Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Обычно стремятся выбрать такую толщину мишени, чтобы достаточно большое число частиц а рассеялось на частицах Ь и в то же время, чтобы доля частиц а, испытавших многократное столкновение, была пренебрежимо мала. В этом случае для объяснения результатов экспериментов достаточно изучить задачу о рассеянии частицы а на частице Ь. Такая задача является задачей двух тел, если частицы а н Ь элементарные, и задачей многих тел, если частицы а и Ь составные, Напомним, что задача двух тел отделением движения центра инерции сводится к задаче о движении частицы в поле неподвижного силового центра.
Эта задача является простейшей задачей теории рассеяния. При рассеянии на силовом центре вследствие закона сохранения энергии частица может изменить лишь направление своего движения. В этом случае говорят об упругом рассеянии. При столкновении составных частиц возможны более сложные процессы. Например, при столкновении электрона с атомом водорода возможно упругое рассеяние (состояние атома не меняется), рассеяние с возбуждением (электрон передает часть своей энергии атому, который переходит в новое состояние) и, наконец, ионизация атома электроном.
Каждый такой процесс называется каналом рассеяния. Рассеяние частицы на силовом центре является одноканальным, а рассеяние составных частиц обычно многоканальным. Если, однако, сталкивающиеся частицы а и Ь находятся в основном состоянии и энергия их относительного движения меньше энергии возбуждения, то рассеяние будет одноканальным. Основной характеристикой различных процессов рассеяния, которая измеряется в экспериментах, является нх сечение, 137 которое мы определим ниже.
Процессом рассеяния мы называем некоторое множество возможных результатов рассеяния. В этом смысле процессами являются: 1) упругое рассеяние в элемент телесного угла 0п, построенный около направления и; 2) упругое рассеяние на произвольный угол; 3) рассеяние в телесный угол с(п с возбуждением мишени с Ьго уровня на й-й; 4) рассеяние с ионнзацией мишени; б) процесс, состоящий в том, что рассеяние вообще имело место, и т. д. Вероятность Ф какого-либо процесса рассеяния а на Ь зависит от некоторой величины, которая характеризует точность «стрельбы» частицами а по частице Ь.
Чтобы ввести такую характеристику состояния налетающей частицы а, построим плоскость, проходящую через точку, в которой находится рассеиватель Ь, и перпендикулярную импульсу налетающей частицы а. Вероятность НФ' пересечь плошадку с(5 этой плоскости для частицы а пропорциональна Ы5, т. е. с())т = И5. Ясно, что вероятность У будет пропорциональна величине У, вычисленной в точке, где помещен рассеиватель *.
Теперь естественным представляется определение сечения ш У / ' Сечения перечисленных выше пяти процессов носят назва. ния: 1) дифференциальное сечение упругого рассеяния, 2) полное сечение упругого рассеяния, 3) дифференциальное сечение возбуждения, 4) сечение ионизации, 3) полное сечение. Понятие сечения становится особенно наглядным, если предположить, что имеет место полный детерминизм результатов рассеяния. При таком детерминизме результат рассеяния определялся бы той точкой поперечного сечения пучка, через которую прошла бы частица прн отсутствии рассеивателя. Процессу рассеяния соответствовала бы тогда некоторая область в плоскости поперечного сечения, н сечение равнялось бы площади этой области. Перед теорией рассеяния стоят две задачи: по известным потенциалам взаимодействия между частицами найти сечения различных процессов (прямая задача) и по известным сечениям получить информацию о взаимодействии частиц (обратная задача).
В лекциях мы ограничимся изучением прямой задачи рассеяния частицы на потенциальном центре и начнем с простейшего одномерного случая. ' Рассеинатель Ь ц этом считается удаленным, так как 1 характеризует состояние свободно движущейся частицы а. 136 $36. Рассеяние одномерной частицы на потенциальном барьере (2) ' Если потенциал не является финитным, но достаточно быстро убывает при )х)-е оо, то приведенные выражения для ф и фз в областях 1 и П следует рассматривать как аснмптотики функций ф, и фа при х-е ~со, Изу.
чать зтот случай мы не будем. 139 Изложение этого вопроса мы построим по следующему плану. Сначала мы сформулируем так называемую стационарную задачу о рассеянии. Для этого мы изучим решения уравнения Нф = Еф некоторого специального вида. Физический смысл таких решений мы выясним позже, построив при их помощи решения нестационарного уравнения Шредингера . дэ 1 — =Нф. Для простоты записи мы используем систему единя ницы, в которой И = 1, пт = 1/2. Оператор Шредингера в координатном представлении имеет вид Лз Н = — —,+ У(х). оха (1) Функцию У(к) мы будем считать финитной (У(х) = О, )к) ) а) и кусочно-непрерывной. Условимся называть области х < — а, х ) а и — а < х < а вещественной оси областями 1, П и П1 соответственно.
Задача о рассеянии является задачей об инфинитном движении частицы. Такое движение возможно при Е ) О, и мы знаем, что при Е ) О спектр оператора Шредингера непрерывен. С математической точки зрения задачи о рассеянии являются задачами о непрерывном спектре оператора Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера, которое на всей вещественной оси имеет вид — фм+У(х)ф=йф, Е=йз, И>О, упрощается в областях 1 и П фм + Изф = О. (3) Уравнение (3) имеет два линейно-независимых решения е"™ и и-'ах.
Решения уравнения (2) на всей оси могут быть построены сшиванием решений в областях 1 — П1. При сшивании мы должны использовать условия непрерывности решений и их первых производных в точках — а и а. Это накладывает четыре условия на шесть произвольных постоянных, входящих в выражения для общих решений в областях 1 — ПЕ Пятым условием для этих постоянных является условие нормировки.
Поэтому могут быть построены линейно-независимые решения уравнения (2), которые в областях 1 и П имеют вид а 1 11 тР, (И, к), езьх+ 4 (И) и-зах В (И) азах тР (И х) 1ч (И) е-сах и-зал+ С (И) азах (4) Умножая первое из равенств на <рм второе на <р~ и вычитая одно из другого, получим — „"„(рр,' — р',р,) = О. Используя это свойство, мы можем приравнивать врон- скианы для любой пары решений в областях 1 и 11.
Выбирая в качестве таких пар решений последовательно фь фм фь яьб ф„и фь ф, и использУЯ Равенства: Ф(е-м", е'~') = 2Й, Ям(еа'~', е-м") = О, мы придем к следующим соотношениям между коэффициентами А, В, С и Р: В=Р, (Аг+1ВГ=( (в Г+~СГ= ), АВ+ ВС=О. (6) (6) (У) (8) (Например, в области 1 )р(фь йь) = — 2Й(1 — АХ), а в области П Ю'(фь 4) = — 2ЙВВ. Приравнивая эти выражения, полу.
чим соотношение (6).) Соотношения (6) — (8) показывают, что матрица 5, составленная из коэффициентов А, В = Р и С -(.":) является симметричной и унитарной. Эта матрица называется матрицей рассеяния или просто 5-матрицей. Мы увидим в дальнейшем, что все физически интересные результаты могут Например, при построении решения ф мы, используя произвольность одной из констант, полагаем равным нулю коэффициент при е-м" в области 1!.
Далее мы выбираем равным единице коэффициент при е"" в области 1, тем самым определяя нормировку функции фь Коэффициенты А и В находятся из условий сшивания вместе с постоянными т и п, где ппр~+п~з— общее решение (2) в области П. Нетрудно убедиться, что условия сшивания приводят к линейной неоднородной системе уравнений для А, В, т и и с определителем, отличным от нуля, если ф~ и сиз линейно-независимы. Аналогично стРоитсЯ Решение фь Линейная независимость решений ф~ и фз следует из того, что вронскиан этих решений не равен нулю. Выясним свойства коэффициентов А, В, С и Р.
Для этого заметим, что вронскиан (р' (~рп ~р,) = ~рр' — ~фз решений ф, и ~рз уравнения (2) не зависит от х. Действительно, пусть ~р~ и <рз удовлетворяют (2), тогда ~р, — ( г' — я~) <р, = О, ~р — (à — я~) ~р = О. быть получены, если известна З-матрица, поэтому вычисление ее элементов является основной задачей одномерной теории рассеяния. Рассмотрим вопрос о нормировке функций ф~(й,х) ифз(й,х). Имеют место формулы ~ ф~(йь х)фз(йм х)дх=О, й, > О, йз> О, ~ Фг а (йьх) фьа (йм х) г(х = 2пб (й~ — йз), (10) т. е. справедливы те же соотношения, что и для функций ем' и е-'", и нормировка не зависит от вида потенциала 1~(х). Интегралы в формулах (9) и (10) понимаются в смысле главного значения.
Мы проверим (10) для функции фь Остальные два соотношения проверяются так же. Подстановка функций ф~(йьх) и ф~(йз,х) в уравнение (2) приводит к равенствам ф" (йо х) + йзф(йо х) = У(х) ф (йо х), ф" (яз, х) + й~зф (яз, х) = Ь" (х) Ф (яр х). (Мы не пишем индекс ! в обозначении решения ф~ для сокращения записи.) Домножая (1!) на ф(йз,х), а (12) на ф(йьх) и вычитая первое из второго, получим — )Р'(ф(йо х), ф(й„х)) =1й', — й,') ф(йо х) зР (йз, х). (11) (12) — ИА(й~) А(й )+ В(й ) В(йз))е'и'-ьа" — е "и вв "[- [А (йз) е-' иьезы х + А (йд е'!ь~+"ив[ з~ + зр Интегрируя это равенство, будем иметь ф(й! х) ф(йз х) Нх= з з 1(7 (ф (йо х), Ф (йз х)) [ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
