Базаров И.П. Термодинамика (1185106), страница 70
Текст из файла (страница 70)
е. из уравнения 5 )Уьз ( 2 32 Г( )г) ' ~ъ1Т ~~) (3) В предельном случае адиабатного смешения двух порций тождественного газа (из=т, =ш) выражение для внутренней энергии системы найдем из формулы (1), учитывая при этом происходящий скачок плотности: ,уь з (13= 1пп Ув=ЗЛЧгТ~ 1Ч-— 16 (г(кт(гТ)'" л1и-гл1г( (4) 328 Из формул (2) и (4) замечаем, что при адиабатном смешении двух одинаковых порций одного и того же газа температура, как следовало ожидать, не изменяется.
Таким образом, при переходе от адиабатного смешения сколь угодно близких квантовых идеальных газов к смешению тождественных газов изменение температуры смешения испытывает скачок, определяемый уравнением (3). Этот парадокс для температуры при апиабатном смешении квантовых идеальных газов обусловлен скачком плотности газа при переходе от смешения сколь угодно близких газов к смешению тождественных газов. Найденное же изменение температуры при адиабатном смешении квантовых идеальных газов является чисто квантовым эффектом, Нетрудно убедиться, что при втором виде смешения, когда плотность газа изменяется непрерывно, изменение температуры при адиабатном смешении квантовых идеальных газов также изменяется непрерывно при переходе к смешению тождественных газов. Заметим, что в отличие от парадокса Эйнштейна, который отсутствует при адиабатном смешении вырожденных газов, парадокс Гиббса имеет место и в этом случае.
3.36. Процесс расширения газа в пустоту является необратимым, поэтому, несмотря на его адиабатность, энтропия газа цри этом увеличивается (й5=5,— 5,>0). Учитывая, что энтропия является однозначной функцией состояния, изменение энтропии Ло при необратимом процессе можно найти, переводя систему из начального состоянии в конечное каким-либо равновесным путем и определяя Ь5 по этому пути. В данном случае в качестве такого пути можно взять изотермический процесс, поскольку температуры начального и конечного состояний одинаковы (так как одинаковы внутренние энергии, а они от объема Т газа не зависят). Поэтому 2 2 л Л5= б)9 ('би+рй)' С =Я)п —.
1 Т 1 Т 1 У 3.37. По второму началу термодинамики, из однозначности энтропии следует, что В при равновесном изотермическом круговом процессе (т. е. при одном термостате) работа за цикл равна нулю. Однако если использовать в цикле неравновесный процесс, то Рис. 60. можно осуществить при одном термостате круговой процесс с отличной от нуля работой, но обязательно отрицательной.
В самом деле, пусть система имеет в начальный момент температуру Т термостата (состояние А на рис. 60). Изолируем систему и заставим ее адиабатно расширяться до температуры Т, (состояние В). Установим затем тепловой контакт системы с термостатом. Ее температура нестатически поднимается до прежней (Т; отрезок ВС). Сжимая систему изотермически, можно вернуть ее в начальное состояние.
По направлению обхода контура на диаграмме видно, что работа за цикл будет отрицательной. 3.38. Процесс теплообмена между телами разной температуры является нестатическим (необратимым). Для вычисления происходящего при этом изменения энтропии системы проведем теплообмен равновесно. Будем считать, что температуры тел из-за кратковременности теплообмена не изменяются. Выберем в качестве рабочего тела для рассматриваемой изолированной системы моль идеального газа.
Пусть начальный его объем и температура Т, (состояние 1). При тепловом контакте газа с первым телом и изотермическом расширении газа до объема Ь", (состояние 2) газ возьмет у тела количество теплоты (4= АТ,!п(г;/У',). Адиабатным расширением газ достигает температуры Т, и занимает объем Ез (состояние 3). Приведя газ в контакт со вторым телом, изотермическим сжатием газа до объема Е., (состояние 4) отдаем второму телу то же количество теплоты Я=КТ, !п(г'з1' К,). Если теперь газ привести в начальное состояние 1, то изменение его энтропии равно нулю, а изменение энтропии системы при этом равно ее изменению при неравновесном процессе теплопередачи в результате кратковременного теплового контакта.
Поскольку процесс перехода газа из состояния 1 в 4 был равновесным (обратимым), то изменение энтропии всей изолированной системы (обоих тел и газа) при этом процессе равно нулю. Следовательно, изменение энтропии ЛЯ тел при их тепловом контакте и обмене теплотой равно изменению энтропии газа при его равновесном переходе из состояния 4 в 1, т. е. Пб=и,-я,=С„)п(Т,)Т,) Ьй)п();) и,). Так как, согласно полученным формулам для (4, -)9 )7 и )'з из + — = Я )п — =- й )п — + Л )п —, т, т, = ь; ь;= и, Г ' 329 то откуда У (И1)!т (Из) Из/111 И1Х (И1) Изт (Из) где lг — постоянная величина. После интегрирования этого уравнения получаем соотношение 5=х 1п И', которое часто называют приливном Больнмана. 330 и, а О Я !п —, = — — ь — - Я 1п —.
ь. т, т, Гз' а О т, и, ЬЯ= — — ь — » С» !и Я !и Т1 Т2 Тз ! з Состояния 2 и 3 лежат на одной адиабате, поэтому Ь'з ! т, Т, !", '=Т»!»', ', !и — = — !п —. У, т — 1 Т, т, 1,!' д'! т, С> !и — — и 1и —,=~Сз — — 1и — =О. т, 1; (, т ! ) т, так как С» — ЯИу — 1)=0. Таким образом. изменение энтропии при кратковременном тепловом контакте двух тел разной температтры, равное сумме изменений энтропий этих тел Дб = Ау, -» Ьуз = — — + =- Д ~ — — — ) . а 13 У! 11) т, т (хт т) Отсюда, однако, не слелУет, что АУ, = — 12,'Т, и Аут = Д Т, как это принимается обычно во многих учсбнвках по термодинамике прв выводе формулы Л!.
поскольку этн равенства справедливы только при равновесном теплообмене. Формула 11). очевидно, будет иметь тот же вид и при ЬЬ,= — 121'т,— ж йбз=Я)тз+о„где п40. Для вычисления изменения энтропии каждого тела при неравновесном теплообмене надо знать их начальные и конечные состояния. ЗЗ9. По второму началу, для неравновесных процессов Ьдм — ЬД=ЬИ'„— ЬИ»<0. Отсюда видно, что состояние, доспакимое из данного, адиабатно равновесно Щ=О), недостижимое — адиабатно неравиовесно (ЬЯ =О), так как в этом случае ٠— Ь!2 = О.
Поэтому если система переходит из состоянвя ! в 2 адиабатно равновес- но, совершая работу ЬИ',з= — 01/, то адиабатный неравновесный переход сястемы из ссстояниа 2 возможен лишь в некоторое состояние 3, не совпадающее с состоянием 2; при этом вполне возможно, что (ЬИ',з), = — ЬУ и, следовательно, ЬИ'м=(ЬИ',з),», однако это не противоречит выволу из второго начала ЬКг>(ЬИм) ЗАО. По принципу Больцмана 5=2'(И').
Если система состоит из двух частей, то Я,=т(И»,), Яз=2(И»з) и на основании адцнтивности энтропии о=Я,+Яз=т(И»,) +Х(1! 2) Х (И ) Для независимых систем И'= И', И'з, поэтому дла определения 2(И') получаем функциональное уравнение ,т(и;)+т(и;) =т(и', и',), дифференцируя которое по И', и И'з находим: Г(И'~)=Х (И'1И'з)1" г Г(Из) Х (И'1 И'з) И'1, Постоянная х определяется применением полученного уравнения к кахомуннбуль частному случаю.
например к идеальному газу; она оказывается равной постоянной Больцмана !7г= 1,38 10 м Дж/К). 3.41. Общая энтропия обоих тет изменится на 1 ! 1 А5= — — — =- 10 " Дж/К. 300 30! 9 Согласно принципу Больцмана. А5= !г 1п(И',! И', ), где И', — вероятность начально~о состояния обоих тел, И'э - вероятность их конечного состояния в рассматриваемом процессе: поэтому И'г= И' ема= И' еш лг т. е вероятность второго состояния в невообразимо большое число раз превышает вероятность первого состояния н при соприкосновении теплота переходит от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой практически во всех случаях. Из И'з,'И', ге!000'" случаев в среднем олин раз теплота переходит от тела с меньшей температурой к телу с большей температурой.
Мы видим, что практнческн вероятность перехода теплоты, требуемая термодинамикой. не отличается от достоверности. Однако результат б!дет ин< й при переходе значительно меньшего количества тензоты, чем 10 ' Дж. В случае А!1=1.2 10 ге Дж получаем Иэ1Иг,=е=27, т. е. переход такого количества тештоты от холодного тела к горячему хотя и будет осуществляться более редко, чем обратный переход, однако частоты этих переходов одного порядка. ЗА2. По условию, в состояниях 1 и 2 давления р,=рз=2р, а в состояниях 3 и 4 рз=р„=р.
Рабочее тело получает теплоту прн изобарном процессе ! — 2, а отдает — при изобарном процессе 3 — 4. Поэтому Д|=Ср(тг — Т1), !4г=Сг(тэ — Т ), д,-дз т,— т. Ч===!— Ог т,— т,' 7 Прн адиабатном пронесся Тр г =сопя'„следовательно, 7 7 т,р =тз(2р) г, т,р1 =Тг(2р) ° откуда — Ч 2 Описанный в задаче результат обусловлен тем, что для идеального газа количество теплоты Д при изобарном процессе пропорционально совершенной работе Иг, поэтому, хотя Дза И', отношения Дз!Дг и И'э/ Иг, одинаковы.
Действительно, Д,=С (Т,— Т,), И',=2р(гз — !г,). Но 2ррз=ЯТ„2рУ,=ЯТ„ следовательно, С С, И'.,=Я(тэ-т,), !2,= — 'И,, О,= — 'И;, Я ' Я (2з Д, И', 331 3.43. Такой вывод ошибочен. Дело в том, что живой организм — неравновес- ная, открытая система и в соответствии со вторым началом термодинамики его упорядоченность поддерживается оттоком энтропии в окружающую среду. Если изолировать организм вместе с веществами, необходимыми для его существования, то в этой изолированной системе энтропия будет возрастать. ЗА4. Покажем, что на последнем этапе второго пути, когда с помощью света вызывается реакция между Нз и С1з в смеси с молем НС1 и вся смесь переходит в два моля НС1, изменение энтропии равно — 4|(2Т) — 2Я!п2, а не — 4)(2Т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
