Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(13) з! ~2 -М Нас интересует предел в смысле обобщенных функций интеграла, стоящего в левой части (13), при !Ч-+ со. Уже из формулы (13) видно, что этот предел зависит только от вида решений в областях ! и П (для случая инфинитных потенциалов только от асимптотики решений при х-++.оо). После простых вычислений получим ~ ф (Йь х) ф (яз, х) г(х = -и 1пп г" (ль йз, У)=0. М+ где Наконец, используя известную формулу Иш = пб (х), У.+ получим Итп ) ф~(йь х)ф~(йз, х)с(х=2иб(й,— й,), мэ ' что совпадает с (10). й 37.
Физический смысл решениИ ф~ и фэ Для того чтобы выяснить физический смысл решений и фь построим с их помощью решения нестационарного уравнения Шредингера ю' — = Нф, . сар ш Рассмотрим решение уравнения Шредингера, построенное по функции ф ~ (й, х) ср1(х, 1)= ~С(й)ф,(й, х)е сачЖ. (1) о Относительно функции С(й) мы предположим, что она отлична от нуля в малой окрестности точки й,. В этом случае ф~(х, т) имеет наиболее простой физический смысл.
Кроме того, будем считать, что " Для этого достаточно, чтобы А(й) и В(й) были дифференцируемыми функциями от и, что может быть доказано. 142 Второе слагаемое по теореме Римана — Лебега стремится к нулю (в смысле обобщенных функций). Подобное утверждение несправедливо по отношению к первому слагаемому, так как оно сингулярно при й1 = йе. Сингулярная часть этого слагаемого не изменится, если заменить А(йа) и В(йз) на А(А~) и В(й1) соответственно а.
Используя (6), имеем ~ фт(йь х)ф1(йм х)с(х= шп (К вЂ” йэ)У+В(йь йе, М), тогда из (36.(0) следует, что ~ ! ю~(х, 1)!'с(х = (, т. е. решение грг(»,1) имеет правильную нормировку. Используя сосредоточенность функции С(й) в окрестности точки йо и непрерывность функций А(?т) и В(я), можно записать приближенные выражения ч для функции грг(х, 1) в областях ? и П: ?: гр,(х, 1) си гр+(х, 1)+ А(?го)ф (х, 1), П: грг (х, 1) ж В(й,) гр+ (», 1), '! С(?т) егах-гач !ь Ч?2п о (2) где <р (х, 1) = — С(~ — ) е'к + 0 ( — ), где )( — вещественная функция, вид которой для нас несуществен.
Из этого выражения видно, что функции гр (х,() при 1(- со отличны от нуля только в окрестности точек х = +-2йо1. оэтому гр+ описывает состояние свободной частицы, движущейся слева направо со скоростью *"е о = 2?то, а ф — частицу, имеющую противоположное направление скорости (напомним, что т = !/2). Теперь легко понять, какими свойствами обладает решение гр,(х, 1) при 1 - +-оо. Пусть 1 -ь †. Тогда в областях ? и П имеем ?: гр,(х, 1)=гр+(х, 1), П: гр~(х, 1) =О, * Этн выражения можно считать сколько угодно точными, если интервал йй, внутри которого С(Л) отлична от нуля, сколь угодно мал. Однако перейти к пределу, заменив С(Л) на б-функнию, мы не можем, так как не получим квадратично интегрируемого решения уравнения Шредингера. " Имеется несущественное различие в записи.
Нам удобнее здесь считать й ) О, и знак импульса в экспоненте еем* выписывается явно. Кроме того, интегрирование в (2) можно распространить на всю вещественную ось, так как С(й) = О при й ( О. "'" Более точна: со скоростью 2йс перемещается область, в которой отлична от нуля вероятность найти частицу. !43 Функции гр (х,() являются нормированными решениями уравнения Шредингера для свободной частицы и изучались ** в ч !5. Там же были построены асимптотические выражения для этих решений при 1- +-оо так как при 1- — оо ф (х т)=О при х~ — а и фа(х ()=О при х ) а.
Аналогично прн 1- +оо 1: ф,(х, () = А(й,)ф (х, 1), П: ф,(х, 1) = В(й,)ф (х, 1). Мы видим, что задолго до рассеяния (1-ь — оо) частица с вероятностью, равной единице, находится слева от барьера и движется по направлению к барьеру со скоростью 2йо. Вычислим вероятности (Р, и Ф'т~ обнаружить частицу при 1- +оо в областях ( и П соответственно. Имеем -а а ЯГт= ~ ~ф~(х, 1) !зс(х=! А(йо) ~ ~ (ф (х, 1))тих= =/ А(йо)/т $ ~ф (х, 1)~тт(х=!А(/г,)/е.
Замена области интегрирования т' на всю вещественную ось возможна, так как при 1-ь+оо ф (х,г) ~ О только в области А Точно так же проверяется, что й'тт 1В(ио) ~ ' Графики функции /ф1(х,т)(т как функции от х при 1-ь~оо изображены на рис. 12. -и а х Рис.
ВХ Таким образом, решение уравнения Шредингера ф,(х,() описывает частицу, которая до рассеяния приближается к потенциальному барьеру со скоростью 2йо и с вероятностью (А(йо) )Я отражается от барьера илн с вероятностью 1В(йо) )т проходит через потенциальный барьер ". Обратим внимание на то, что результат не зависит от вида функции С(й), важно только, чтобы интервал Лй, в котором С(й) отлична от нуля, был мал.
Физически это требование понятно, если мы хотим экспериментально найти зависимость, а В одномерной задаче понятие сечения теряет смысл. Всю информацию о рассеянии содержат вероятности 1А1з и 1В)з. Н4 ~ А!'+! В)з= — 1, ~ В И+~С)'=1 выражают закон сохранения вероятности. Действительно„нормировка решений ~р~(х, !) и фз(х, !) от времени не зависит, а при 1- оо имеем Иш ~ ) <р,(х, !) ('Ых=! А(й) !'+( В(й,) !'=1 с.+ 3 38. Рассеяние на прямоугольном барьере Рассмотрим конкретный пример задачи о рассеянии одномерной частицы на прямоугольном потенциальном барьере. Пусть Уравнение (уф = я'ф в этом случае в областях 1 — ((! имеет вид 1 и П: ф" + я'$ = О, Ш: ф" +а'$ О, (1) где а = т(й' — 1', (для определенности считаем, что а ) 0 пРи И вЂ” Ь'э ) 0 и †(сс ) 0 пРи Яз†Уз ~ О). Построим решение ф~(й,х). Это решение в областях ! — !!! имеет вид 1: е""+Ае "", РР Вам к 111: пте'""+ пе '".
(2) (3) например, коэффициента отражения (А (я) (з от й, должны использовать частицы, находящиеся в состоянии с возможно меньшей дисперсией й (состояний с нулевой дисперсией не существует). При конкретных расчетах коэффициентов отражения и прохождения )А(й) )' и )В(я) (з нет необходимости решать яестационарное уравнение Шредингера, достаточно найти решение ф~(я, х). Заметим, что решение ~а~(х, !), которое можно построить по функции фз(я,х), имеет такой же смысл, только частица приближается к барьеру справа. Вспомним свойства матрицы рассеяния 5. Равенство В = В приводит к равенству вероятностей прохождения через барьер в противоположных направлениях и, как можно показать, является следствием инвариантности уравнения Шредингера относительно обращения времени.
Равенства Коэффициенты А, В, т, и находятся из условий непрерывности функции чр1 и ее производной в точках — а и а е "'+ Аеци = те "" + пп", й (е 1ьа Ае1аа) — а (тп-гоп пеша) те~оп + пп- 1аа — Вема еа (тпгоа пе-гоп) — ЬВема Выпишем выражение для коэффициента В В ~ + екель- )и ет~ а+о1 4ой 4ой Нетрудно проверить, что В-» О при выполнении любого из условий: 1) й-»О 2) Уо-~'со, 3) а-»оо, й'< Уо. Наоборот, В-» 1 при выполнении одного из условий: 4) й-»со, 5) Уо — »О, 6) а — »О. Мы видим, что в предельных случаях 1) — 5) результаты, полученные на основе квантовой механики, совпадают с классиче- ! Р скими*. На рис. 13 приведен график функции ) В(й) (з. Из графика видно, 1 что при некоторых конечных значениях й вероятность прохождения ~ В (з = 1. Интересно отметить, что уравнения (1) вместе с условиями (2) н (3) описывают прохождение световых волн через прозрачные пластинки. При этом 1В!з и (А (з пропорциональны интенсивностям проходящей Рис.
13. н отраженной волн. В случае (В)з = = 1, (А1а = О отраженная волна отсутствует. Это явление используется для просветления оптики. 9 39, Рассеяние на потенциальном центре Для задачи о рассеянии на потенциальном центре оператор Шредингера имеет вид Н= — Л+ У(х). (1) (Мы снова считаем, что т = 1/2, й = 1). В дальнейшем мы обычно будем считать, что потенциал У(х) — финитная функция * Согласно классической механике частица с вероятностью единица проходит чеРез баРьеР пРн йз ) Уе и с веРоЯтностью единица отРажаетсЯ пРи ( Уо. 146 (Р(х) = 0 при )х) ) а).
Изложение построим по той же схеме, что и в одномерном случае, т. е. сначала рассмотрим некоторые решения стационарного уравнения Шредингера, а затем выясним их физический смысл с помощью нестационарного уравнения Шредингера. Наша первая задача — сформулировать асимптотическое (при г -ь оо) условие на решение уравнения — Лф(х) + (7(х) ф(х) =/с'ф(х), которое соответствует физической картине рассеяния и является аналогом условий (36.4) для одномерной задачи. Естественно ожидать, что одно слагаемое асимптотически будет соответствовать частице, налетающей на рассеивающий центр по определенному направлению, а второе — соответствовать рассеянной частице, которая может иметь различные направления движения после рассеяния и удаляется от центра. Аналогами функций е'"" и е-се" в трехмерном случае являются функции ес"'/г и е-се'/г.
Поэтому разумно предположить, что частице до и после рассеяния в асимптотике соответствуют слагаемые е е'е' — Ь (п+ в) и — 5 (/е, п, в). Мы используем следующие Г Г обозначения; (с — импульс налетающей частицы, в = й//с, и = = х/г, 6(п — и,) — б-функция на единичной сфере, определяемая равенством ~ / (п) 6 (п — п ) с(в = / (пе), с(п = з)п 9 с(9 с/ср, 5(й,п,в) — некоторая функция, которая, как будет показано, содержит всю информацию о процессе рассеяния и которая должна быть найдена при решении задачи.
Мы увидим в дальнейшем, что функция 5(/с, п,в) является ядром некоторого уни. тарного оператора 5, который называется оператором рассеяния. Мы приходим к следующей постановке задачи о рассеянии на силовом центре: требуется найти решение уравнения — Лф(х, )с)+ )7(х) сР(х, 1с) = /сеф(х, )с), (2) которое при г-эоо имеет асимптотику е-се' есе' ! Ф (х, (с) = — 6 (п + в) — — 5 (/с, и, в) + о ( †) . (3) Обоснование такой постановки задачи может быть дано только при помощи нестационарного формализма теории рас. сеяния, это будет сделано в следующем параграфе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
