Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 41
Текст из файла (страница 41)
~ ) г; — г, ~ Ф' () г( — г, )) ю (7„..., г" ) (($'( ... (()гх, он<( " 7ч) и э (г] 1 где Ф'(г)=,, и)(г„..., гл)= — е е есть ((г гиббсовская плотность вероятности заданного распределения частиц в конфигурационном пространстве. Учитывая симметрию и) относительно перестановки частиц, находим (см.
предыдущую задачу) ( )(г) х Рз(7ь г) Дт()У., или Р = — — )) ~''г, — г,'(Ф'(~г,— г,()Р,(г„г())(Я((()г,. ( )( ) Учитывая однородность системы, когда Р, (г„г,) = = я (. :7, — ),), введем новые переменные интегрирования, ). = г, — г, и г' = г,. Интегрирование по г) выполняется сразу и дает множитель 1), а интегрирование по г произво- дим в сферических координатах, Окончательно (при М )) !) получаем формулу ап 'г х( Р=Р— —;й 1Ф'()а(~) г'(», о выражающую уравнение состояния через энергию взаимодействия молекул Ф (г) и бинарную (радиальную) функцию распределения д (г). Теперь сравним это выражение с формулой Р =рΠ— 2поК~ ) (г) га((г, которая следует непосредственно из (16.23). Интегрируя в этой формуле по частям (ср. задачу 111-14), получаем Ф со Р=й6 — — й ~ Ф'(г)е е гай.
з о Сравнивая оба выражения для Р, полученные различными способами, находим радиальную функцию рйспределения для разреженного газа Ф (г) д(г)6 в е Ч-З. Игцем экстремум функции: Н = ~ '1 (г, о, Г) ! и 1 (г, о, г) й Ио при дополнительных ограничениях ~ ~ — й + (1(())1йг(о=-Е=сопз(, ~ 1г(Мо= Л~ =сонэ(. Составим по известным правилам вариационного исчисления вспомогательный функционал (см, также задачи 1Ъ'-1б и 71-1б): Н = ~ ~ф 1+б~ — +(У()~+Х~БЫ и проварьируем его по 1, приравняв нулю первую вариа- цию: +61 =б ~ —;"'+и(г)~+(й+ 1)+)п~=б, РН 1 — = — ) 0 (условие минимума). 6Р 1 Отсюда ~=~ -'Г+' 1 где постоянная А = е ~+ и определяется из условия нормировки.
Это распределение Максвелла — Больцмана с тем- 1 пературой Т = —. 266 Ч-Я. При наличии внешнего поля У (г) уравнение Больцмана принимает вид д) — 1 Гд( 1 +оУ 1--7-и Ч-1=Я, ду г ж ~ о ~ГдГ)м' где через ~ — 1 обозначена праваячасть уравнения БольцГд71 ~ дГ)м мана (32А6). Нетрудно убедиться, что распределение Максвелла— Больцмана 1 Г ~~~в — — ~~ — + и <л1 1 (», о) = Ае е ! где А = сопз( и О = сонат, обращает в нуль левую часть уравнения. С другой стороны, зависимость 1 от скорости удовлетворяет условию (33.7) и поэтому обеспечивает обращение в нуль правой части уравнения Больцмана. Н-5. Функция распределения частиц 1(г, о, Г) удовлетворяет уравнению Больцмана, записанному в отсутствие д7 внешних полей и без столкновений: — + о7-,1 = О. дГ В момент 2 = О, согласно условию задачи, 1(гм о„О) = = ео (ге) 1, (о), где е, (г,) — плотность числа частиц в момент 2 = О, а 1, (о) — распределение Максвелла.
Так как частицы движутся по инерции, то в момент 2 положение частицы г = г, + о(, откуда », = г:Й и 1 (г, о, Г) = Ео (г — о7) 1о (о). Очевидно, 1(г, о, г) удовлетворяет исходному уравнению Больцмана и начальному условию. Плотность в момент 2 находится согласно уравнению Е (г, Г) = ~ 1 (г, о, Г) по = ~ Е, ( — ог) 1, (о) ГЬ = = ~ ~е (.)1(, ) 2». Подставим в эту формулу 1, (' ") = (+ ' ехр ~ — —,, (г'+ г,' — 2»г,)1 и, считая распределение о, (г,) сферически-симметричным, проинтегрируем по углу 6 между векторами г и г,, В ре- 267 зультате (Г!Г Г т т т ! Г ! ! — !е(! (т — О! — — ! (о+а!! О хпо(г,) г,((гт По условиям задачи оо (г,) = о, при г, (а и нуль при г,) а.
Поэтому о(г, 1)=~ —,) — [l (г) — l( — г)], где а т У(г, '= Г)е 'е" го((гт О Вычисляя l (г) (ср. задачу П1-16), находим Е(г, ()=2'( — ! "+" — " "")+Ф(Е+с()— -~(е-кН, где к Ф (х) ==! е — "'((х — функция Лапласа. 2 г )гп 1 Глава Ч1 ! Ч1-1. Тни —, где ! = )(а' — момент инерции молекулы, р = ' ' — приведенная масса, а — расстояние т!+ т! между атомами. Поэтому Тт! (Ц ); Тга! (НР) ! Тго! (Р )— — 2: — ! 1.
тн+тн т +то . то+то . 3 тн ' тнтн тЬ ' 2 Ч1-2. Т" 1~ —, где с( — упругая постоянная, )(— приведенная масса. Отсюда Тс' (Нэ): Тс' (НР) ! Та (Р!)=~ 2: ~/ и (1. 26з тУ- Яь Ч1-3. Дифференцируя по 61 равенство Е = ~Х ', Е,е и используя уравнение Гиббса — Гельмгольца (40.9), нахо— дЕ дим (Š— Е)'= В' —, т. е. тот же результат, что и в случае классической статистики (ср. (13.4)!. Ч1-4. (Š— Е)4 Т. Ч1-5. Воспользовавшись формулой (47.2) (где следует положить р = 0), находим среднее число фотонов По закону Стефана — Больцмана (42.10), (42.11): Е УТ4. Исключая из приведенных соотношений температуру Т, получаем ,Ч Р,4ЕЧ4 Ч1-6.
Максимум спектральной плотности равновесного излучения и (со) (при заданной температуре) приходится на частоту 4э, определяемую из условия экстремума д — — О. ди (и) Нетрудно видеть, что это условие содержит неизвестную я~~ частоту лишь в безразмерной комбинации „вЂ”, откуда следует 4э„УТ = сопз1 (закон смещения Вина), или 4э„(Т4)(4э„, (Т,) = Т,(Т,. Ч1-7. Для одномерной упругой среды число нормальных осцилляторов, приходящихся на интервал частот (ы, 4э + 4(4э), 4(4Ч (а4) Йа, а для двумерной 4(йГ (4э) е4 4(4э.
Подставляя эти выражения в формулы теории Дебая для теплоемкостн, получаем С, Т в одномерном случае и С„- Т' в двумерном случае. (Законы Тарасова и Сироты.) Ч1-8. По определению термодинамического потенциала 12 1см. (19.13) (46,14), (46,18)] имеем и — 441 и — е РУ = — 14=Во(!п1+ое э 1'=с!а~!п(1+не е )4(4Ч(е), где 42!Ч (е) — число уровней, лежащих в интервале энергий (з, е + 4(з), а о = + 1 для случая статистики Ферми— 259 Дирака и а = — 1 для случая статистики Бозе — Эйнштейна. Интегрируя по частям, получаем У(е) ее ,) 0 е в +и поскольку Ч (0)=0. С другой стороны, Но Ч (е) = В„е", где В„= сопз1, и = 3 для ультрарелятивистских частиц [см.
(45.23)) и и = е!е для нерелятивистских частиц (см. (48.10)), е = аЛ'(е). Сравнивая выи)у (е) Ые Е ражения для РЧ и Е, получаем окончательно Р(г= —. Ч1-9. Дифференцируя условие нормировки для большого канонического ансамбля (45.15) по ре и р, и используя (45.18), находим аеа Ьпейп, = (пе — и,) (и, — п~) = — 9 дне др, )и=не=и, (ее не где, согласно (46.14) и (46.18), И ()ее) = (е в + о/.
Оконча- тельно находим для различных состояний (й + 1) Лп,Лп, = = О, т, е. числа заполнения различных квантовых состояний статистически независимы, а для одного (Й-го) состояния ее-и При е е «1, или а-~ 0 (что дает формальный переход от квантовых распределений к классической формуле Больцмана), получаем классический результат: Ле(п,) = и„. Ч1-10. Уравнение состояния для вырожденного газа получается исключением химического потенциала р из 280 термодинамических соотношений (см. также задачу Ч1-8)! — Р.
= Р 7 = 6о ~~ ', 1п (1 + ор»), д»< <, у р» д!» х «у+ арф ' и — е» где для краткости положено Р»=е е . Для слабо вырожденного газа р» ~ 1, поэтому У вЂ” ~ р, — о,'У', р1 Но Рл =ее я( — ) <е» где Л( — ) = 7 е е есть статистическая сумма для одной (,л) частицы при температуре 6/и. Исключая с принятой точностью еи«е из приближенных формул для РЧ и У, находим + 2 ~2 <» 2 Е~ (6) В частности, для нерелятивистских частиц Я(6)=д)<х <»»и х ( — ~, где д = 2з + 1 — число спиновых состояний (,2~а~) частицы со спином з, и Р = Ч6~1+,—,~~ (." — "')'"~. Из полученных формул видно, что квантовая поправка к давлению положительна для частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, где о = + 1 (дополнительное <отталкивание», связанное с принципом Паули), и отрицательна для частиц, подчиняющихся статистике Бозе— Эйнштейна.
3 Ч1-11. По порядку величины Сг — АЛЧ, где ЛУ— 2 число электронов, принимающих участие в тепловом движении, т, е. находящихся в «зоне размытости» распределе- 261 ния Ферми — Дирака. Поскольку в обычных условиях ЬИ <' М, то, очевидно, ЛМ - ~ ! Ле, где Л е ж 2с) !лМ (е) 1 ле е=л, есть эффективная ширина зоны «размытости». Но [см. формулы (48.10) и (48.11)) ( ~ = — -- и окончаыл' (е)) 3 м ее )е=р, 2 Ио тельно С, --М/г - —.
9 и 2 )ее' Строгий расчет дает множитель яе вместо 9. Ч1-12. Тк! Рр — — лтр(ле, 1836. Ч1-13. Для ультрарелятивистского газа электронов е(М(е) — 2 2, йа, ест(е и 1Ч= ~ Ат (е) = зчеееае Ре о Отсюда То= ф = (Зле — ) —, н, Е = ~ е с()Ч (е) =- 4 (Зп' — ~ Уйс. о Согласно результатам задачи Ч1-8: й (Зле)",е 1'М ')4П Р= — =-= 1) — ~ йс. 4 Ч1-14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
