Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Уровни энергии Е„~ лежат глубже, чем уровни атома водорода Е„и с ростом п уровни Е,~ и Е„сближаются. Формула (1!) неплохо описывает уровни энергии атомов щелочных металлов при соответствующем значении а. Эта формула была впервые получена Ридбергом на основе анализа экспериментальных данных. Заметим, что для атомов щелочных металлов главное квантовое число, как и для водорода, принимает целые значения, но минимальное значение а равно не 1, а 2 для 1.1, 3 для Ха, ..., так как состояния с меньшим главным квантовым числом заняты электронами внутренних оболочек атома (это утверждение станет понятным после того, как мы познакомимся со строением сложных атомов).
В заключение заметим, что рассмотренная модель иллюстрирует полуэмпирический подход к решению сложных квантовомеханических задач. Такой подход состопт в следующем: вместо того чтобы решать задачу в точной постановке, из физических соображений строится упрощенная модель системы. Оператор Шредингера для модельной задачи обычно зависи1 от параметров, найти которые теоретически так же трудно, как и решить задачу во всем объеме.
Поэтому параметры находятся из сравнения результатов расчетов модельной задачи с экспериментальными данными. 3 33. Теория возмущений В квантовой механике существует сравнительно мало интересных задач, которые допускают построение точных решений. Поэтому важную роль играют приближенные методы. Часто приближенные теории оказываются более ценными для понимания физических явлений, чем точные численные решения соответствующих уравнений.
Основные приближенные методы квантовой механики основаны на теории возмущений и вариационном принципе. 128 Опишем постановку задачи в теории возмущений. Пусть дан самосопряженный оператор А, спектр которого известен. Требуется найти спектр оператора В = А + С при условии, что самосопряженный оператор С в каком-то смысле мал. Мы не уточняем, что подразумевается под малостью оператора С, так как будет рассматриваться только формальная схема теории возмущений. Подведение строгой базы под такую схему требует решения ряда сложных математических задач.
Мы разберем случай, когда спектр оператора А чисто точечный и начнем с задачи о возмущении простого собственного значения. Введем однопараметрическое семейство операторов А,= А + еС. (() Ясно, что Ао — — А и А> — — В. Нам известны собственные векторы, ф„ и собственные значения Л„ оператора А, которые удовлетворяют уравнению 4<Рл Лле()л. (2) Мы предполагаем, что спектр оператора А простой, т.
е. каж. дому Лл соответствует один собственный вектор фл. Напишем уравнение для собственных векторов оператора А, Аеееае = Ле>()е (3) Основное предположение, которое мы сделаем, состоит в том, что ф, и Л, аналитически зависят от е, т. е. они могут быть представлены в виде Л = Л<'>+ ейп>+ еоЛ<а>+ (4) ф = ф<0> + еф<1> + ео<Р<о> + (б) Подставляя (4) и (б) в уравнение (3) (А+еС)(>Р<0>+еф<1>+, )=(Л<о>+еЛ<1>+ )(<Р<о>+еф<1>+ ...) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, по. лучим систему уравнений 4<Р<0> — Л<0) <Р<0) Аф<1) + С<()<0) = Л<о)ф<1) + Л<1)ф<0), 4<Р<л) + С<Р<л-И вЂ” Л<0)<Р<л) ( Л<1)ф<л-1>+ ( Л<л>>Р<0) которую пам удобнее переписать следующим образом.
Аф<о> — Л<а>ф<о> (4 Л<о)) ф<1) (ЛП> С) ф<а) Л<о>),ь<о> (Л<1) С)фш+Л<о>ф<о> (4 Л<о)) ф<л> (Л<1) С) >р<л- 1> + + Л<л)ф<а) 5 з, .ззо )99 сразу получаем, что или подробнее Хпз = (Стр(о), тр(о)) Д111=(сф„, ф„). (9) Формула (9) имеет очень простое физическое толкование. Поправка первого порядка к собственному значению Х„совпадает со средним значением возмущения С в невозмущенном состоянии тр,. Посмотрим, что дает второе уравнение (6) для вектора тр111. Казалось бы, следовало написать ф =(А — 7, 7)-1(д — С)ф1. Однако эта формула нуждается в уточнении. Чтобы понять, по- чему это так, рассмотрим подробнее оператор (А — Ы)-1, кото- рый называется резольвентой оператора А.
Оператор А можно записать в виде А=~ Х Р " В дальнейшем следовало бы снабжать индексом л собственные век. торы фм собственные значения о и Х, $ . Мы этого не делаем для со(и (а) крашения записи. 130 Из первого уравнения (6) следует, что тр1о1 является собственным вектором оператора А; из предположения о простоте спектра следует в, что т 1о1 — Д ф1а1 „Р Прежде чем обращаться к следующим уравнениям (6), выберем условие нормировки вектора зр,. Оказывается, что наиболее удобным является условие фсо1) (7) Мы считаем, что тр1о1 нормирован обычным образом ~~ з)1о' ~~ = (, поэтому условие (7) эквивалентно условиям (ЗРП1, тР(01) =О, ..., (1Р(в', ЗР101) =О, ....
(8) Таким образом, поправки зр1'1, ..., тр1"1,, мы можем искать в подпространстве, ортогональном к вектору зр1о1 = ф„. Обратимся теперь ко второму уравнению (6). Это уравнение является уравнением второго рода с самосопряженным оператором А, и а1о1 является собственным значением оператора А. Необходимым и достаточным условием существования решения этого уравнения является ортогональность правой части этого уравнения вектору зрсо1. Из условия (ф(о1 (Х1П С) з)1о1) = 6 где Р— проектор на собственный вектор <(>, т. е. Р.,ц = =(<р,<)> )<р .
Тогда для оператора (А — Л()-> имеем (А — Л1) = ~~' (12) Это выражение можно преобразовать следующим образом: (А — Л~() Р <(С<(>л <(>л) <(>. — С<)>„) = =(А — Л„7) < Р(Є— !)С<Р„= — (А — Л„() РСф„, поэтому <(><'> = — (А — Л„() < РС~„, Используя (12), получим (сань„, ) ) ° =Х „— л„ (14) (16) Рассмотрим поправки следующих порядков. Из условия ортогональности правой части третьего уравнения (6) вектору «>«» сразу получаем Л< > = (С,ь >, ,ь<а>), (16) Используя вид <р«>, находим явную формулу для второй поправки к собственному значению Л.
х 1<~е., чь.) 1' (17) с ˄— Л Мы не будем приводить подробных вычислений для ф<з> и последующих поправок <(><">, Л<">. Заметим только, что они могут быть найдены с помощью формул Л<"> =(С<)><"-'>, <р<а>), <Р<"> =(А — Л<а>7)Р (пРавая часть уравнения (6)). 13< Из формулы (11) видно, что резольвента теряет смысл при Л = Л„, т. е.
как раз при тех значениях параметра Л, которые нас интересуют. Вспомним, однако, что правая часть второго уравнения (6) ортогональна к <(><'> = <(>„и (<р<'>, фю>) = 6. Поэтому на самом деле нам нужен не оператор (А — Л() — ', а оператор (А — Л()-<Р, действующий в подпространстве, ортогональном к >)>„. Здесь через Р обозначен проектор 7 — Р„ проектирующий на подпространство, ортогональное к вектору <(>„.
Оператор (А — Л7)-<Р может быть представлен в виде (А — и) '~= ~, аФл он сохраняет смысл при Л = Л,. Вместо формулы (10) мы должны написать <(>«> — (А Л<0>7) ' Р (Ло> С) ф<о> (13) Обсудим теперь особенности теории возмущений кратного собственного значения. Мы ограничимся построением поправки первого приближения Л«>. Пусть Л„= Л (индекс п мы опускаем) является собственным значением оператора А кратности <1 А<)><=Л<)><, <'=1, 2, ..., <>.
Обозначим через М„собственное подпространствооператора А, соответствующее собственному значению Л, через <,> — проектор на это подпространство. Обратимся снова к системе уравнений (6). Из первого уравнения, как и раньше, следует, что Л«» = Л. Что касается векторов <)><э>, то мы можем лишь утверждать, что <р<з> ~Ми Мы покажем сейчас, что на векторы <р<з> накладываются дополнительные ограничения, поэтому они в общем случае не совпадают с собственными векторами <р<. Действительно, второе уравнение (6) имеет решения, если его правая часть ортогональна подпространству Жм т.
е. а (Л'о — С) <Р«» = О. учитывая, что <;><р<~> = <)><а>, последнее уравнение можно переписать в виде ос<2 р<'> = л<'>р<0>. (18) Мы видим, что >)><э> являются собственными векторами <)-мерного оператора ЯСЯ, а Ли> — его собственные значения. Практически задача сводится к диагонализации матрицы <)-го по- <0> х" ч рядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
