Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 21
Текст из файла (страница 21)
На рис. 7 изображены графики функций У(г), 1(1+!)/(2!хг') и У,ф(г). В качестве У(г) взят кулоновский потенциал притяжения — а/г (а ) 0). Выражение 1(1+ 1)/(211гз) может быть истолковано как потенциал отталкивания, возникающий за счет центробежной силы. Поэтому это выражение обычно называют центробежным потенциалом. 116 В квантовой механике приходится решать задачи с самыми различными потенциалами )г(г).
Наиболее важными из них, по-вндимому, являются кулоновский потенциал (Г(г) = а(г, описывающий взаимодействие заряженных частиц, и потенциал — !$Г Юкавы (г(г) = и — который часто используется в ядерной г физике. Обычно рассматриваются потенциалы, которые при г- 0 менее сингулярны, чем 1)гз-' (е ) 0). В зависимости от поведения при г-~.оо убывающие ()г(г)-~.0) потенциалы делятся на короткодействующие (г(г) = о (1/гь!'), е ) 0 и дальнодействующие, которые этому условию не удовлетворяют. Потенциал Юкавы является короткодействующим потенциалом, а кулоновский потенциал — дальнодействующим. Спектр радиального оператора Шредннгера хорошо изучен для весьма широкого класса потенциалов. В случае растущего потенциала (г(г)-+ со при г-ь оо спектр чисто точечный простой.
В случае убывающего потенциала интервал 0 < Е < оо заполнен непрерывным спектром, отрицательный спектр дискретный. Для короткодействующего потенциала положительный спектр простой, непрерывный, а отрицательный состоит из конечного числа собственных значений. Приведем простые соображения, позволяющие понять основные особенности спектра Н!. Для- этого посмотрим, как ведут себя решения радиального уравнения при г- 0 и г-+ оо. Если при г-+ оо пренебречь членом )г,о в радиальном уравнении, то оно сведется к — — !"! + Е! ! = О.
2п При Е ) 0 это уравнение имеет два линейно-независимых решения е '"' и е"', И = 2!!Е ) О, е ) О. При Е < 0 линейно- независимые решения имеют вид е-ж и е", кз = — 2рЕ > О, х> О. В случае г-~-0 можно надеяться, что мы получим правильное поведение решений радиального уравнения, если в этом уравнении из членов линейных по 7! оставим наиболее сингулярный , 7!, тогда !(!+ !) 2пг~ ! ! — ! (! + !) ! ! = О. г2 Это уравнение имеет два линейно-независимых решения г-! и г!+!.
Теперь посмотрим, какие условия разумно наложить на решения радиального уравнения. Нас интересуют решения уравнения !!7 Для широкого класса потенциалов доказана полнота системы функций Цаь)кД для каждого (= О, 1, 2, ... Это значит, что для произвольной функциие )(г)~Е'(О,оо) справедливо представление: Ю ~ (г) = ~~~~ СзДаз (г) + ~ С (Е) ~ш (г) с(Е, а о Са = ~ 1 (г) )аз (г) ззг, С (Е) = ~ ) (г) 1в, (г) с(г. о о где е Через )з(0, ео) мы обозначили вространство квадратично интегрируемых функций (без веса г') иа К+.
Если Г ее Е'(О, со), то )( = — а ).~ (Гс+). г 118 Шредингера ф(х) = — Г1 (ц). Функции ф(х) должны быть 6 (г) непрерывными в Кз и либо квадратично интегрируемыми, либо ограниченными во всем пространстве. В первом случае они являются собственными функциями в обычном смысле слова, а во втором — с их помощью может быть описан непрерывный спектр. Из непрерывности ф(х) следует условие )~(О) = О. Поэтому интерес представляет только такое решение радиального уравнения, которое при г -в 0 ведет себя, как Сгы'.
Это условие определяет )~(г) с точностью до численного множителя. Далее при Е (0 мы должны найти решение ),(г), которое при г-з. оо ведет себя, как Се-н" (в противном случае решение будет неограниченным). При произвольном отрицательном Е эти условия оказываются несовместными. Те значения Е, для которых удается построить решение, имеющее правильное поведение в нуле и на бесконечности, и есть собственные значения. При любом Е ) 0 решение (~(г) является ограниченным, поэтому достаточно, чтобы оно имело правильное поведение в нуле.
Спектр при Е ) 0 в непрерывный. Собственные функции дискретного спектра описывают частицу, локализованную в окрестности силового центра, т. е. соответствуют финитному движению. При помощи собственных функций непрерывного спектра могут быть описаны состояния, в которых движение частицы является инфинитным. Собственные функции дискретного спектра радиального уравнения мы будем обозначать через (а~(г), где индексом й нумеруются собственные значения Езз уравнения при данном ), Ндаз =Еаз)а1 Собственные функции непрерывного спектра, соответствую» щие энергии Е, будем обозначать через (лз НДв, =Е)иь Вернемся к трехмерной задаче. Функции дискретного спектра имеют вид (х) = †„ Ус (и) йм (г) и кратность собственного значения Еы равна 21+! (при отсутствии случайных вырождений).
Для собственных функций йепрерывного спектра имеем Кратность непрерывного спектра бесконечная, так как для произвольного Е ) 0 есть решения радиальных уравнений при всех 1 и, кроме того, т = — 1, — 1+ 1, ..., 1. Параметры й, 1 и т, которые определяют собственные функции точечного спектра, называются радиальным, орбитальным и магнитным квантовыми числами соответственно.
Эти названия появились в старой квантовой теории Бора — Зоммерфельда, в которой каждому допустимому значению энергии соответствовала определенная классическая орбита (или несколько таких орбит). Числа й и 1 определяли размеры и форму орбиты, а число т — ориентацию плоскости орбиты в пространстве. Число т играет существенную роль в магнитных явлениях, этим объясняется его название. Из полноты системы функций (1аь1а) в ).з(0, со) следует полнота системы (фы (х),фн„(х)) в 1.'(йа).
Для краткости записи рассмотрим случай, когда точечный спектруоператораН отсутствует. В этом случае произвольная функция ф(х) ен ен 1.'(и') может быть представлена в виде ф (х) = ~~) ~~) ~ С~,„(Е) ~аль„(х) г(Е. ~-От--!а Ясно, что ф определяется последовательностью функциИ (С,„(Е)), поэтому мы получаем представление (С, (Е)) в пространстве последовательностей функций, Скалярное произведение в этом пространстве задается формулой г-в т--~ о Из того факта, что фн (х) есть собственная функция операторов Н, Еа и Ез, легко понять, что в построенном представлении 119 операторы Н, Ьз и Ез действуют следующим образом: НС„„(Е) = ЕС1,„(Е), ЕзС~ (Е) ! (! + 1) Сз (Е) ЕзС1, (Е) = тС1 т (Е). Поэтому построенное представление является собственным для трех коммутирующих операторов Н, Ез и Ез.
(Уравнения (5) не следует путать с уравнениями для собственных векторов.) 2 32. Атом водорода. Атомы щелочных металлов Атом водорода представляет собой связанное состояние положительно заряженного ядра с зарядом е н электрона с зарядом — е (е) Π— абсолютная величина заряда электрона). Поэтому потенциал )г(г) имеет вид е' )г (г) = — —. 1 Мы рассмотрим задачу о движении в поле хез У(г) = — —.
Г Такой потенциал соответствует атому водорода при Я = 1 и водородоподобным ионам Не+, 1.!+е, ... при Е = 2, 3, ... Оператор Шредингера в координатном представлении имеет вид 1 хез Н= — — — Ь вЂ” —, 2н где р = тМ/(т+ М) — приведенная масса, а т и М вЂ” массы электрона и ядра соответственно. Задачу будем решать в так называемой атомной системе единиц, в которой Й = 1, р = 1, е' = 1. Тогда радиальное уравнение Шредингера принимает вид 2 /~ ( ) + 2гз /1 е 1 „1(1+ 1) Х Мы будем интересоваться дискретным спектром, поэтому рассмотрим случай Е ( О.
Удобно обозначить — 2Е = х'. Тогда 1;+ —,/,—,3 /1-Х~/ =О. 2е 1(1+!) (1) Приведенные в предыдущем параграфе соображения о поведении решения при г- О и г-ь ос подсказывают, что решение удобно искать в виде /! (г) = г'е 'е "'Л1 (г). (2) !20 Если мы сумеем найти Лс(г), представимую сходящимся степенным рядом Л! (г) = Х а;гс, (3) ! О с азу О, такую, что 1с(г) удовлетворяет (1), то будет обеспечено и правильное поведение (с(г) при г-ьО. Поведение 1с(г) при г- оо, конечно, будет зависеть от асимптотнки функции Лс(г) при г- оо. Подстановку (2) в уравнение (1) удобно сделать в два приема.
Вводя функцию д 1 =е "'сг, 1" = е "'(х'д — 2хд'+ сг"), имеем д" — 2хд + — д —, у=О. зх 1(1+ В Г гс Далее, полагая а гс+!Л с =г с+! ( Л 11+ !1 + Л~) „! Г 1(1+ !)Л + З О+ Ц Л' + Л„) Г г получим л -(-(з(1+ !1 — 2х) л -1 (зх — зх(1+ !1) л =О. Ищем решение этого уравнения в виде ряда (3) ~ ас(с(1 — 1)г' с+2(1+1)сг' з — 2схг! с+(2о — 2х( — 2х)г' ')=О. с-о Сделаем замену значка суммирования с'-+!+ 1 в первых двух слагаемых в (свадратной скобке, тогда ~ г' '(а!+!((с'+ 1) с+ 2(с+ 1) (1+ 1)) — а,(2х(!+1+ 1) — 22)) =О.
с-о Приравнивая коэффициенты прн степенях г, получим х(!+1+ П вЂ” Х 1;+ ПО+ш+з) 'с. (4) !2! По признаку Даламбера видно, что ряд сходится при всех г. Оценим поведение ряда с коэффициентами, определяемыми (4) при больших г. Асимптотика при г-ь оо, конечно, определяется коэффициеатамн при больших степенях, но тогда 2х а.ыС вЂ”,. (2н) ' и И Л1 щ Се2хl, т. е Таким образом, для решения )) при г- со получим Сги~ н~ (Разумеется, приведенное рассуждение можно было бы сделать более точным.) Мы видим, что решение радиального уравнения, имеющее правильное поведение при г -ь О, экспоненциально возрастает при г-э со.
Из формулы (4) видно, однако, что существуют такие значения х, что ряд будет обрываться на некотором члене. В этом случае функция Л~ окажется многочленом, а решение 1~(г) будет квадратнчно интегрируемым. Обозначим через й номер старшего коэффициента, отличного от нуля, т. е. аа Ф О, аьь~ — — О, А = О, 1, 2, ... Из (!) видно, что это возможно, если а собственные функции имеют вид Ф,~,„= т в ""'Л ~ (г) Ущ (О, ~р), (7) где Л,~ — многочлен степени п — 1 — 1, коэффициенты которого находятся по формуле (4), ас — из условия нормировки.
Мы видим, что число собственных значений бесконечно и имеет точку сгущения Е = О. Нетрудно определить кратность собственного значения Е„. Каждому Е„соответствуют собственные функции ф„ь,, различающиеся квантовыми числами ! и т, при- х и=хм=,+ + Из формулы — 2Е = х' получаем х~ т (Р~ ~ ~ .~. ) ) (5) Параметр й является введенным ранее радиальным квантовым числом.
Мы видим, что собственные значения Ем зависят только от и = й+1+ 1. Это число называется главным квантовым числом. Вспоминая, что А = О, 1, 2, ... и 1= О, 1, 2, ..., получаем: и = 1, 2, 3, ... Далее при заданном п квантовое число 1 может принимать значения О, 1,2, ..., л — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
