо соотйошение .У> —— — ~'8 + рс,с 0' йгад Т. Р11 ') 1. Рг(по81пе, й, Виезз, Ви(1. Асад. йоу. Ве1д., С1. Зс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
