Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Итак, мы получили следующие результаты. Для собственных значений Е справедлива формула х' Ел= — — ~ (6) 2л~ ' чем 1= О, 1, 2, ..., и — 1, а ги = — 1, — 1+ 1, ..., 1. Для крат- ности г1 получим э-1 и= ~, (21 — 1) =и'. г-о Кратность собственных значений для кулоновского поля оказывается большей, чем в общем случае центрального поля, имеет место дополнительное вырождение по 1. Мы уже упоминали, что это «случайное» вырождение объясняется наличием более богатой, чем ЯО(3) группы симметрии у оператора Шриденгера для атома водорода.
Посмотрим теперь, какую физическую информацию дает нам решение уравнения Шредингера для атома водорода. Прежде всего мы нашли допустимые значения энергии, которые разумно привести в обычных единицах. Для этого достаточно умножить выражение (6) для Е„на атомную единицу энергии, равную Мэ =4,36 ° 1О ' эрг= 27,2! эВ. л' Будем считать, что Я = 1, т. е. рассмотрим атом водорода, тогда ме' .(8) Для энергии основного состояния атома водорода (и = !) имеем ме' Е1 — — — — — — — !3 6 эВ. ййт Абсолютная величина этой энергии называется потенциалом ионизации нли энергией связи электрона в атоме н равна работе, которую нужно совершить, чтобы вырвать электрон из атома.
Формула (8) позволяет вычислить частоты спектральных линий атома водорода. Квантовая электродинамика подтверждает гипотезу Бора о том, что частота спектральной линии определяется по формуле Ьо „=ń— Ею, Ее ) Е, причем имеет место поглощение светового кванта, если атом переходит из состояния с меньшей энергией в состояние с большей энергией и излучение при обратном переходе *. ' Спектр поглощения (темные линии на ярком фоне) возникает, если световой поток непрерывного спектра проходит через среду, содержащую атомарный водород.
Линии поглошения наблюдаются в звездных спектрах. Лннейчатый спектр излучения будет наблюдаться, например, если в среде с атомарным водородом происходит электрический разряд. Тогда атомы водорода под действием электронных ударов будут переходить э возбужденные состояния. Переходы На уровни с меньшей энергией приведут к появлению ярких линий, Для частот спектральных линий имеет место формула (9) Эта формула называется формулой Бальмера и была открыта им чисто эмпирически задолго до создания квантовой механики.
Обратим внимание на зависимость частот «а „ от приведенной массы 1е. В природе существует две разновидности водорода: обычный водород Н, ядром которого является протон л т в в Сарае Пайлала Рис. 8. с массой М = 1836ле (гл — масса электрона) и в небольшом количестве тяжелый водород — дейтерий О, ядро которого вдвое тяжелее протона.
Используя формулу 1е = леМ/(не+ М), легко сосчитать, что 1ел/1ен = 1,000272, т. е. приведенные массы очень близки. Тем не менее точность спектроскопических измерений (длины волн измеряют с точностью в 7 — 8 значащих цифр) позволяет надежно измерить отношение еал/сан для соответствующих линий. Это отношение получается тоже равным 1,000272 (для некоторых линий возможно расхождение в последнем знаке). Вообще теоретически вычисленные по формуле (9) и экспериментальные значения частот совпадают с точностью в 5 значащих цифр. Имеющиеся расхождения, однако, могут быть устранены, если учесть релятивистские поправки.
Наряду с переходами между стационарными состояниями дискретного спектра возможны переходы из дискретного спектра в непрерывный и обратные переходы; физически они соответ- 124 ствуют процессам ионизации и рекомбинации (захвата электрона ядром). В этих случаях наблюдается непрерывный спектр поглощения нли излучения *. Спектральные линии водорода на спектрограммах группируются в серии, соответствующие определенному зрачению и в формуле (9) и пт = и + 1, и + 2, ... Нескольким первым сериям присвоены имена: серия Лаймана (и = 1), серия Баль- мера (п= 2), серия Пашена (и= 3), Линии серий Лаймана лежат в ультрафиолетовой части спектра, первые четыре линии серии Бальмера в видимой части спектра, линии серии Пашена и последующих серий в инфракрасной части спектра.
К концу каждой серии линии сгущаются к так называемой границе серии, за которой начинается непрерывный спектр. На рис. 8 горизонтальными линиями изображены энергетические уровни атома водорода, а вертикальными отрезками— возможные переходы между ними. Заштрихована область непрерывного спектра. На рис. 9 схематично изображен вид спектральной серии, пунктиром изображена граница серии.
Важными характеристиками атомов являются вероятности переходов между состояниями. От вероятностей переходов зависят интенсивности спектральных линий. Переходы бывают спонтанные (самопроизвольные) с верхнего уровня на нижний с излучением кванта, вынужденные (под действием светового потока) и, наконец, переходы за счет столкновений с заряженными частицами.
Формулы для вычисления вероятностей спонтанных и вынужденных переходов дает квантовая электродинамика, переходы за счет столкновений изучаются в квантовой теории рассеяния. Для вычисления всех этих характеристик необходимо знание волновых функций. Кроме того, знание волновых функций дает возможность судить о размерах атомов, распределении заряда в атоме и даже о форме атома. Напо- Рис. 9. мним, что 1ф(х)1з есть плотность функции распределения координат. Под размером атома понимают размер той области, в которой 1зр(х)1з не является пренебрежимо малой.
Ясно, что размер атома — понятие условное. Рассмотрим для примера основное состояние атома водорода (и = 1, 1= О, т = 0). Учитывая, что Увв(п) = сопи(, к1 = 1, по формуле (7) получим тр|вв (х) = Се-'. ' Слово «спектр» здесь используется в двух смыслах: спектр оператора н допустимые значения частоты электромагнитного излучеиив 12в Из условия нормировки находим постоянную С ! ф !' Нх = ! С ('4п ~ е "г' дг = ! С !'и = 1, аз О откуда С = 1/~/и и 1 ф|м(х) ==е-'.
~~я Легко понять, что р(г) =4п! ф1зз(г) !згз=4е "г' есть плотность функции распределения координаты г. График этой функции изображен на рис. !О. Максимум р(г) достигается при ге = 1, г. е. га =! — наиболее вероятное расстояние электрона от ядра. В обычных единицах го = = йз/вез = 0,529. !О-з см. Интересно отметить, что это число совпадает с радиусом первой боровской орбиты. Мы видим, что размеры атома водорода имеют порядок !О-а см. Под плотностью заряда в атоме понимают величину — е!ф(х) !з, т. е. считают, что электрон за счет быстрого движения около ядра как бы размывается по объему атома, образуя электронное облако.
Наконец, вид функции (7) показывает, что при ! -ь О плотность распределения координат не является сферически симметричной. Зависимость этой плотности от углов позволяет говорить о форме атома в различных состояниях. В этом же параграфе мы рассмотрим простую модель ато. мов щелочных металлов, основанну|о на предположении, что их оптические свойства объясняются движением валентного электрона в некотором центральном поле К'(г), Потенциал )7(г) можно записать в виде суммы двух слагаемых р (г) = — — + 1, (г), х где первое слагаемое описывает взаимодействие электрона с ядром, а Р~(г) может быть истолкован как потенциал взаимодействия электрона с распределенным по объему атома отрицательным зарядом остальных электронов. Разумность такой модели именно для атомов щелочных металлов станет понятной только после того, как мы познакомимся со свойствами сложных атомов и таблицей Менделеева, О потенциале )г(г) мы знаем очень мало, но все же можиО утверждать, что 1 (г(г)гм — = при г- оо г и !'(г) еи — — при г-»0.
х Г Первое условие следует из того очевидного факта, что при удалении валентного электрона на бесконечность оп оказывается в поле положительного однозарядного иона. Второе условие вытекает из непрерывности потенциала объемного распределения зарядов )г!(г). В качестве модельного потенциала мы выберем )г(г)= — — — —,, а > О. 1 а (9) Г г' (!0] Введем число 1', которое удовлетворяет уравнению 1'(1'+ !)+ 2а — 1(1+ !) =0 и условию )!гп 1'=1, откуда получим 1'=.
— !12+ 1/(1+ !12)з — 2а. а.ь е Уравнение (!0) может быть переписано в виде 1, + — 1,—, 1! — ха!!=0, 2 !'(!'+!) ! г т. е. формально совпадает с уравнением для кулоновского поля. Все это может иметь смысл только при условии, что 1(1+ !)+ !/4 — 2а ) О. В противном случае мы получим для 1' комплексные значения *. Несмотря на то, что этот потенциал обладает правильным поведением на бесконечности, он имеет иное, чем «истинный» потенциал поведение в нуле. В то же время модельный потенциал правильно отражает тот факт, что при приближении к ядру поле становится более сильным, чем кулоновское — !1г.
Мы предположим, что параметр а мал (в каком смысле, укажем ниже). Численные значения этого параметра для разных атомов щелочных металлов разумнее всего выбирать из сравнения результатов расчетов энергетических уровней с найденными экспериментально. Радиальное уравнение для такого потенциала решается очень просто. Действительно, оно имеет вид 1, + — 1, + —,1, —, 1! — хз1, = О. 2 2а 1(1+ 1) Г Г' Г' ' Можно показать, что при 2а — 1(1+ 1) ) 114 радиальный оператор Шредингера 1 с!е 1(! + 1) — 2а 1 Н вЂ” — — + 2 с'гз 2гз Г становится неограниченным снизу. 121 Предположим, что а ( 1/8, тогда условие 1(1+ 1)+!/4— — 2и ) 0 выполняется при всех !.
Обычно Р записывают с точностью до членов порядка ях, т. е. 1' м 1= =1 — пь 1+ 1/2 Тогда используя формулу (5) при Л = 1, получим 1 2 (Ь + 1- о, + 1)' или, вводя главное квантовое число п = А + ! + 1, ! 2(л — ч)~ ' (11) Из формулы (11) видно, что для потенциала (9) снимается кулоновское вырождение по /.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
