Базаров И.П. Термодинамика (1185106), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В применении к излучению термодинамика позволяет установить ряд закономерностей: 1) существование давления излучения 1световое давление); 2) закон Кирхгофа о независимости отношения спектральной энергетической светимости е„к коэффициенту поглощения р от природы вещества; 3) закон Стефана — Больцмана о зависимости полной плотности энергии и равновесного излучения от температуры Т; 4) закон Вина о структуре функции спектральной плотности энергии излучения и„и закон смещения Вина. Получим эти результаты для равновесного излучения.
Существование светового давления. Наличие давления излучения впервые было доказано на основе второго начала в 1876 г. итальянским физиком А. Бартоли, исходя из следующего мысленного эксперимента. Пусть имеются два черных тела А и В с постоянными температурами Т, и Тг (Т, > Тг), соединенные между собой пустым цилиндром с белыми стенками (рис. 34).
У начала и в конце цилиндра имеются щели для подвижных поршней с зеркальными стенками. Удалим из цилиндра поршень Р„ оставив Р, у самой поверхности тела А. Прн этом весь объем цилиндра наполнится равновесным излучением от тела В. Введя поршень Рз и удалив Р,, будем двигать Рх до соприкосновения с телом А. Тогда все излучение в цилиндре поглотится телом А, а цилиндр вновь заполнится излучением от тела В. Введем теперь поршень Р, у поверхности тела В и, удалив Р„ будем двигать Р, до тела А. Прн этом вся энергия, излученная В, снова поглотится телом А. Повторяя периодически эту операцию, можно перевести любое ко- д р и личество энергии излучения от тела В к телу А, вследствие чего тело А нагревается, а В охлаждается, т. е.
теплота переносится от холодного тела к горячему. Так как, по второму началу термодинамики, это может быть только при затрате работы, 209 то, следовательно, и в данном случае передвижение поршня должно сопровождаться затратой работы. Отсюда следует, что излучение производит давление на поршень, причем чем больше температура излучения, тем больше это давление.
Саму же функциональную зави- симость давления излучения от температуры (каь и вообще термическое и калорическое уравнения состояния любой системы) с помощью только термодинамики определить невозможно (см. з 5). Однако, используя электромагнитный характер излучения (т. е.
привлекая законы электродинамики), можно выразить световое давление р через плотность энергии равновесного излучения и н нз общих законов термодинамики получить для него как термическое, так и калорическое уравнения состояния. Согласно электродинамике, имеем р='/ и, (10.64) что совпадает с формулой для давления релятивистского идеального квантового газа (3.31).
Выражение (10.64) легко получить из рассмотрения равновесного излучения как совокупности фотонов, удары которых о стенку и обусловливают давление (см. задачу 10.16). Экспериментально наличие светового давления было впервые установлено в 1901 г. П. Н. Лебедевым на физическом факультете МГУ. Закон Кнрхгофа. Пусть в замкнутой полости (рис.
35) находятся два тела: одно черное †, а второе нечерное — В. При равновесии температуры тел и излучения одинаковы, а количество энергии, излучаемое за любое время единицей площади поверхности каждого тела, равно количеству энергии, поглощаемому им за то же время. Поскольку плотность энергии излучения в полости всюду одинакова, то на единицу плошади поверхности каждого тела падает в 1 с одно и то же количество энергии Ф„бч. Если а„ вЂ” испускательная способность абсолютно черного тела, то при равновесии Ф„би=е„'би и в"„= Ф„. (10.65) Нечерное тело поглощает не всю падающую энергию Ф„ди, а только часть ее Ф„Мь .
При равновесии Ф„йчи=е„бч, откуда, учитывая формулу (10.65), получаем е„/п„=е„"=сопзг(Т, и). (10.66) Это соотношение выражает закон Кирхгофа: отношение спектральной энергетической светимости тела к его коэффициенту поглощения при данной температуре не зависит от физических гю свойств тела и равно спектральной энергетической светимости Пбсолнэтно черного тела, Отношение с~а — универсальная функция температуры и частоты.
С точностью до числового коэффициента она равна спектральной плотности равновесного излучения и„=и„(ч, Т) в полости любого тела при данной температуре [см. (10.63)1. Кирхгоф поставил перед физикой задачу нахождения этой универсальной функции. Постепенное решение этой задачи связано с именами Больцмана, Вина, Джинса, Михельсона, а ее окончательное решение удалось только Планку, впервые введшему для этого квантовые представления в физику. Закон Стефана — Больцмана.
Применим к равновесному излучению уравнение (3.27), связывающее термическое и калорическое уравнения состояния: +р Для равновесного излучения р=и!3 и У=и!г, поэтому (10.67) Т вЂ” = 4и. вт Отсюда после интегрирования получаем зависимость полной плотности энергии равновесного излучения от температуры и =оТ4 (10.68) называемую законом Стефана — Больцмана: плотность энергии равновесного излучения пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры. Стефан установил этот закон в 1879 г. на основании опытных данных, а в 1884 г.
Больцман получил его приведенным здесь способом на основании второго начала термодинамики. Постоянная интегрирования о (постоянная закона Стефана— Больцмана) термодинамически не определяется. Опыт, а также статистическая физика дают значение о=7,64 1О 'ь Дж/(Кл м'). Законы Вина. Закон Стефана — Больцмана дает выражение для полной плотности энергии и равновесного излучения, оставляя открытым вопрос о функции и„для спектральной плотности энергии излучения.
Однако закон Стефана — Больцмана совместно с интегральным выражением (10.59) для и позволяет установить структуру функции и„. Действительно, если в формуле и = ) и„(ч, Т) с3 ч о перейти к новой переменной х, полагая ч=хТ, то множитель Т в этой формуле перед интегралом по х будет только при структурной формуле для спектральной плотности энергии в виде (10.69) так как и = )' и„с(ч = Т' ( хам) бх = о Т 4, о о где 1'(х) — некоторая функция переменной х= —. Вид этой функции т' на основании законов термодинамики установить не удается. Это возможно только с помощью статистической физики.
Формула (10.69) была установлена в 1893 г. В. Вином и названа законом Вина для структурной функции спектральной плотности энергии равновесного излучения. Так как и=с/7 и и„)с)ч)=и, ~)с17 ), то из (10 69) получаем структурную формулу закона Вина для и„: их=)ь зтр()ьТ). (10.70) Структурные формулы закона Вина (10.69) и (10.70) определяют плотности энергии излучения, приходящиеся соответственно на единицу интервала частот или на единицу интервала длин волн при температуре Т. Применение термодинамики, следовательно, не решает полностью задачи по определению спектральной плотности равновесного излучения и„(ч, Т).
Однако, сведя решение задачи по отысканию этой функции от двух переменных ч и Т к задаче определения функции Ям) Т) одной переменной, термодинамика позволила получить достаточно большую информацию о свойствах излучения. Структурная формула закона Вина (10.70) приводит к смещению максимума спектральной плотности энергии равновесного излучения с изменением его температуры. Действительно, определим длину волны Х, которой соответствует максимальная плотность энергии иь равновесного излучения. Продифференцируем для этого выражение (10.70) по Х н производную приравняем нулю: — 59)(Х Т)+7.
Тц)'() Т)=0, откуда ) Т=Ь, (10.71) где Ь вЂ” постоянная Вина, равная, как показал опыт, 2,9 1О з м К. Формула (10.71) выражает закон смещения Вина: длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергии иь равновесного (черного) излучения, обратно пропорциональна термодинамической температуре"'. *' Заметим, что полонении максимумов функций и, и и„не совпадают, поскольку равным интервалам частот не соответствуют равные интервалы длин волны (см. задачу 10.17). 212 Термическое н калорическое уравнения состояния н энтропия равновесного излучения.
Теперь можно написать как термическое, так и калорическое уравнения состояния равновесного излучения: Р=7заТ, (10.72) (т у 41, (10.73) Зная эти уравнения состояния, нетрудно вычислить энтропию излучения. Действительно, из уравнения 512 ЙУ+рдР г'4и+(р+и)дз' т т т получаем аБ 4аУТгйТ+4узаТзйУ 4~за(ЗУТгАТ+Тздр =Ц4У аТзР'), откуда И=4Узатз и (10.74) [аддитивная постоянная в выражении для энтропии (10.74) в соответствии с третьим началом термодинамики (о=О при Т=О К) принята равной нулю).
Так как при адиабатном процессе Я=сопз1, то с помощью формулы (10.74) находим уравнение адиабаты равновесного излучения КТз=сопз1 или р1' 1з =сапы. (10.75) Сравнивая уравнение (10.75) с уравнением адиабаты идеального газа (2.13'), замечаем, что при адиабатных процессах равновесное излучение ведет себя как идеальный газ с отношением теплоемкостей 7 =4! . Это, однако, не означает, что у равновесного излучения 7=4/з, оно равно бесконечности (см. задачу 10.24). Термодинамические потенциалы н условие устойчивости равновесного излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
