Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Изменение фазового объема со временем происходит по 1 закону Р = е Н-5. После удара размерность фазового пространства системы сокращается вдвое, так как шары начинают двигаться как единое целое. Поэтому якобиан преобразования равен пулю как определитель, в матрице которого имеются две равные строки. П-6.
Найдем производную по времени от рассматриваемого интеграла: ансамбля, получаем дН дН Учитывая независимость — от рр и — отар и то, что Р дед дрр обращается в нуль при ш = О, а ш -р О, если координаты или импульсы принимают бесконечные значения, имеем +со ес~ поэтому при интегрировании полученного выше выражения получим тождественный нуль. Таким образом, действительно -„- )( Р (ю (Х, М) ) д Х = О. (Х1 Глава 1П 1П-1. а) Фазовый объем равен площади поверхности, рр рчррчр ограниченной эллипсом фазовой траектории — + 2 -.
Š— Г 2Е с полуосями ар= 1~ 2тЕ, ат= ~' ~,. Следовательно, Г(Е)=пара,= — '; б) Г(Е)=)Р— р'(Е), где ср(Е)= =1 е'— Ш-2. По определению (10.6) имеем Г (Е, )Р) = г(Х. Поскольку энергия идеального газа зави(н~х~ в) сит только от импульсов, интегрирование по координатам всех У частиц внутри объема )Р выполняется непосредственно и дает Г (Е, )Р) = )Р~ ~ Ир, Нр др, ... г(р, >с х аррн г(р,н .
Область интегрирования в пространстве 232 импульсов определяется условием Н(Х)= ~ 2 (Р1,+рз + рг,) ~ Е ь=! и является с геометрической точки зрения шаром в 3М- мерном пространстве с радиусом й = и'2тЕ. Интеграл по импульсам представляет, очевидно, объем этого шара, пропорциональный К'ь'. Окончательно полу- чаем зл Г (Е, $') = Алр~ Е ', где Ал — константа, не зависящая от объема и энергии. Можно показать (см. также задачу 1Н-6), что 1 2 где Г (у) — гамма-функция. Нормировочный делитель будет соответственно равен Г2(Е) = — — = Г Е ' .СодЕ '('-') 2 гласно (10.13) находим энтропию: 5=41пГ=л1пАл+ +йМ1п $'+-2-йМ1пЕ и температуру Т=(де) =ватт' з 1д51~ 2 и з так что Е = — МйТ в соответствии с определением газоки- 2 нетнческой температуры.
Уравнение состояния получается из (10.10). Поскольку в нашем случае роль внешнего пара- метра а играет объем У, а соответствующей ему обобщенной дГ1дГ 2 Е силой А является давление Р, то Р = — 1 — = — —, или д1'/ дЕ 3 Р 2 Р7 = — Е =МАТ, в соответствии с уравнением Менде- 3 леева — Клапейрона. Ш-3. Область интегрирования определяется условием Ъ1 1 Н(Х)= ~ - — (р)+а'и'4)(Е. В переменных ра и й=! хь = твд„это уравнение 2М-мерного шара с радиусом, про- порциональным Р Е. Следовательно, Г = Вал, где Вл— константа. Применяя (10.13), получаем Б=л!пВл+МЙ1пЕ, Т= —; —, или Е = ЫкТ, в соответствии с теоремой о равномерном распределении (см.
(17.10)1. Объем в данном случае уже не является внешним параметром. !11-4. Используя формулу (13.8) для вероятности заданного значения энергии Е в каноническом распределении, получаем; К (Е) = х. ' (р) е аа(1 (Е), где р= 9 ', а 2 (р) = . = е а" †статистическ'интеграл. Из условия нормировки ~ 1Р'(Е) йЕ = 1 (полагая минимальное значение энергии о системы равным нулю) сразу находим: Е (р) = ~ е — за 11(Е) г(Е. о Ш-5. Поскольку Е ) 0 и 11 (Е) = 0 при Е < О, то для отыскания 11 (Е) достаточно применить к результату предыдущей задачи обратное преобразование Лапласа (законность его для реальных физических систем обычно имеет место). В результате получим Таким образом, нормировочный делитель микроканонического распределения Я (Е) и статистический интеграл канонического распределения Л (р) связаны между собой преобразованием Лапласа.
Ш-6. Подставляя в формулу, выражающую 2 (р) через 11 (Е) (см. задачу Ш-4), значение 11 (Е) для идеального газа, приведенное в задаче П1-2, находим Интеграл по энергии сводится к Г-функпии и равен зм Г ~ — — ). Подставляя р = 110, получим х. = (2!' зм =(2пясу) ' Ъ'" (ср. с формулой (14.4)]. 234 111-7. Воспользовавшись формулой (13.8) и результатом задачи 111-2, находим зэ с Я с%'(Е) = — '( — ) е е —. е (р) Ш-8.
Для идеального газа Я = Г~ а", где а=~ е е х хе(р,с(р,е(р,. Энергия релятивистской частицы е (р) как функция ее импульса р дается выражением е (р) = с)ср' + т'с'. Подставляя это выражение в интеграл а и переходя в пространстве импульсов к сферическим координатам, получаем сс с г — — )СГ'+ ссссс 8) а=4п ~ е рес(р=4п (тс)е —,х тс' где К, и К, — бесселевы функции второго рода от мнимого аргумента. Из теории бесселевых функций известно, что при х ~ 1 К, (х) — !п х + сопз1, К, (х) — 1)х, а при х ~ 1 Ке (х) — К( (х) )есà — е ". Соответственно, если 6 ч' тс' (т. е. энергия теплового движения мала по срав- С)ссс* ее) нению с энергией покоя), то 2 = е е (2птО) э что с точностью до несущественного в термодинамике множителя (учитывающего постоянную энергию покоя) совпадает с интегралом состояний для нерелятивистского идеального газа (см.
(14.4).1 В противном случае, когда О ь тсе с'8)) )и (так называемый ультрарелятивистский газ) Е=( — ) Х х )см 6ем. Отсюда Ч' = — УО 1и ( — - ) — У6 1п бс — ЗФ61п 6, 18)с ) дбс Е=Ч' — Π— = ЗУ6. Таким образом, для ультрарелятиди 1 Е вистского газа Р = — —, тогда как для нерелятивистских 3)с' 2 Е частиц Р = — —. Результаты для двух рассмотренных крайних случаев можно было бы получить, непосредственно ре вычисляя интеграл а, полагая е(р)=те'+ ~ для нере- 2)а 23б лятивистских частиц и з (р! = ср для ультрарелятивистских частиц.
Ш-9. Потенциальная энергия отдельной молекулы массы т, находящейся на расстоянии г от центра тяготеющей массы М, равна и(.)=- —, 1( та! У Поэтому формальное применение распределения Больцмана дает распределение плотности числа частиц ~~л~ ! р(г)=Ае е так что р(со)=А ~0 и ~ р(г) 4пг'й'=со, Следовательно, рассматриваемая система не может находиться в состоянии теплового равновесия и применение распределения Больцмана в данном случае незаконно.
1! 1-1О. Вращение газа как целого с угловой скоростью а эквивалентно наличию внешнего поля центробежных сил с потенциалом (I (г) = — — гэ (г — расстояние от оси 2 вращения). Давление определяется по формуле Р= — —, ач д1/ ' где Л' = 2пМ д)т, й — длина цилиндра. Плотность числа частиц подчиняется распределению Больцмана с потенциаи (г). Ота.
и ив а!и г!(й) е ь и и!ю е — ! е ин> я(г)= — !т е ищ! м У(Я) е е е — ! И1-11. Выберем ось х в направлении силы тяжести и обозначим через х, соответствующую координату центра масс. Тогда, по определению центра масс, Мдх,= й, где М = Ултл + Иете — масса газовой смеси, а й — ее средняя потенциальная энергия, Для вычисления средней потенциальной энергии У и давления Р достаточно знать только конфигурационную (т. е. зависящую от координат) часть свободной энергии.
Обозначим ее через %"'. Тогда дЧ" дЧ" й=Ч вЂ” Š—, Р= — —, д6' д1с ' причем е(г' = Я ЕЬ. Конфигурационная часть статистического интеграла Г равна: г'=(г;)м (г;)и, л елее л шлал 56 где Ел=5 ~ е е е(х= ~,1 — е в ) есть конфигУРаелд ~ о ционная часть статистического интеграла одной частицы А-го сорта (й = 1, 2).
Отсюда находим и — ъ2 ( ль1 Мд л=!,2 е 9 1 Л=1,2 е — 1 Таким образом, У и Р складываются аддитивно из соответствующих величин для отдельных компонент смеси в силу того, что газ идеальный. При Ь вЂ” л оо имеем й = Усэ, что вдвое больше средней кинетической энергии на одну степень свободы, в согласии с теоремой о вириале (см. (17.7)1. Соответственно х, = Ус1/Мд. Ш-12. Потенциальная энергия электрического диполя во внешнем электрическом поле равна — (рЕ) = — рЕ соз б.
Следовательно, вероятность того, что диполь направлен в телесный угол 1211 = э(п б 1(б е(Чо, где д и Ч1 — углы сферической системы координат с центром, совпадающим с центром диполя и осью г, направленной вдоль по полю, очевидно, равна р сор в ° Е и 8 — е апддддсо рсосПЕ ))е 21пдаддср 231 Полный электрический момент единицы объема газа, очевидно, равен: Р = й!р, = й ~ р соз д !Лу!, где М вЂ” число частиц газа в единице объема.
Подставляя в эту формулу полученное выше значение !())г, производя замену переменной $ = соз б и вводя сокращенное обозна- чение А = --, получаем рЕ +1 ~ 2е 1н2 .~! Р=й!Р ', =ур„~ 1п ~ ххах= ) е"$ !в — 1 Ур — 1и, )=Яр[со()!А — — ~= ЯРЕ(~ —,), где Е (А) — функция Ланжевена. При РЕ ~< ИТ, т. е. А «', 1, разлагая Е (А) в ряд, полур!х! чаем Р = — ~ Е, т. е. диэлектрическая проницаемость равна =вы р2 !! е=1+4п —. зьт П1-13. Обозначим через в (г„7м ..., гн) плотность вероятности заданного распределения частиц в пространстве. Поскольку все частицы одинаковы и не взаимодействуют друг с другом, то ш (г„гм ..., гм) = Яг (г„) К (7,)... К (гм), где %' (г„) есть плотность вероятности того, что частица индекса й находится в точке гь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
