Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Таким образом по произвольному базисному элементу е;„, может быть построена цепочка собственных векторов с одним п тем же собственным значением оператора Уз и с собственными значениями ть тз + 1, ..., тз оператора Уз. Через тз и тз мы обозначили наименьшее и наибольшее собственные значения соответственно. Существование т~ и тз следует из неравенства (8), цепочка собственных векторов должна обрываться в обе стороны. Вычислим норму вектора У е~, учитывая, что !! е; !! = 1 и что У~ = Ут, 11 У~е;„, ~! = (УтУ~е~„„еу,„) = ((У вЂ” УзвУз) ез, ег ) = = ! (1'+ 1) — т (гп ~ 1) = (1 -з- т) (1 +.
т + 1). Поэтому мы можем написать У е, = — ~У(! .ь т) (! ~ т + 1) е Эта формула позволяет по произвольному орту е; строить новые орты еь „удовлетворяющие всем требованиям. Знак минус перед корнем написан из соображений удобства. Мы пока еше не выяснили, какие значения могут принимать числа / и т. Будем исходить из равенств У е~ — — О, Уэе! — — О. (8) Умножая эти равенства на У+ и на У и используя (5), получим (Уз Узз+ Уз)е! =О, (У Уз Уз)е!м =О, или 1(! + 1) — т'; + т, = О, !(1+ !) — т'— (9г Из (9) сразу получаем (т~+ тз) (т~ — тз — 1) = О, Нам го-. 111; дится одно решение этого уравнения т~ = — ть так как тз ~ ) ть Далее тз — т~ = 2тз — число целое или нуль.
Поэтому тз может принимать значения О, 1/2, 1, 3/2, ... Наконец, из (9) мы видим, что в качестве числа 1' можно взЯть тз. Мы получили, что собственные значения оператора Р имеют вид /(1' + 1), где / = О, !/2, 1, 3/2, ..., а собственные числа т оператора Х, при заданном / пробегают (2/ + 1) значение: †!, — 1' + 1, ..., 1 — 1, /. Числа 1 и т одновременно являются либо целыми, либо полуцелыми. Еще раз подчеркнем, что эти свойства спектра операторов Х' и У мы нашли, используя только перестановочные соотношения. Для завершения доказательства нам осталось убедиться в том, что построенные собственные векторы образуют базис в Ю.
Это следует из неприводимости представления. Действительно, надпространство Ю", натянутое на векторы е;, т = †/, — 1 + 1, ..., 1, будет инвариантным относительно операторов Хм й = 1, 2, 3, а потому должно совпадать с э, и размерность представления и = 2/+ 1. Формулы (1) и (7) показывают, что матрицы У„при таком выборе базиса совпадают с матрицами Мм Заметим, что мы заодно построили способ разложения произвольного представления на неприводимые.
Пусть в некотором пространстве Ю действует представление группы вращений — !Хз и его инфинитезимальные операторы. Для того чтобы выделить иивариантные подпространства, мы должны найти общие решения уравнений Ре1„, = 1 (1 + 1) е1, Хзе!„— — те! . (10) Векторы е; при заданном / и т = — 1, — 1+ 1, ..., 1' образуют базис неприводимого представления размерами 2/+ 1. Задача о нахождении общих решений уравнений (10) проще всего решается следующим обрезом. Сначала находится вектор е11, удовлетворяющий уравнениям Х+е11 — — О, Хзе11 — 1е!, а затем для построения векторов е! используется формула Х е! = — ~l(/+ т) (/ — т + 1) еь которая позволяет по е;; последовательно найти все векторы е; .
0 30. Представления группы вращений в пространстве 1.з (8з). Сферические функции В 3 25 мы построили представление группы вращений в пространстве состояний Ж = У.з(йз) операторами (Р'(а) = ехр [ — 1(Е,а~ + Х.заз+ Х.заз)[, где с'.с, Еь Ез — операторы момента импульса. Напомним, что эти операторы действуют только на угловые переменные функции ф(х)вне.'(К'), поэтому пространство х,з(йз) удобно рассматривать как П(й+)® Р(5').
Здесь Р(йс) — пространство квадратично интегрируемых функций 1(г) с весом г' на К+, а Е'(оз) — пространство функций ф(п) = ф(О,ср), квадратично интегрируемых на единичной сфере. Скалярные произведения в этих пространствах вводятся формулами (с с сз) ~ с с с (с) с 2 (г) с1г (с)сс фз) ~ фс (п) фс (и) с(п о з1 где ссп = в(п О асО с(ср — элемент поверхности единичной сферы. Несколько громоздкие вычисления приводят к следующему виду операторов момента импульса в сферических координатах: д д 1с =с(в!п Чс — + с1нОсовф — ), ае дч ) ' д ах 1. = — с (сов ср — — с1дОв(п ф — ), дв ач)' д ьз= д<р ' Операторы Е =Асей.з в этих переменных имеют вид =ест~ — +с'с1аΠ— ), 1.
=е се~ — — +се(ОΠ— ). /д . дх / д . д + ~ав дч)' ~ дв дч)' Общие собственные функции операторов П и Ез будем обозначать через Ус (п) (число 1 для операторов 1. принято обозначать через 1). Уравнения Е+Усс = О и ЕзУсс =1Усс в сферических координатах имеют вид — с — = 1Усс, ° дгсс дссс (11 — + с'с(иΠ— Уц = О. дусс . д дз дзс Из первого уравнения (1) видим, что Уц (О, ср) =ессчРсс (О), причем 1 может принимать только целые значения, 1= О, 1, 2, ... Второе уравнение (!) позволяет получить уравнение для Рц(О) '"„",1'1 — 1с(О Отсс (О) = о.
(2) Решая это уравнение, получим Гсс(О) =С в(п'О, 113 Заметим, что для каждого ! существует одно решение уравне. ния (2). Итак, мы нашли, что Уп(О, <Р) =С з!п'Оеп!, причем постоянная С может быть найдена из условия нормировки. Остальные функции У! (п) могут быть вычислены по формуле ! х д . д 1 У1, т-\ е !т( — — +1с(пй — /!У, .
ч/(1+ т) (1 — т+ И (, де дч) Мы не будем проделывать соответствующих вычислений. Функции У! (п) называют нормированными сферическими функциями !-го порядка. Для них может быть получено выражение У, (О, !р) = =е! ~Р!" (соз О), ч/2я где функции Р! (и)= у у — —,(! — р) щ /(1+т!! /21+! 1 — д! (и! — В Ч (! — т)! 2 2!П ,1 1-Я носят название нормированных присоединенных полиномов Лежандра. Итак, базис неприводимого представления в пространстве ьх(5') состоит из сферических функций У! (п) при фиксированном ! и и! = †!, †! + (, ..., !. Пространство /.2(52) содержит подпространства неприводимых представлений всех нечетных размерностей 2! + 1 (! — целое) по одному разу. Теорема о разложении представления группы вращений на неприводимые в данном случае эквивалентна утверждению о полноте сферических функций в /з(52).
Любая функция !Р(п)~ Е'(5х) может быть разложена в сходящийся ряд ф(п)=Е Х С,„У,„(п). (3) (4) Ясно, что взаимно-однозначное соответствие /(г) !р (п) Вспомним, что в пространстве (2), действовали неприводимые представления как четных, так и нечетных размерностей. Пространство ее)! можно представить в виде прямой суммы Ы,+бейб~, где 22!~ н ее!! — ортогональные подпространства четных и нечетных функций соответственно. В и)", как и в /з(5'), действуют представления только нечетных размерностей. Любой элемент /(г) ~ Ы!+ может быть представлен в виде ~С вЂ” иф Р+т /()=Е Е С,. ","Π— Й~Ю-:- ч ' устанавливает изоморфнзм между пространствами Ыз н Ь (о ), з при котором 1! — а (на У, (и), з/(1 — т) !((+ ж)( Мь +(.м й=!, 2, 3. В заключение этого параграфа рассмотрим пзпедставление группы вращений в пространстве состояний ьз(й ) = ~,з(5з)® ® (з(К~).
Пусть (1„(г)) — произвольный базис в (.з(й+). Тогда (1'„(г) У~ (п)) — базис в пространстве Сх(К'), и любая функция ф(х)ен 1.т(нз) может быть разложена в ряд ф(х)=~ 2: 2: С„,.)„(г)У,.(Е, р). Из этой формулы видно, что Т.'(й') также может быть разложено (причем многими способами) на подпространства, в которых действуют неприводимые представления группы вращений порядка (21+ 1), и каждое представление Р~ встречается бесконечное число раз. Любое нз инвариантных подпространств, в которых действует неприводимое представление Рь есть множество функций вида 1(г) ~„С„У„„(8, <р), где 1(г) ~ 1." (1(+). гп -Р $ 31. Радиальное уравнение Шредингера Вернемся к изучению задачи о движении частицы в центральном поле.
Будем искать решения уравнения Ф нли, используя формулу (23.5), (1) Мы видели, что собственные подпространства оператора Шредингера Н в случае отсутствия случайных вырождений должны совпадать с подпространствами неприводимых представлений Рь а при наличии случайных вырождений являться прямой суммой таких подпространств. Ясно, что все независимые собственные функции оператора Н можно построить, если мы будем искать их в виде ф(г, п)=Я,(г)У, (и). (2) Эти функции уже являются собственными функциями операторов 1.з и Ез 12$ 1(1+!) ф 13$ щФ 115 а потому описывают состояния частицы с определенными значениями квадрата момента импульса и его третьей проекции.
Подстановка (2) в (1) дает нам уравнение для Н~(г) 2нгс дг 1, дг ) + 2ягс Введем новую неизвестную функцию Й1(г) = —, 16 (г) и уравнение для /~(г) примет вид — — — 2+ /1+ 1г(г) 1~ — Е/. д2/ ! 0-1- В (3) Это уравнение носит название радиального уравнения Шредингера. Обратим внимание на некоторые особенности уравнения (3). Прежде всего параметр гп не входит в уравнение, физически это означает, что энергия частицы не зависит от проекции момента на ось хс. Для каждого ! получается свое радиальное уравнение.
Спектр радиального уравнения всегда простой (это можно доказать), поэтому случайные вырождения возможны, если уравнения (3) с разными 1 имеют одинаковые собственные значения. Радиальное уравнение по виду совпадает с уравнением Шредингера для одномерной частицы — — — „, + Уф=Еф, 1 пса 2я их~ если ввести так называемый эффективный потенциал У,ф(г) = У(г) +, . (4) Рис. 7. Есть, однако, одно существенное отличие. Функция ф(х) определена на й, а /~(г) на к+, поэтому радиальное уравнение эквивалентно одномерному уравнению Шредингера для задачи с потенциалом У(х) при условии, что У(х) = ос прн х ( О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
