Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Если газ находится в состоянии статистического равновесия, то Чг (г„) дается распределением Больцмана у (7„) 1 К(г,)=- е !;! где Я определяется из условия нормировки, Сначала найдем вероятность того, что и вполне определеннв!х частиц (например, первые и частиц) ааходятся в объеме о, а остальные й! — и находятся в остальной части объема У вЂ” э.
Для этого следует проинтегрировать плотность вероятности !е по координатам первых а частиц 228 внутри объема о, а по координатам всех остальных вне этого объема, что дает Р~ (о) 11 Р (о)],ч -л где Р (о) = ~ К (г) г(г есть вероятность частице попасть в о, (о) а 1 — Р (о) = $ )Р" (г) Ъ есть вероятность противопо(к — м ложного события, Поскольку нас не интересует, какие именно п частиц попадут в о, полученный результат следует умножить на число способов, которыми можно выбрать и частиц из общего их числа У. Эта величина равна числу сочетаний из )Ч элементов по л, т.
е. равна С',( = ы (ч а)~ — — ~1 Л' (М вЂ” 1)... (М вЂ” и+ 1). Таким образом, вероятность нахождения в о произвольно выбранных п частиц равна (Р (и) Рл(1 Р)м-л М! гл (и — л)! Это так называемое биномиальное распределение. Нетрудно убедиться, что для этого распределения д=йР ( — л)з=п в соответствии с формулой (15.15). Если )т' >) п, то формулу биномиального распределения можно упростить, так как мР" я" ! й~м Км (и) = Ж (У вЂ” 1)... (У вЂ” + 1) (1 — Р)м —, — — ( 1 — — ) что в пределе У -+ сю при ограниченном и дает так назы- ваемое распределение Пуассона Я7 (и) = — е — ".
ж Наконец, рассмотрим случай, когда п ";ь 1 и Лп = и — п~' и. Разложим логарифм от распределения Пуассона в ряд по степеням Ьп. Учитывая формулу Стирлинга 1п п1 — и 1п и — п при а,.а 1, находим 1п)Р'(и) и1пй — й — и1п и+и (Ьо)з 2о и — 1о з я7 (и) — е зв 1/2ио т. е. распределение Гаусса (или нормальное распределение). Нетрудно видеть, что для всех трех распределений (биномиального, пуассоновского и гауссовского) (Ли)з = и'— — и =и.
з— Ш-14. Согласно (16.23), поправка к давлению идеального газа, обусловленная взаимодействием, равна Р„,= — ( — ) 2и6 ~ ) (г) гзо1г, о 1 где )(г)=е е — 1 (см. (16.18)). Подставляя сюда Ф (г) = — „и интегрируя получаем по частям, о 1 (г) гз о(г = ~ —,е е" — 1~~ — — ~ е 1з — 1. — 283 о Если силы взаимодействия достаточно короткодействующне, так что и ) 3, то первое слагаемое исчезает. Оставшийся интеграл заменой — „=х сводится к гамма-функз з 2и — „! 3 ~,! — — „!М Зз ции.
В результате Р„,=-з- а" Г(1 — — ) О Ш-15. Будем считать все молекулы, кроме одной выделенной, неподвижными. Тогда скорость выделенной молекулы будет, очевидно, распределена так же, как скорость относительного движения двух молекул. 240 м — йн откуда )зг (и) е Поскольку при и ~ 1 можно рассматривать и как непрерывную переменную, К (и) имеет смысл плотности вероятности. Ввиду резкого спада Ч7 (и) в окрестности и = и можно считать, что — оо ( и < + оо.
Тогда из условия нормировки получаем Как известно из механики, такому движению соответм ствует приведенная масса р, равная — в случае одинаковых молекул. Поэтому скорость выделенной молекулы подчиняется максвелловскому распределению, в котором масса т равна —. 2 ' Очевидно, число столкновений Л'„испытанных молекулой за 1 сек, равно числу молекул, находящихся в цилиндре с площадью основания, равной эффективному сечению о, и высотой, равной скорости относительного движения и„„, т. е.
Л', = ап„„р, где р — плотность числа частиц газа. Усредняя это выражение по распределению относительной скорости, находим У, = пп„„р. Если молекулы представляют упругие шары с радиусом г„ то эффективное сечение не зависит от скорости и равно о = 4пг,'. Средняя относительная скорость п„„=ф — =4~à —,. Следовательно, Гни Л',=16г„"о у П1-16. Перейдем к системе координат, связанной с диском так, что ось х направлена по движению диска, а оси у и г лежат в плоскости диска. В этой системе координат распределение молекул по скоростям имеет, очевидно, вид 1 () = 1.
(~. — ~,;, ~.), где ), (и„, п„п,) — распределение Максвелла. Сила сойротивления Р равна импульсу, передаваемому в среднем диску за 1 сек. Считая соударения молекул с диском упругими, находим, что молекулы, обладающие скоростью о„, передают за 1 сек диску импульс, равный г (и ) = оп 65 ~ ц, '„ где 5 — площадь диска, о — плотность числа частиц газа. Сила сопротивления получается из этого выражения усред- 241 пением по скоростям: +со (з (з (з 2гпоа ' чо5 ~ оа ~ ~е (о гт аи о ) г(о сЬт гЬ +со т Вычисляя последний интеграл, находим Р = 4 1г'и Вайа ~$е — с'+ — '" (1 — 2йз) Ф ($)~, где $=1/ — - и, Ф($)== е "'дк — функция Лапласа. 1~ й Ш-17.
" Функция Гамильтона системы равна Н' = = Н (Х) + Н„, где Н (Х) — функция Гамильтона газа, Н,— функция Гамильтона массы, нагружающей поршень. Рм Очевидно, Н,— — +Миг, где г — высота массы относительно дна сосуда. Так как давлевие газа Р уравновешено весом массы М, то Ма = РЯ, где 5 — площадь поршня. Поскольку Зг = 1',тоМдг = РЪ'иН' (Х, р„, (г) =- Н(Х)+ —" + РУ. Распределение Гиббса принимает 2М вид ти' (Х; к', Рн) = ехр ~® ~Ч" — Н (Х) — 2 — ' — Р7 ~) с условием нормировки г(Х ~ г((г ~ гср„го'(Х; )г, ри) =1. (А') Π— со — дч" Иа условия нормировки следует соотношение к' = —, =а, определяющее уравнение состояния. Здесь Ч' = — 6 1п Г, ' Решение этой задачи дано также и книге.
и. А. Л е о н т о н и ч. «Статистическая физика», ОГИЗ вЂ” Гостехиздат, М, — Л., 1944, где +ы хм м лг н<х> Г= ~ е змег(р„~е е ИУ ~ е е с>Х= о <х> '$Г2пМО >>е е 2(У) а>У, о в<х> е(У)= $ е е г(Х. <х> зз> Для идеального газа Я(У) =(2пт6) з Уз>. Таким образом, з>х" Г=3~ 2пМОЭ(2птО)з ~ е е Ух>(У о зз> ->- > зю х- 3 = )У1)/ — (2пт) з О з Р Отсюда >Р = — >">~ — 1ПΠ— (Л>-~-1)1пР+соп511 н Гзй+3 т — (М+ >) 9 2 ! Поскольку Ж ~ 1, получаем уравнение Клапейрона: РУ = >х'О.
— 6' 1> 1П-18. Оте. Е= — (1+ — ). 2, »)' — д 1 П1-18. (у= — — 1пя, где р= —, а Я вЂ” конфигурад(> ' 6 ' ционная часть статистического интеграла ангармоннческого осциллятора: + СО +оэ о (8) = ~ е — еп >х> г(Х = ~ е — х и'+ те'>,Ц, а>> где положено — = у. 2 1П-20. Лагранжева функция взаимодействующих зарядов во внешнем постоянном магнитном поле В = го( А, имеет вид е>Р,' >> у '~>' — '' — (у(г„" °, гл)+ ~ ~ — "о„(Ах'+А,), х=! 243 где Аз' — линейная функция скоростей пь Ао=! О+1 Вол+А О, если В, = ! 0+7. О + Уг . В,. Интеграл состояний можно выразить через лагранжеву функцию в виде ! г ° оо -пД',— - и -' 1 " о(Чзл!(Ч!" о(!)зч дч' д Ь= — — =8 — 1п Я =О.
дВо дВо Поэтому классическая система не может быть равновесно намагничена. Без учета магнитного взаимодействия А»', эта теорема впервые была доказана Ван-Левен. !П-21. Для системы с переменным числом частиц двух сортов интеграл состояний большого канонического распределения запишется, очевидно, в виде ~де е ВХ, а я е е где М = М, + Л! — полное число частиц. Так как рассматриваемая система представляет смесь двух идеальных газов, то ог !о Ног (Х) = ~ Н (Х!) + ~„Н (Хт), г =! /=! где Н вЂ”,(Х,) есть энергия )сй частицы того или другого сорта. Следовательно, гзг+ 2'го!=о 244 В силу того, что члены, содержащие внешнее поле В„ линейны относительно скоростей частиц, детерминант дгг ~ и показатель степенного подынтегрального члена ддз дд, не зависят от В,. Следовательно, Я не зависит от В„ и поэтому вектор намагничивания 1 равен нулю, так как есть интеграл состояний для одной частицы.
Учитывая закон сохранения разности чисел частиц й(„— М находим ЛН-+»ЯН- и= "~ -- =Ъ)'1,(2) 2,2 ), и =о где 1» (х) — функция Бесселя первого рода с индексом т от мнимого аргумента, Так как числа частиц й(, и Л» заранее не фиксированы, а определяются условиями термодинамического равновесия, то, как известно из термодинамики, р, и р равны нулю. Поэтому — 1 д() Ио, = —,— 1 +' ~,д)»о Й»,а =о' Используя соотношения между бесселевыми функциями 1, и их производными, получаем — 7 (и 1(7) — 7 (о. ~(Х) 2 l (7) ' ' 2 ( (Л) где а = 2 )7 а а 'а., а — о Из полученных формул следует У„ПЧ = 1„, (Х)11, (2), а также 2 ! 1(7) (»-о ! (7) 7 —,г Ч» — » 2 ( (Л) в силу известного свойства функций 1,.
Ш-22. Соотношение Е = Π—. легко получается, дН дГ если в (17.3) вместо Х» — подставить Š—. дХ» дХ» ' Ш-23. Дифференцируя (19.23) по 6, а» и р,„и используя (19.22), получаем три (вместо двух) леммы Гиббса. а 1.,",' = о» [( — а (Π— и) — ~ (, — а ~» о — »» о~. »=! да ди ) (дН дН), 2. -- — — =- — — (и — и), — — —.— к да» да» 8 ', да» да»1' 3. — =- (и — и) (ж; — л(»).
д)ч 6 Ш-24. Потенциальная яма ширины Е с бесконечно крутыми стенками может быть аппроксимирована выражением ЕУ (д) =- (24/Е)'" при и — ~- оо. Но согласно теореме о вириале ю 6 о — = 2пЁ=О, т. е. Ег = — -+О при и- сл. дд ' ' ' 2п Глава !Ч 17-1. Л (Р) = гга О. Л (гр) = ) Й/а. 1Ч-З. Д~ = СО, 17-4. (Л()~ =- О/Е. ПГ-б. (Ом, также задачу П1-13.) Для пространственной плотности числа частиц в соответствии с (15.9) имеем р (г) = г 6 (г — г;).
ю =! Плотность вероятности заданного распределения частиц в пространстве для идеального газа имеет вид ге (г,, ..., гм) = )р (г,)... Ф' (гм). По определению корреляция плотности равна М М р (г) р (г') = ~ ... ~ '5', ~, 6 (г — г ) 6 (г' — г,) )уг (г,) „ р) р ~=~ /=~ го ..Лага) г()г,...ИЪ м=)У ~6(г — г) 6(à — «) В'(г) д(гг+ + — (' ) ~ ~ [6(г — г;)6(г' — гг)+ + 6 (г — гу) 6 (г' — г;)) %' (г;) (Р (г;) й(г; ~Я,.
Учитывая, что Ж ~ 1, получаем о (г) р (г') = — р (г) 6 (г — г') + р (г) р (г'), где р (г) = у)р (г) — средняя плотность числа частиц. Введем отклонение плотности от среднего: Л р (г) = = р (г) — р (г). Тогда Лр (г) Лр(го) =р(г) 6(г — г'). Вычислим еще флуктуации числа частиц и, в некотором объеме о; п, ~ о(г)НГ Оз На основании полученных вьпне формул находим й„= ~ о(г)ЫЧ и (и„— и„)'=и, ел в соответствии с результатами задачи П1-13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
