Базаров И.П. Термодинамика (1185106), страница 74
Текст из файла (страница 74)
(,ди), 21Р 2,), Если в некотором устойчивом состоянии (дТ~дГ2)г=о, то в первом случае (Л5>0, что соответствует, например, Лг'>0) имеем — (лгг)2+— ' — 3 (л,,)3+ >О а во втором случае (при Лб<0, соответствующем Л1'<0) — (лг)'+ —, (лг)'ч-... о. Эти неравенства (одно при ЛГ2>0, а другое при ЛИ<0) выполняются, если — 2 =О, — 3 >О. Установленный положительный знак третьей производной связан с предположением, что с увеличением объема при постоянном давлении энтропия системы увеличивается (Л5>0 при ЛЕ>0), при обратном предположении (дзт)дг'3) .О.
Иначе говоря, при (дТ)дЪ'),=0 условия устойчивости равновесия не определяют знака третьей производной (этот знак может быть как положительным, так и отрицательным, если сама производная не равна нулю). 6.13. Выберем в качестве независимых переменных однородной системы т и х тогда р=р(т, 5) и г'=12(т, 5). из неравенства для матрицы устойчивости ЛТЛ5- Лр ЛГ >О при Т=сопзГ получаем ЛрЛг'<О и, следовательно, в этом случае при изменении энтропии 5 система переходит из одного устойчивого состояния )2, р в такое другое, в котором нли р, >р и одновременно Рг < $', или р, >р и одновременно Р"2>И Поэтому если ЛИ>0 или ЛИ<0, то соответственно получаем: !2 Зак 827 345 р- — м+- — 2 (м) ~ — — „3 (м) +...
о, лр= — лЯ+- — (дЗ) + — —, (лЯ) +...>О. состояния являются (д'р)ды ) =0 и (дзр)д)гз) <О. 6.15. Для решения задачи рассмотрим следуюп1ий изотермический цикл, протекаюший при неизменном объеме. Пусть система находится в равновесном состоянии хе. Включим бесконечно медленно такое силовое поле 1Г, что система приобретает состояние х.
Этот процесс обратимый и при наличии дополнительного силового поля У состояние х равновесное. Работа системы при этом процессе И'=ф(хе) — ф(х). Выключим мгновенно поле П. При этом совершается работа В', = 1/, а система без поля оказывается в неравновесном состоянии. Постепенно н без совершения работы ($'=сопз1) она придет в состояние равновесия хе. Так как вечный двигатель второго рода невозможен, то работа за цикл не может быть положительной, т. е. И'+ И', =Ф(х ) — Ф(х)+ и<О, Р(х)=Ф(х)-и>Ф(х,)й Е(х.), Р(х)>Р(х,) откуда Если в некотором состоянии (др!дб)г=о, то в первом случае (ЛР>0, что соответствует, например, ЛЯ>0) — — (м)'ь —, — р (лю)'ь... о, а в другом случае (при Лг'<О, соответствующем ЛЯ<0) — — г (Ло) + — — з (Ло) +...>О.
Для того чтобы выполнялись зти неравенства, необходимо, чтобы ( —,) =о. ( ",) о. Отрицательный знак третьей производной связан с предположением, что с увеличением энтропии при постоянной температуре объем системы увеличиваетса, при обратном предположении (д'р/дЯ') <О. Это означает, что при (яр/о5)г=о условия устойчивости допускают любой знак третьей производной (если она не равна нулю).
6.14. Выберем в качестве независимых переменных однородной системы параметры К и Я. Тогда р=р(г', 5), Т= Т(У, $) и при Я=сопзг из неравенства ЛТЛЯ вЂ” ЛрЛР>0 для матрицы устойчивости получаем ЛрЛР= — ' (Ли)'Ч-- ', (Ли)зЧ- — ', (Л~)'Ч-...<О. Если в некотором состоянии (др!д1')з=о, то условиями устойчивости этого нлн цм ага и, цма Амааа Т= (б(2) д $,. ЬР Е(х) Р(ха)<0 что выражает общее условие равновесия системы в термостате прн постоянном объеме. 7Л.
Поскольку переход от положительной термодинамнческой температуры к отрицательной осуществляется не через 0 К, а через бесконечную температуру, то разность между положительной н отрицательной температурами всегда бесконечна. Это указывает на неудовлетворительность существующей термодннамнческой шкалы н на необходимость перехода к шкале Т= — 1!Т, которая не обладает отмеченным недостатком. 7.2. Из основного уравнения термодинамики находим Принимая это равенство за определение термодинамнческой температуры, мы видим, что если внутренняя энергия системы в некоторой области состояний может быть такой, что частная производная по энтропии (!) оказывается отрицательной, то соответствующее состояние будет состоянием с отрицательной температурой.
В обычных системах не существует верхнего предела для значений энергии и функция У(5) монотонно возрастает, так что температура Т все~да положительна (рнс. 67, кривая 1). Однако у некоторых (необычных) систем энергия ограничена сверху, поэтому для этих систем 11„„< У< У„„,. Поскольку необычные системы могут иметь как положительную, так н отрицательную температуру, то функция Цо) монотонно возрастает лишь до некоторого значения энергии !!а, в которой энтропия достигает максимального значения 5=о„,„,.
Прн дальнейшем увеличении энергии производная (д(1!дб), будет отрицательной (Т<0 К, кривая 2). 8.1. Преобразования Лоренца для давления можно получить исходя нз определения давления, зная закон преобразования силы, действующей на поверхность тела, движущегося вдоль оси: Р Ра Р Ро '1 ))г Р Ро Уг) амг Так как поверхность, перпендикулярная осн Х, не испытывает сокращения Лоренца, а поверхности, перпендикулярные двум другим осям, сокращаются в отношении аУ1 — б', то р=ра. Этот результат является частным случаем релятивистских преобразований компонент напряжений, когда онн сводятся к нормальному давлению: р=г„„=г,„=г„, го=О (г~у). 8.2.
В релятивистской термодинамике стенки, ограничивающие систему, играют существенную роль. Рассмотрим систему в цнлнндрс с площадью а торцовой стенки, коакснальном с направлением движения. Пусть система движется со скоростью а относительно наблюдателя. Если давление внутри системы р, то задняя стенка цилиндра совершает за 1 с работу рж над системой, а система — такую же работу на передней стенке.
Следовательно, энергия 347 протекает через систему вперед, возвращаясь обратно через боковые стенки. Этот поток энергии вперед через систему и обратный поток через стенки увеличивает импульс системы и уменьшает импульс стенок. Импульс, переносимый этим потоком энергии, может быть подсчитан на основе простого мысленного эксперимента, который обнаруживает реальность такого потока. Допустим, что обе торцовые стенки одновременно в собственной системе цилиндра быстро убираются и мы приходим к «освобожденной» системе.
В собственной системе отсчета рассматриваемая термодинамическая система будет бурно расширяться, симметрично вперед и назад относительно направления движения. Однако центр масс системы не изменит своего положения относительно центра масс стенок. Но наблюдателю весь этот процесс представляется совсем иначе. Он обнаружит, что задняя стенка удаляется раньше, а передняя стенка— позже, причем время запаздывания ЬР'ч-(»)с')!"' »!ач !3!= !Т:(3' с' !Т:(3' где !'»' — длина цилиндра в собственной системе отсчета. Этот наблюдатель установит, что стенки сообщают системе импульс силы — рзйг=»рр'»')(сз гг) — (3').
Тем не менее центры масс стенок н системы, как н раньше, совпадают. Это может быть только в том случае, если система в начальный момент обладает некоторым избытком импульса (тогда как у стенок есть некоторая нехватка импульса), который в точности компенсируется импульсом, передаваемым в течение промежутка времени Лг. Этот избыток импульса Лд=рр'»'/с' !1 — )3'. 8.3. Пусть в цилиндре движутся два фотона в разных направлениях и в собственной системе отражаются от переднего и заднего ~орцов одновременно.
По отношению к движущейся системе отсчета отражения этих двух фотонов не одновременны, а отличаются на промежуток времени д!=»!"')(сз у) — (3'). В течение этого промежутка оба фотона движутся вперед. Избыток импульса !38 фотонов, наблюдаемый о~носительно движущейся системы отсчета, равен импульсу этих фотонов.
Движущийся наблюдатель установит, что в течение промежутка времени г3! стенки сообщают фотонам импульс силы р«Ы=»р3"»'/(с'ч!1 — (3'), вследствие чего их общий импульс ,=ррч«~!(сз !)--~~) 9.1. Из уравнения ЬО = С,д ТЧ- Т(др)дт)„д и находим, что при изотермическом процессе 8Д = Т(др)дТ) 6 К Зависимость производной (др)дХ)„от Т и Г, как и само уравнение состояния р=рЯ, Т), нельзя определить исходя из первого и второго начал термодинамики. Поэтому на основании этих законов нельзя сделать однозначный вывод, что нулевая изотерма (Т=О) совпадает с адиабатой (8)д=О) или не совпадает.
Действительно, если уравнение состояния системы таково, что (др)дТ)г сопз1 при Т- О К (как, например, в случае идеального газа), то 83',1=0 при Т=О К; если же система такова, что для нее (др)дТ)„сопя!)Т при Т вЂ” О К (что будет иметь место, например, в случае системы с уравнением состояния р3г=а)пЬТ), то ОД~О при Т=О К, Вывод о совпадении изотермического процесса при 348 Т=0 К с адиабатным можно сделать только на основании третьего начала, согласно которому (др)дТ) =0 при Т=0 К для всех тел. Отсюда следует, что ни идеальный газ, ни вещество с уравнением состояния рУ=а(пЬТ по третьему началу при Т 0 К существовать не могут, хотя по первому и второму началам они возможны при любой температуре.
9.2. Ошибка в приведенном доказательстве состоит в том, что, принимая совпадение изотермы АВ с осью энтропии, допускается возможность цикла Карно с Т,=О К. А это противоречит второму началу (см. Ь 18) 9.3. Ошибка содержится в геометрическом доказательстве того, что при допущении С"„=со элементарная площадка в вершине прямого угла, образованного критическими изохорой и изобарой на плоскости У, р, исчезает на плоскости 5, Т и, следовательно, в противоречии с первым началом якобиан 21 вырождаемся (равен нулю). В действительности же, как следует из простых вычислений, элементарная площадка 4 Убр на плоскости У, р около критической точки, имеющая вид прямоугольника, преобразуется на плоскости 5, Т в вытянутый параллелограмм, у которого при Сг- со основание увеличивается во столько же раз (стремясь к бесконечности), во сколько раз уменьшается высота (стремясь к нулю, так что касательная к критической изохоре на Я, Т плоскости в пределе совпадает с касательной к критической изобаре), а площадь параллелограмма не изменяется, оставаясь равной площади прямоугольника 4 Убр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
