Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 42
Текст из файла (страница 42)
По формуле (19.7) Я = — —, при этом д() л — е ) е') 22= — Оп У,'1п(!+ос а ! (а = + 1 для статистики Ферми — Дирака, о = — 1 для статистики Бозе — Эйнштейна). Выполняя дифференцирование и подставляя в получено — ее ное выражение е е = —, находим энтропию как й~ 1 — ай,' функцию чисел заполнения Я = — й ~ (а (1 — ол,) ! и (1 — ой,) + и, !п йе). 262 При п~ ~ 1 (классическая статистика) получаем Екл= — лп1(п пь ! Ч1-!5. Отыскания условного максимума энтропии Я при заданной полной энергии Е = ~ч ',е,п, и полном числе ! частиц Х= )~п, эквивалентно нахождению безусловного 1 экстремума вспомогательной функции 5 + иЕ + ),Ч, где множители а и ).
находятся по заданным Е и У. Из условия д —;(5+иЕ+) Ч)=0 получаем уравнение А!п '+ аз~+).=О, ис откуда й,=~е ~ ' +а~ Г!олагая и= — —, ) =, приходим к известным распре- и т т делениям квантовой статистики. Ч1-16. Физический смысл формулы Найквиста (см. 2 28) состоит в том, что тепловые флуктуации представляют хаотическую смесь гармонических колебаний всевозможных частот. При этом энергия каждого колебания для классической системы принималась равной 8, т.
е, средней энергии классического осциллятора. Поэтому при рассмотрении флуктуаций в квантовых системах следует заменить О на среднюю энергию квантового осциллятора: Е(, 8)=-"2-+ „.'" е — 1 Соответствующие обобщения классической формулы Н айквиста (см.
задачу 1Ч-!7) тогда примут вид — ~ Г„~з = — Е (ы, 6) )т (ы), 1. а 2 — )' = — Е(в, 6)— 1 — 2 Я(м) 2 ' л ! 2 (м) .'~ ~ — /(~ )з = — Е(оз, 9) 1 — 2 Д(м) м ) г(е) Р' 2БЗ Первое из полученных соотношений известно под названием флуктуаиионно-диссипаиионной теоремы (или квантовой формулы Найквиста), так как оно связывает спектральную плотность равновесных флуктуаций 7„,» с неравновесными, диссипативными свойствами системы (обобщенный коэф- фициент трения Й (а)). 71-17. Рассмотрим движение электрона с зарядом е и массой т вдоль оси х. Из электродинамики известно, что сила радиационного трения, испытываемая частицей с заря- 2««" дом е, равна з †, о, поэтому соответствующее уравнение Ланжевена в проекции на ось х имеет вид 2«'- то. — З. о„е~„(Г), Зс» где Ж„(с) — составляющая напряженности флуктуирую- щего электромагнитного поля.
Для спектральных составляющих находим Г 2«» 1 +З-а') = е, =1, Зс» г(а) = —" = «та+ —; а', 2е» с Зс» й (а) = Р«е г (а) = з-, а'.. Спектральная плотность энергии электромагнитного поля равна Последнее равенство имеет место вследствие равноправия всех направлений х, у, г. В случае равновесных флуктуа- ций, согласно квантовой формуле Найквиста, 2 /Ж „~ч= —,2/~„~~=- —,Е(а, 0)»С(а), где Е (а, 9) — средняя энергия квантового осциллятора. Следовательно, и(а)=, Е(а, 0)=ис(а)+и»(а), лаз где и, (а) = —,, г' — энергия «нулевых» колебаний, а вазу ир(а) =,, „...
представляет формулу Планка !ср. с формулами (42.4) н (42.5)). 664 Ч1-18. Согласно (!0.2), микроканоническое распределение квантовой системы можно записать в виде 1) Е а) 6(Š— Ед(а)), где Г= ~~ О(Š— Еа), и=о ( 1 при х=-0 ЫФ=' ~ 0 при х~О. й= —, дг дЕ' О (х) = ~ 6 Легко убедиться в том, что для записанного выше квантового Г (Е, а) удовлетворяется соотношение (10.11) д(1п Г) = ~(д" ~) НЕ+АГ(а1 т. е.
основное дифференциальное соотношение термодинамики Г(5 т 'ГГ(Е+ АГ(о1, если считать Е=й)п Г, — = —. 1 дЗ М-19. Искомая плотность вероятности координаты вы- числяется по формуле К (д) = ~Ч '„ е е Чгхч (д) Чга (д). Для квантового осциллятора Е.=й (й+-2'), м щ ~4Нд(х)е 2 ШО Ч"„(д) =( — „) ~, х= )/ -„.-д, 2' Уы 265 Чтобы устранить неясность в определении 6 — функции от дискретного аргумента, ее можно рассматривать как предел вида (15.6), и соответственно (38.4) под микроканоническим распределением понимать выражение 1 1 ГŠ— Еа) К(Ед)=о(е, а) ье ~~( ье ~ при ЬЕ-+О.
где Оо (х) — полиномы Чебышева — Эрмита. Воспользовавшись справедливой для полиномов Чебышева — Эрмита формулой в» Х,— 1о(Е (х)Р е1+2$ )'1 — 4$в получаем ко о ее квовев )р' (е,) 1 е оыьоопе 1' па сй 11в,,'26 е' 2пккк, йи Ьо где 9„= — — сй — есть средняя энергия квантового кв осциллятора согласно (41.6). Эта формула впервые была получена Блохом. Из этой формулы следует, что в кванто- вом случае, так же как и в классическом случае, распреде- ление по координате является гауссовым.
Ч1-20. Поскольку абстрактные осцилляторы поля ста- тистически независимы, постольку дисперсия энергии е(М (в) осцилляторов, частоты которых лежат в интервале ив, равна сумме дисперсий энергий Е (в) этих осцилляторов, т. е. (Е (в) ЖЧ (в) — Е (в) е(й( (в)) ' = (Е (в) — Е (в)]' е(Х (в), где — ав йв вв 1/ Е(в)= — + „, е(М( )= — „, е(~. е — 1 е Согласно первой лемме Гиббса (см. о'1-3) (Š— Е)'=О' —, д6' следовательно, (Е (в) е(М (в) — Е(в) е(Н(в))в = ~ „! )е' — 1 1е' 1 ) = йвир(в) е(в+"— ,' и',(в) е(в, где ир (в) определяется формулой Планка (42,5). Г)редлагается вывести эту формулу также исходя из представлений о фотонном газе (см.
2 47). Ч1-21. Дифференцируя (45.17) по р„получаем до 11 1 — — кв (~е е) (~ок ~кв) Полагая е = т и замечая, что й = — — ~ д~2 дне не и имеем Л'(п,) = (и, — и,)'= О;-'. — дн. Подставляя соответственно ее — е е йе=а ! йе— е — и е е е +1 получаем В случае вырожденного ферми-газа п, = 1, откуда Ь(п,)=0, Для конденсированного бозе-газа Ь(п„)=п„.
1 й е е — !е е е де (п,) = ~Гй, Л(п,) = 1е'й,(1+й,) де (и,) = )/й, (1 — и,) (Боль цман), (Бозе — Эйнштейн), (Ферми — Дирак). УОЛООНЫЕ ОБООНАЧЕННН Ниже перечисляются наиболее важные условные обозначения, встречающиеся во всех главах, Вспомогательные обозначения отдель. ных выражений или параметров, используемые только в промежу- точных выкладках, в этом списке не приводятся.
А а — обобщенная сила. А †векторн потенциал магнитного поля. аь †обобщенн координата, внешний параметр. — а — дополнительная внешняя сила. а в константа в уравнении Ван-дер.Ваальса. а в постоянная закона Стефана в Больцмана. а †постоянн кристаллической решетки. Вь — вириальный коэффициент. Š— вектор магнитной индукции. Ь вЂ констан в уравнении Ван-дер-Ваальса.
Са †чис сочетаний из И элементов по и. С вЂ” теплоемкость при постоянном объеме. с †скорос света. с †средн скорость звука. с~ †скорос продольных упругих волн. сг †скорос поперечных упругих волн. Р†коэффицие диффузии. Р†функциональн определитель. Р;а †мин функционального определителя. Р (х) — фувкция Деба я.
.М(х) — дисперсия случайной величины х. гу — элементарное приращение (неполный диф. ференциал). Д (х) — пиобразная функция, Š— энергия системы. Еа — энергия А-го уровня системы. Еэ †энерг нулевых колебаний, Š†напряженнос электрического поля. гэ — электродвижущая сила. аэ,', †средн квадрат спектральной плотности электродвижущей силы, à — свободная энергия (в узком смысле). à — фазоаое среднее величины Е (х), Л вЂ” временное средвее величины Е (х).
Г(о) — функции Максвелла распределения по абсо. лютной скорости о. /(г о Г)-функция распределения или средняя плотность числа частиц в пространстве координат и скоростей. ((Г) — сила случайных толчков в уравнении Лан же вена. .э' — постоянная внешняя сила в уравнении Ланжевена. Ф;а — потенциальная энергия взаимодействия двух молекул. Ф (г) — потенциал Ленарда — Лжонса.
Ф (х) — функция Лапласа. 6, д †облас фазового пространства. я(Х) — функция сглаживания плоти ости вероятности. яа — кратвость вырождения энергетического уровня. я (лм лз, ...) — кратвость состояния, задаваемого числами заполнения. я †ускорен силы тяжести. Ж (Х) — функция Гамильтона.
Н (Г) — аш-функция Больцчана. Н вЂ” напряженность магнитного поля оЯ" †операт Гамильтона системы У невзаимодействующих частиц. Н(гь) — оператор Гамильтона отдельной частицы. Ь к= в — приведенная постоянная Планка. 2л ур — информация о системе относительно величины Р.
7 — вектор намагничивания. з' — сила тока. / †плотнос потока частиц. Х вЂ” момент инерции молекулы, )ь -компонента плотности потока массы, К вЂ кинетическ энергия. й †констан Больцмана. д †волнов вектор. Е, Ж вЂ” функция Лагранжа. йш — кинетический коэффициент. (. — самоиндукция. й (А) †функц Ланжевена.
,о †операт механической величины ю. (Х) — квантовомеханическое среднее величины ю'. ( †орбитальн квантовое число. А( — масса тела илн системы. т — масса частицы. У вЂ” общее число частиц системы. И(ы) — полное число абстрактных осцилляторов по. ля с частотой, не превышающей ю. и†число частиц в элементе объема (фазового или прострааствевного). 276 лг — число заполнения уровня д и †общ число невырожденных уровней спи. новой системы. Р†давлен.
Р— вероятность. Р— статистичесний вес или термодинамическая вероятность. Р†операт перестановок ноординат. Р†совокупнос ЗИ обобщенных импульсов. 2/(' — импульс системы или частицы. Ра, э — обобщенный импульс. Я вЂ” количество тепла. Г/ †электрическ заряд. Яз †компонен плотности потока тепла. Я вЂ совокупнос ЗМ обобщенных ноординат. Я вЂ конфигурационн интервал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
