Базаров И.П. Термодинамика (1185106), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Дискретность различия смешиваемых газов не играет роли в происхождении парадокса Гиббса, и существование этого парадокса ни в коей степени не отражает дискретной природы микроскопического мира и не затрагивает справедливости термодинамики. Поэтому при решении парадокса Гиббса рассматривается идеализированный случай достижения сколь угодно малого различия между газами. Перейдем к парадоксу Эйнштейна. В своей первой работе по квантовой теории идеального газа Эйнштейн обратил внимание на парадокс, к которому лриводит эта теория.
Он состоит в том, что смесь вырожденных газов из Ф, атомов с массой т, и Мз атомов с массой тз (как угодно мало отличающейся от т,) при данной температуре имеет иное давление, чем простой газ с числом атомов Ф, +Ум обладающий практически той же массой атомов и находящийся в том же объеме. В этой работе Эйнштейн писал, что ему не удалось разъяснить этот парацокс. Однако в следующем сообщении но квантовой теории идеального газа он отметил, что упомянутый парадокс обусловлен волновыми свойствами микрочастиц. Как известно, интерференция волн происходит только нри условии полной тождественности этих волн и скорости их распространения, Волны де Бройля удовлетворяют этому условию только в том случае, если онн принадлежат атомам тождественной массы и одинаковой скорости.
Таким образом, интерференционное взаимодействие наблюдается только между тождественными атомами и исчезает даже при очень малом отличии природы смешиваемых газов. В этом коренится, по Эйнштейну, физическая причина обнаруженного парадокса. Впоследствии И. Е. Тамм использовал ту же идею интерференции волн де Бройля для разъяснения парадокса Гиббса. А несколько позднее Э.
Шредингер в книге «Статистическая термодинамика» писал, что всегда считалось, что парадокс Гиббса таит в себе глубокий смысл, однако то, что он оказывается тесно связанным с чем-то чрезвычайно важным и совершенно новым, едва ли можно бьшо предвидеть. В действительности же, как мы увидим, непосредственной физической причиной парадокса Эйнштейна, как и парадокса Гиббса, является не волновая природа микрочастиц, а скачок изменения плотности газа при переходе от его смешения со сколь угодно близким газом к смешению с тождественным газом, происходящий нри смешении как квантовых, так и классических идеальных газов. Правда, парадокс Эйнштейна существует только в квантовом случае, и это, казалось бы, позволяет связывать его с волновым характером движения 324 частиц. Однако и в квантовом случае без учета скачка плотности газа при переходе к смешению тождественных газов и физической выделенности этого смешения получается выражение для внутренней энергии смеси этих газов, противоречащее термодинамике.
Что же касается парадокса Гиббса, то он возникает как в квантовой области, так и в классическом пределе и, следовательно, не имеет отношения к интерференции волн де Бройля и не содержит в себе ничего чрезвычайно важного и совершенно нового (по отношению к классической физике). Используя известное для идеального газа соотношение рр=')зи, где р †давлен газа в объеме е' и и †е внутренняя энергия, сформулируем парадокс Эйнштейна: изменение внутреннеи энергии Ли при изотермическом смешении вырожденных идеальных газов хотя и зависит от природы смешиваемых газов, но при переходе от смеси сколь угодно близких газов к смеси тождественных газов Ли испытывает скачок. Внутренняя энергия слабо вырожденного идеального газа из 13' частиц в объеме Р при температуре Т 3 ~ Ь М)23 и=-191ст 1 9— 2 ~ 16 у(ят(ст)иг Пусть массы атомов газов 1т, — гпг( различия газов 3) = т3+тг энергия системы А и В соответственно равны т, и т, и параметр (0< т1 < 1).
Тогда до их смешения внутренняя )оь3 3 32 )г(яйт)322( тэгг т3222) и2=3)т'кт 1+— 1! в Зак. 827 325 а после смешения, когда каждый газ занимает объем 2(г, ц,з г и =3тт + —,,3,2 3,2+ 3,2 (9) 64 е'(я)ст( ( тг тг 2) ) Тогда изменение внутренней энергии системы при изотермическом смешении 38 )9263 2' 1 1 13и=ив и3= 64 гд 1 ° нг( зд ь 322! ' 64 е'я 1)ст1 г,тг тг ) (1 ) Отсюда видно, что Ли при смешении вырожденных газов зависит от их природы. При смешении сколь угодно близких газов (тгшт, =т) 3Ц,3 и' =3д((ст (+в 32 Г( йт)332 ' 38 )32263 32 Р( )322(йт)322' непосредственно переходить к пределу тг=т, =т в формуле (9) нельзя, поскольку она не учитывает происходящего при этом предельном переходе скачка плотности газов. Для того чтобы с помощью формулы (9) найти внутреннюю энергию системы и12 в предельном случае смешения тождественных газов, надо при песеходе к пределу Ч =О заменить плотность У Р на 2Д" И Тогда в соответствии с термодинамикой ,чй з ч=е М 2Ф г г Поэтому изменение внутренней энергии при смешеняи тождественных газов ЛС"=Г.'к е— Ц=О и при переходе от смеси скоэь угодно близких газов г смеси тождесгвенных газов изменение внутренней энергии вырожденных идеальных газов скачком изменяется на величину зб Л'йэ 32 и(кщ)з~г(йГ)пэ что я составляет парадокс Эйпптейна.
Длв Бозе-газа этот скачок равен 3 лГэйз 2Гьг=— 32 Р(кщ)зы(КГ)' г" а скачок давления соответственно будет 3 бег 9 Мэлэ 2 Р б4 $'х(кги)л'%Т) "э Из сказанного следует, что источником парадокса Эйнштейна, как и парадокса Гиббса, явлветсв скачок язменеиия плотности газов при переходе от его смешеняя со сколь угодно блязким газом к смешеяшо с тождественным газом. Учет этого скачка разъясняет парадоксы Эйнштейна и Гиббса.
В классическом случае (л- О) скачок М/ равен нулю, т. е, парадокс Эйнштейна не имеет классического аналога. Это обусловлено независимостью внутренней энергии классяческого идеального газа от его плотности М/К В отличие от б' плотность внутренней энергии этого газа и=СЧ$' зависит от плотности газа и поэтому испытывает скачок при переходе от смешения близких газов к смешению тождественных газов. Это убедительно показывает, что парадоксы Гиббса и Эйнштейна не связаны с дискретностью различия смешиваемых газов; в противном случае получалось бы, что для определенна изменения внутренней энергии щгеального газа непрерывный переход к тождественным газам допустим, а для определеняя изменения плотности его внутренней энергии такой переход протяворечнт законам физики.
Заметим, что вообще термодинамические величины, не зависвшие от плотности идеального газа, не испытывают скачка при переходе ст смешения различанэшяхся газов к смешенвю тождественных газов; те же величины, которые зависят ст плотности газа, такой скачок испытывают вследствие соответсгвуюшего скачка плотности. Рассмотрим язменение внутренней энергии я энтропия при втором виде изотермического смешения слабо вырожденных газов, когда после смешения газы А и В принципиально нельзя выделить из смеси В простейшем случае такого смешения газы А н В термодинамически отличаются друг от друга плотностью.
Пусть плотности газов А и В соответ. огненно равны ДГ,,'К я Ф,)'г', общее число атомов т'. +Н,=юг и параметр )гь! гу2) различия (блязости) газов э3 = (О<п<3). 3Г, +3Гэ 326 До смешения внутренняя энергия я энтропия таких газов 3 ' Г с ззс,)сз и,=-йт ~ дс,~)-ь— )'г Г После смешения. когда газ из 2У атомов занимает объем 21; внутренняя шергия и энтропия системы 6 л'Вз 1)а = 3%с Т 1 т— ( 16 и(птйТ)з'г )с о Дусэ 3 'кт)сТ) и' )У 32 У( МТ" Изменения внутренней энергии и энтропии системы при смешеняя 36 зугйз ли=и -и=- — ' с- 16ц !(,~,)зг(йТ)зг 1 и 1 + ц 1 б , ).Г'6' сх5=5сс — 5с=2)сДС !п(1-ЬЦ) — )п — ~ — — и 2 1 — т! ~ 16 У(ят)сТ)п~ Непрерывное изменение при смешении плотностей газов А и В, т.
е. параметра нх близостя г1, приводят к непрерывному изменению ЛС и 65 квантовых газов в интервалах 36 Фгйз 16 )с(ящ)зсг(с.Т) ссг" ),сй з 6<сз5<2/ссз( 1п2-— 32 У(ялс)сТ)з'г Отсюда видно, что изменеяие Ь(с' и Л5 в предельных случаях (ц =0 и т)=1) смешения второго вида не совпадает с изменениями величии (10) и (7) в соответствующих предельных случаях смешения первого вида. Как уие указывалось, физической прнчнной парадоксов Эйнштейна и Гиббса является скачок плотности газа при переходе от смешения сколь угодно близких (и разделимых нз смеси) газов к смешению тозкдественных (н неразделимых после смешения) газов, когда, следовательно, смешение яоследнит физически выделено.
При смешеняи второго рода нет этого физяческого основания, поэтому происходящие при таком смешении непрерывные изменения И/ и с35 не имеют отношения ни к парадоксу Эйнштейна, ни к парадоксу Гиббса. ЗЗб. Рассмотренный в предыдущей задаче парадокс Эйнштейна наблюдается при изотермнческом смешении квантовых идеальных газов. При адиабатном смешении таких газов он отсутствует. Однако в этом случае обнаруливается новый парадокс — скачок изменения температуры при переходе от адиабатного смешения сколь угодно близких квантовых идеальных газов к смешению тогкдесгвенных газов. В самом деле, рассмотрим адиабатное смешение слабо вырозкденных газов А и В по .зС частиц с массами соответственно щс и лсг в одинаковых объемах сс, разделенных теплопроницаемой перегородкой и имеющих, следовательно, дннаковуиз температуру Тм ! зз 327 До смешения внутренняя энергия газов 32 Р( ьТ )Зл Зл зл После удаления перегородки и адиабатного смешения газов, когда каждый газ занимает объем 2Г при неизменной внутренней энергии системы, температура Т газов будет другой и выражение длк внутренней энергии смеси принимает вид При адиабатном смешении сколь угодно близких газов (ш,жт,ч ш) )у~ з ") Г 8:уйз и,'=Зтт 1+ — „, ~, и'„=Зтт~ )+в (2) Происходящее при этом изменение температуры Т вЂ” Т, находим из условия (г'„=(Г1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
