Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Действительно. подставляя в (18) <(><">= 2 « а<<Р< и учитывая, что Я<р= ~ „,(<р, <1><) <Р>, получим ~ а< (С<Р<, <Р<) <Р> — — Л<о ~,а><р< ! или ~ Сна< — — Ли>ап где Сп = (С<р<, <р>).
Матрица !! Сп 1) является самосопряженной, поэтому всегда может быть приведена к диагональному виду. Обозначим собственные значения этой матрицы через Л<н 1= 1, 2, ..., <1. Кратному собственному значению Л невозмущенного оператора А соответствует <1 собственных значений оператора В = А + С, которые в первом приближении теории воз.
мущений имеют вид Л+ Л<<", 1 = 1, 2,..., <). Обычно говорят, что возмущение снимает вырождение. Разумеется, снятие вырождения может оказаться неполным, если среди чисел Л<>' окажутся о> одинаковые, т. е. оператор <,<СЯ имеет кратные собственные значения. >За Пример. Рассмотрим систему с оператором Шредингера 1 1 Н = — — Л вЂ” — — аВВз. 2 г (19) Такой оператор Шредингера описывает атом водорода, помещенный в постоянное однородное магнитное поле, вектор индукции которого направлен по третьей оси *.
В качестве невозмущенного оператора разумно взять оператор 1 1 Н = — — Л вЂ” —, 2 г ' т. е. оператор Шредингера для атома водорода, а гэН = — аВЕз рассматривать как возмущение. С физической точки зрения ЛН мало, так как магнитная сила, действующая на электрон атома в достижимых магнитных полях, на несколько порядков меньше кулоновской силы притяжения к ядру. Напомним, что собственные функции оператора Но фж (х) являются и собственными функциями оператора Ьз Езф.г =гпф.! Матрица возмущения ЛН сразу оказывается диагональной, и ее диагональные элементы равны — гхтВ Поэтому для энергии атома водорода в магнитном поле имеет место формула ** 1 Е = — — — аВпт. «и 2п э (20) Мы видим, что магнитное поле снимает вырождение по магнит- ному квантовому числу пт, однако остается характерное для кулоновского поля вырождение по 1.
е В электродинамике магнитным моментом частицы с зарядом е называется вектор е е е М= — кХт= — хХр — 1, 2с 2ср 2ср р' еэ е Н(Ф р)- — — — — — В1,, 2р г 2ср Соответствующий оператор Шредингера в атомных единицах совпадает с (19) прн а=1/2с, ее Приведенный пример является не совсем удачным, таи как функцяи фм являются точными собственными функцинми оператора Н с собственными значениями (20). 1ЗЗ Здесь р — масса частицы, т — скорость частицы, с — скорость света, 1 — мо.
мент импульса частицы. Функция Гамильтона частицы в однородном постоянном магнитном поле В содержит дополнительное слагаемое — МВ. Для атома водорода, помещенного в магнитном поле, направленное по третьей оси, функция Гамильтона имеет вид Явление, состоящее в расщеплении уровней энергии атомов в магнитном поле и в соответствующем расщеплении их спектральных линий, носит название эффекта Зеемана.
Интересно взглянуть на это явление с точки зрения теории групп. Вырождение по гп объясняется сферической симметрией оператора Шредингера. Магнитное поле, направленное по оси хз, нарушает такую симметрию. Группой симметрии оператора Шредингера атома в магнитном поле является группа вращений вокруг третьей оси. Эта группа абелева и все ее неприводимые представления одномерны. Поэтому наличие такой группы симметрии не вызывает вырождения, любое вырождение будет случайным. 5 34.
Вариационный принцип Рассмотрим функционал Е = ( ")' '~', ф ен тэ. (ч ° Ф) (1) Этот функционал имеет простой физический смысл: Е есть среднее значение энергии системы в состоянии, задаваемом вектором ф('(( ф (1 Если ф = ф„, где ф. — собственный вектор оператора Н, соответствующий собственному значению Е., то Е = Е,.
Вычислим вариацию функционала (!) (на), ))+(н~,ьз) (н~,ч)((ь), ь)+(),з))) (г Ф) (Ф гР ((Н вЂ” Е) ф ()з)) (4ь 1) Легко видеть, что условие стационарности функционала Е ЬЕ=О (2) эквивалентно уравнению Шредингера Нф = Еф. (3) Действительно, из (3) сразу следует (2).
Чтобы проверить обратное утверждение, достаточно наряду с вариацией бф рассмотреть бф ~ = (бф . Тогда из условия (2) следует, что ((Н вЂ” Е) ф 6$) (1) 1г) и из произвольности бф следует (3). Отметим еще одно важное свойство функционала Е. Для любого вектора ф вне Е > Ед, где Ее — наименьшее собственное значение, причем знак равенства имеет место только при ф= Сфм Это утверждение почти очевидно, так как среднее значение энергии не меньше минимально возможного. Проверим его формально для оператора Н с простым чисто точечным спектром. Будем считать, что собственные значения занумеро- 134 Е1 < Ет <.... Подставляя наны в порядке возрастания: Е~ < в (1) ф= 1,„„„С„ф„, получим ~" Я„1С» Р » Š— Е»= -, — Ез= ~ 1с»1 (е» вЂ” ео) )с» 1Р » (4) так как Е.— Е~) О. Знак равенства в (4) достигается, если С„=О при и=1, 2, ...
В этом случае ф= Соф» Аналогично проверяется, что Е= Еь если (ф, фа)=0, Е)Ем если (ф, фа)=0, (Ф ф1)=0, (5) б((Нф, ~Ь) — Е(ф, ф)] = О, (6) где Š— множитель Лагранжа. Эквивалентность (6) и (3) проверяется так же, как эквивалентность (2) и (3). Вариационные принципы могут использоваться двумя способами для получения приближенных решений уравнения (3).
Первый способ состоит в том, что приближенная волновая функция ищется в классе функций определенного аналитического вида, зависящих от нескольких параметров иь ..., а,. Тогда Е=Е(иь...,а»), и параметры находятся из условий дЕ(а,, аь) = О, 1 = 1, 2, ..., й. да При втором способе приближенная собственная функция Н для сложной системы (например, для атома), зависящая от многих переменных ф(хохм...,х»), строится при помощи неизвестных функций от меньшего числа переменных (чаще всего представляется в виде произведения ф ~ (х1) ф 2 (хД...
ф х (х») нли линейной комбинации таких произведений). Из вариационного принципа находятся уравнения для функций фь ..., ф». 1ЗЗ Свойство Е ~ Е, делает вариационный принцип особенно эффективным для расчета основного состояния системы. Подставляя в (1) произвольный вектор ф ен М, мы получаем оценку сверху для Е,; из двух значений функционала (!) Е' и Е" более близким к Е, является меньшее. Использование свойств (5) для оценки Е„ наталкивается на трудности, так как нам неизвестны собственные векторы фм ..., ф» ь Существует вторая формулировка вариационного принципа, которая утверждает, что уравнение Шредингера (3) эквивалентно условию стационарности функционала (Нф, ф) при (ф,ф) = 1.
Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, последнее условие можно записать в виде С этим способом мы познакомимся, когда будем изучать слож. ные атомы. Пример. Применим вариационный принцип цля приближенного расчета основного состояния атома гелия. Оператор Шредингера для гелия в атомных единицах имеет вид 1 1 2 2 1 Н = — — Д! — — Дг — — — — + —. 2 2 гг гг ты В качестве пробной функции возьмем * ф(х!, х„а)=е "е ". Вычисления, которые мы не приводим, дают простое выражение для функционала Е(а) = а' — — а.
27 8 Минимум этого выражения достигается прн а 27/16, и приближенное теоретическое значение энергии основного состояния Ес = Е (27/! 6) = — (27/16)' ем — 2,86. Экспериментальное значение Ео„„ = — 2,90. Мы видим, что такой простой расчет приводит к весьма хорошему согласию с экспериментом. Как и следовало ожидать, теоретическое значение Е, больше экспериментального. Заметим, что е "' является собственной функцией основного состояния частицы в кулоновском поле — а/г. Поэтому прибли— !Ггеге женная собственная функция е 'а является точной собственной функцией для оператора 1 1 27 27 Н = — — Д! — — Дг 2 2 !бг| 1бгг Взаимодействие между электронами в приближенном операторе Шредингера Н' учтено заменой заряда ядра У = 2 на Л' = 27/16, тем самым учтена экранировка ядра зарядом электрона.
В заключение отметим, что при расчетах атома гелия ис. пользовались пробные функции с огромным числом парамет. ров и была достигнута такая точность, что имеющиеся расхождения с экспериментом могут быть объяснены релятивистскими поправками. Столь точное решение задачи об основном состоянии атома гелия имеет принципиальное значение для квантовой механики и подтверждает справедливость ее уравнений для задачи трех тел, " Выбор пробной функции можно объяснить тем, что функция е является точной собственной функцией оператора Н вЂ” 1/гы. действительно, если в О отбросить член 1/гы, то разделением переменных такая задача сводится к задаче о водородоподобном ионе, а, как было показано, собствен.
ьая функция основного состояния такого иона есть е-г', где 2 — заряд ядра. 1зб 5 35. Теории рассеяния. физическая постановка задачи Мы начнем с описания физической постановки задачи о рассеянии. Пусть пучок частиц сорта а, получаемый от ускорителя, падает на мишень, состоящую из частиц сорта Ь. Схема такого опыта изображена на рис. 11. Частицы а и Ь могут быть как элементарными, например, электроны, протоны, нейтроны, так и составными, например, атомы, молекулы, атомные ядра. Экспериментатор изучает физические характеристики частиц, вылетающих из мишени. Если они отличаются от соответствующих характеристик падающих частиц, то зчевчик можно говорить, что частица а испытала рассеяние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
