Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ииченно. 104 5 27. Представление вращений унитарными матрицами второго порядка Мы построим представление группы вращений ст, действующее в пространстве Сг. для этого введем три самосопряженные матрицы со следом, равным нулю, о,= 1 О, и=, 0 Эти матрицы называются матрицами Паули. Вычислим пере- становочные соотношения для этих матриц: (о~ ог)=о~ох ого~= 0 . — 0 .
=2( т. е. [оь ог] = 2Ыз, Аналогично проверяется, что (о„оз] = 21оь (пз, оз) = 2(пг. Нетрудно видеть, что матрицы — (аг/2, ) = 1, 2, 3 имеют перестановочные соотношения такие же, как инфинитезимальные образующие группы вращения Аг. Поэтому можно построить представление д-+()(д): (у(И) = ехр ~ — †, (озп1 + огпг + озпз)~. Следует отметить, что это представление не является представлением в обычном смысле слова, так как вместо (г(й)()(йг) = (Г(й~йг) (2) мы будем иметь (Г(а) и (йз) = пи(й,д,), (3) где и = ж1. В этом нетрудно убедиться на простом примере, сосчитав произведение ст(й,)(г(йг), где йз = йг есть вращение на угол я вокруг оси х, Ц(д) Ц(йз)=е г е г =з зон=(ь )= — 1, 0 еп~ В то же время по формуле (1) единичному элементу группы соответствует (1(0, О, О)= й Отображение й-ь(1(й), удовлетворяющее (3) при )п(= 1, называется проектнвным представлением с мультипликатором.
Если мы все-такн захотим сохранить (2), то должны будем считать, что каждому вращению соответствует две матрицы (г, отличающиеся знаком. В физике такого рода представления называют двузначными. Эти представления играют в квантовой механике такую же важную роль, как и обычные. В дальнейшем мы не будем подчеркивать это различие. Заметим еще, что появление такого рода представлений объясняется тем, что группа вращений иеодносвязна. Выясним свойства матриц ()(д).
Унитарность этих матриц очевидна, так как о; — самосопряженные матрицы. Нетрудно 105 видеть, что определитель этих матриц равен единице. Действительно, у(д) имеет вид е'а, где 5 — самосопряженная матрица со следом, равным нулю. Эту матрицу всегда можно привести к диагональному виду подобным преобразованием и она примет /Х О'1 вид ( ).
Соответственно диагональный вид матрицы l ец О будет ) ,х . След и определитель инвариантны относи. е 'ху тельно подобного преобразования, поэтому де1 0(д) = 1. Найдем общий вид унитарных матриц с определителем, равным единице. Запишем условие унитарности: Ь с) са+ 4Ь сс+ Ы Из равенства со+ с(Ь=О находим, что с(= — =. Из условий са ь' де1 0 =! и аа+ ЬЬ = 1 получим аас с с ас( — Ьс = — = — Ьс = — = (аа + ЬЬ) = — = = 1, ь ь ь с= — Ь, т.
е. Таким образом, унитарные матрицы с определителем, равным единице, имеют вид а Ьт У= ), !а!'+ ~ Ь 1'=1. х — Ь а Группа таких матриц называется группой ЗУ(2). 5 28. Представление группы вращений в пространстве целых аналитических функций двух комплексных переменных В этом параграфе построим все неприводимые представления группы вращений. В качестве пространства представлений мы выберем гильбертово пространство Щ функций !'($,ц) (реп С,т!я С) вида ! Сань !з а„а л~.
л~ со скалярным произведением (!', 8) = — „, ~ г($, ч)а(э, ч)е !'и ! "гФ(э) Ф(Ч). !оа Точно так же, как в $19, проверяется, что функции )„„= ащ и = — образуют ортонормированный базис в этом простран- З/л~Глр! стае (1„„, 1„„'1=6„„.6„„. Учитывая связь между группами 50(3) и 50(2), мы можем строить представление группы И/(2). В дальнейшем удобно Я,т1) обозначать через 1(ь), где ~=( '1 ~ С'. Отображение (т'-аФ'((т) определим формулой (ч) г(и) цц =) (и-'~). (1) Мы будем эти операторы обозначать также через Ф'(а) или В'(д), а операторы вращений вокруг осей через )Р;(ст), 1= 1, 2, 3.
Чтобы получить выражение для К(д), найдем инфинитезимальные операторы представления, которые обозначим через — 1Мь(=1, 2, 3 — (М,((1) = ап Ч ( ) ~,,Я)= ~„(") ~ 1(Ц= д( д$(а) ~ д( нч(а) ( дт Ыа (а-а дЧ Иа ~а а Здесь мы использовали определение (1) и через $(а), т1(а) а,а обозначили составляющие вектора ез Ь. Последние производные вычисляются так: а, д т — 'а( ~ -а~а ( ~ ~/Чт — е ' Ь) * — нет Ь ~ = — — о~~= 2 (~) 4а )а-о 2 ~а-а 2 поэтому (2) 107 В результате получим 2 (д$ дч )" Точно так же находятся операторы Мз и М,. Выпишем выражения для этих операторов: М'= 2(т) д~+$д ) ! д д дч 2( ~дт+ад )' д1 дт| 1 д д 2 (а д~ ) дя)' Из формул (5) ясно, что подпространства однородных много- членов не содержат инвариантных подпространств меньшей размерности. Покажем, что базисные векторы являются собственными векторами оператора М, и оператора М = Мз!+ Мз+ Мз Имеем $"'ч"' Мз)„„= — — ~$ — — т! — ~ " = — — (а! — и,) дй дп ) З/а!!аз! З/и!!аз! ' ! М31~л, д (а! из) 1~р,' Для оператора Мз справедлива формула М =М+М-+ Мз — Мз (б) Легко проверить, что операторы М! имеют такие же пере- становочные соотношения, как операторы момента импульса, а — зм!, 1= 1, 2, 3 — как матрицы Аь Аь Аз.
Для операторов )р'(а) получим Я7 (а) = ехр [ — 1(м!а! + Мзаз + Мзаз)). (3) Основное удобство пространства представления .'Вз состоит в том, что оно очень легко раскладывается в прямую сумму ин- вариантных подпространств, в которых действуют неприводи- мые представления. Действительно, инвариантность некоторого подпространства относительно операторов (р'(а) эквивалентна инвариантности относительно действия операторов М!, Мь Мз. Из формул (2) видно, что такими инвариантными подпростран- ствами являются подпространства однородных многочленов сте- пвни и = и! + аз. Эти подпространства имеют размерность а + 1, и = О, 1, 2, ....
Нам осталось показать, что такие под- пространства не содержат инвариантных подпространств мень- шей размерности. Для этого введем операторы д М =М,+ М,= — и —, + д$' М =М!-1Мз=-й— д дч н посмотрим, как они действуют на базисные векторы )'„„, д й"'ч"' 1"' !ч"'+' М+1 — ч — — — и! дй З/л~!аз! З!и,!аз! йм-! ж+! ч и,(из + 1) ' + )~/(.,-!11~..+з)! т.
е. М+)'„,, = — 1~а!(из+!) ~„!,+! (5) м-!.;,— — ~зз е зъ!.; ...— Очевидно, что М,1,„=о, м )„,=о. Действительно, м+м = (м, + см,) (м, — /м,) = м', + М3 — 1(м, м, — м,м,) = =М вЂ” Мз+ Мз. Далее имеем м'1„,„,=(м,м +м,' — м,)1„„= = ('1/(п~ + 1) п2 '~/пз (и! + 1) + (п~ пз) + (П1 л2)) 1д д 1 ! М /лп(4(и+и)+а(в~ +п2))1ва(7) Удобно переписать все полученные соотношения, заменив значки пь и, на 1, и по фоРмУлам ш+ л2 1= 2 ' 2 , и= — — (и, — и,), /=О,—,, 1, —, з 'в' ' 2' гл= — 1, — /+1, °,1, или 1 ш пз=/+ш. Тогда формулы (5) — (7) принимают вид м„1! М-1~ = — (1 — пг + 1) (1 + гл) Щгл = ~п1)л~ М'1~ =1(1+1)6 где через 1~ обозначена 1„„ = 1г Новые значки 1 и т удобны тем, что каждому индексу 1 соответствует представление размерности 21 + 1, 1 = О, 1/2, 1, 3/2, ....
Такое представление обычно обозначают через Р;, а / называют индексом представления. Формулы (8) †(10) позволяют легко построить явный вид матриц Мь Мм М, для каждого Рл Таким образом, мы построили конечномерные представления Р~ группы вращений всех размерностей. (8) (9) (10) (11) 9 29. Единственность представлений Р~ Докажем, что построенные неприводимые представления Р~ единственны (с точностью до эквивалентности). При доказательстве мы увидим, в какой степени спектр операторов момента импульса определяется их перестановочными соотношениями и как произвольное представление группы вращений раскладывается на неприводимые.
Пусть в и-мерном пространстве Ю определено некоторое не- приводимое представление, через †(Уь — 1/м †(Уз обозначим инфинитезимальные операторы этого представления. Они удовлетворяют перестановочным соотношениям [У1. У2)=1Хз, [Х2 Хз! ХУ!г [Уз, У1! =1'У2. Эквивалентность этого представления некоторому представлению 01 будет доказана, если мы покажем, что при подходящем выборе базиса в «Т матрицы Уз, й = 1, 2, 3 совпадают с матрицами Мз. Прежде всего заметим, что представление группы вращений одновременно является и представлением ее подгруппы, состоящей из вращений вокруг оси хз на угол а.
Эта подгруппа абелева, поэтому все ее неприводимые представления одномерны и имеют вид е ""' (относительно чисел тз мы не будем делать никаких предположений, допуская возможность «многозначных» представлений). Это значит, что при подходящем выборе базиса в 4' матрица вращения вокруг оси хз имеет вид е-1"" О ° О О е-1»™ ' О е 1Л'= О О... е'з« Таким образом, в «Т существует базис из собственных векторов оператора Хз Хзат = п1е«2 (1) (2) Введем операторы У = У1 ~-1ХЗ. Легко проверить справед. ливость следующих формул: [Р, У~[=О, [Уз Х ! ~У У =У~У~+ УзЧ= Уз (3) (4) (6) Далее, из неприводнмости представления следует, что оператор У =Х1+ХЗ+уз, коммутирующий со всеми Хз, й= 1, 2, 3, должен быть кратен единичному в пространстве д'. Это возможно, если все базисные векторы е являются собственными векторами оператора Р, соответствующими одному и тому же собственному значению, которое мы обозначим через 1(1+ 1) (эта запись пока просто обозначение).
Базисные векторы будем обозначать через е1, Ре1 = 1' И + 1) з1 . Найдем границу возможных значений 1т) при заданном собственном значении !(!+ 1). Для этого, умножая на е, равенство (У! + Уз) е! в = (! (! + 1) — т') е1~, получим ((У~+ Уз) е;, е,) =1(1+ 1) — т' Левая часть неотрицательна, поэтому !т!( ~/1(1+1). Из соотношений (3) и (4) следует, что У'У~е! = ! (1'+ 1)Уее!м, УзУве! — — (т ~ 1) Увел„. Поэтому векторы У ез (если они ненулевые) являются собственнымн векторами оператора Уз с собственным значением !(! + 1) и оператора Уз с собственными значениями т ь 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
