Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 40
Текст из файла (страница 40)
!Ч-6. Радиус-вектор центра масс равен с=,'~ й(') ИЧ, его среднее значение гс.=, ~ го (г) сИг, отклонение от среднего Лгс=,', ~ гЛо(г)с()г и средний квадрат отклонения (Лгс)'=--; ~ ~ гг'Ло(г)Ло(г')с(Ч 1г'. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи Ло(г) Ло(г')=о (г) 6(г — г'), находим (Лгс)' =; ! о (г) г'Ио= — г'. 1 ! (оз Относительная флуктуация в соответствии с законом больших чисел равна ! (Лг~)'1гс = 1/)ГЧ. и 1Ч-7. Вследствие однородности (о = сопз!) г! = - г2 г(Ч.
р Переходя к сферическим координатам с началом в центре шара, получаем (Лг )'= -- г'.=- — -l!з. с — м .== 5у 1Ч-8. 2~ 5г (Лес)' = — =; ~ о (г) з' йз. о 241 Воспользовавшись барометрической формулой для о (г), находим 2аеее!е — (Ле+ 2ае+ 2а ) ( гс) = м(хее 9 где обозначено: а=- те' Если Й вЂ” оо, то ге= а= — (см. задачу 1П-11) н (Лгс)'= еее 2а' 2 -е = — — =- р гс, или М М П/-9. Флуктуирующим параметром д является объем 1', внешним параметром (обобщенной силой) — давление Р.
Величина д = 7, фигурирующая в формуле (23.10), подчиняется, по своему смыслу, уравнению состояния идеального газа при наличии дополнительного давления а, т. е. (Р+а) е' = ЖО. Отсюда а ЛЧ'(а) = ~ ))е е(а=ЖО!п(1+ — ~. о Подставляя найденное ЛЧ" в (23.8) и полагая а = — 10е, находим е-со 1 1' е' кцп1 Интеграл легко вычисляется при помощи теории вычетов. В результате находим: 1 (Гг)еем е К ()е) = — 1 —. )е 1, Р ~ (М вЂ” 1)1 ' — )ун где )г — — — среднее (равновесное) значение объема. Р 111-10.
В каждой точке плотность силы трения и внешней силы должна уравновешиваться градиентом давления. Отсюда о ( — уо — 7(е') = еР. 246 Возьмем дивергенцию от обоих частей этого уравнения, учтем уравнение состояния идеального газа Р = 26 н до уравнение непрерывности б)ч (()о) = — =. д(' !Ч-11. На основании формул (27.11) и (26.23) находим Л(г) = ~/ —. !Ч-12. Пусть сила тяжести действует вдоль оси х. Умножая уравнение Эйнштейна — Фоккера — Планка последовательно на (х — х,) и (х — х,)' и интегрируя по х (в правой части уравнения по частям), получаем (ср.
9 27, п. 2) ! ои и( т дх — (х — х,) = — —— (условие равновесия внешней силы и силы трения, ср. задачу 1Ч-!3) и д к 2 д(l о=.од. — (х — х )'=2Р— — (х — х ) —. В нашем случае — — = тй = сопз1. Интегрируя полученную дУ систему дифференциальных уравнений при начальных условиях (х — хо)~,-о = О, (х — х,)'!! о — — О, получаем (х —,) = — — г, ~лд т (х — х,)'=2Р!+(' — ") (и, ~7~ или ((х — хо) — (х — х,))' = 2Р(.
1Ч-13. Из результатов задач 1И-13, 1Ч-5 следует Ь(л ) е' (ал )е ! л л р я где и, — среднее число частиц в объеме о. Для малого о = ЛЧ можно считать лдр = о (г) ЛЧ, где, сотат гласно барометрической формуле, плотность о (г) =- оое Окончательно Л (ле) ! а 1'Е,«У 9 Терлецкий Я. П. 249 !Ч-14. В соответствии с (26.20) и (26.21) выражение для плотности потока частиц е можно преобразовать (для случая одной координаты х) к виду У = — 0е — Ри — (реви), д ! дх ' 8' В стационарном случае р = р (х) и 1 = сопз1. Запишем выражение для / в виде ваези = — 0 — ' (рер ) дх и проинтегрируем обе части этого равенства в пределах от х, до х,.
В результате находим р (х,) еаи (хн — р (х,) ери (хн У= — 0 х еви(~) д„ х~ Это соотношение известно под названием формулы Кра- мер са. !Ч-15. Согласно определению Ч = ((и+В(п(Р) (Р(Ч, откуда, учитывая условие нормировки ~(Р'е()е = 1, находим ,ж г — - = ~ (и+ В 1п (Р) — (Ч. д((х ш д( Теперь воспользуемся уравнением Эйнштейна — Фок- кера — Планка, записанным в виде дУ вЂ” = 07 (е — Риу(Р ) 5',=еаи(У д( Тогда дя' и) — — = 0О ~ )п ()г,Ч ( — аих (й',) е( Интегрируя по частям и учитывая, что на бесконечности поток плотности вероятности 5 = е — ри 7(р', исчезает, получаем — = — 0О~еаи — ' д 6, (~~" )' ш что и требовалось доказать.
1Ч-16. Ищем условный минимум функционала Ч' (Ю' (г, ()) (с учетом условия нормировки )%'е(У = 1). Как известно из вариационного исчисления, эта задача эквивалентна отысканию минимума другого функционала: Ч'х = 1 (У+ 01п Ж') (Р'е(Ч+). ~ (Р' Л~, 250 где Х вЂ” соответствующий условию нормировки (и определяемый этим условием) неопределенный множитель Лагранжа. Условие минимума Ч', имеет вид 6вг ~~'=и+О(пж'+О+) =О ( ~;2Я~ 8 заметим, кстати, что вторая вариация †„„, = -- )О, что обеспечивает минимум Ч',). !+ — ' Вводя вместо Х новую постоянную я=е е, получаем и 1 )г' = — е в, т. е.
распределение Больцмана, где из условия де нормировки и ()=')е вЛ'. 1Ч-17. Из радиотехники известно, что входящее в фор- мулу Найквиста активное сопротивление )7 в общем случае зависит от частоты и определяется как )х (ы) = Ке г (еэ), где г(а) = — так называемый импеданс (комплексное г„ сопротивление), Переходя к рассмотрению произвольной линейной си- стемы, будем понимать под е не только э.д.с., а вообще некоторую обобщенную силу 1 и соответственно под 1 — обобщенную скорость о = Я (где Я вЂ” обобщенная координата, в радиотехнике — заряд).
Тогда обобщенный импеданс г (ы) естественно опреде- лить, аналогично импедансу в радиотехнике, как г(ы) = -"-, 1 где („и о суть фурье — компоненты обобщенной силы )" (1) и соответствующей ей обобщенной скорости о (Г); очевидно, о = ) в Я . Рассматривая только положительные частоты (см. (28.23), получаем обобщение радиотехнической формулы Найквиста (28.21), (28.23) ! ) 2 20)7( 1 ~ 28 д(он 2 ' и ' 2 ~' я (гро)р' 1 2~Э й (м) 2 ~ ясо' ") а Ко),~' Из уравнения Ланжевена для броуновской частицы (28.1) в отсутствие внешних полей следует (пп а + у) о откуда импеданс броуновской частицы равен г(а)= — = иио+у, о„ )т (а) = Ке г (а) = у. Поэтому 1 — о 26 7 2 ~ ао~ л ааааа)та' Корреляция скорости вычисляется по теореме Винера— Хинчина и равна: «о т '2 о(1) о ((+т) = — ~ ) о„!о сов ата(а = — е 2 л т о В частности, при т = О в соответствии с теоремой о рав- нораспределенни о' (1) = — ~ ) о„)'а(а = —.
а' о !Ч-!8. Полагая в формуле (25.19) Р = до Я = а)„са = оао и меняя местами 1 и й, имеем Š— = д яо, Π— = д~я1, Дифференцируя по ! соотношение (25.8), получаем а,о,о,а Но согласно (25.18) яайо <~1~~ ц~ чо и поэтому ,це,оп, а;о откуда Соотношение (25.25), выражающее симметрию кинетических коэффициентов непосредственно, следует из послед- 262 него равенства, если принять линейный закон зависимости скорости о; от приложенных к„сил, ~а сч о~ = 4~ = г, ~.и~ха. Глава Ч Ч-1. Согласно (15.9), плотность числа частиц равна р (г) = ~Х~ 6 (г — г;), а корреляция плотности есть о (г) р(гг), где усреднение производится с помощью плотности вероятности заданного распределения Л' частиц в пространстве, в (гм ..,, гм) (см.
также задачу 1Ч-5). Таким образом, р (г) р (г') = ~... ~ 'Я ~; 6 (г — г,) 3 (г' — гу) х 8= /=! х ы(г;, ..., гм)с()г;...~Лгд,. Для одинаковых частиц ю — симметричная функция своих аргументов, поэтому (ср. 1Ч-5): о (г) й (гт) = Л' ~ 6 (» — г„) 6 (г — г,) в (гм ..., г;ф Л' ... у(м — 1) Р г ДРМ+ 6(г — г1)6(г — ге)ю(гм гм" °, гу) х х д)г~ Лг~ ° Н)г,т= — Р,(г) 6(г — г )+, г",(г, г ), где Рз(гм ..., гз) = г'з ~ ю(г„..., ггг) г()гз.,~... ° ° ° ~()ггг=)г ®г~ з...з есть безразмерная функция, называемая 5-частичной функцией распределения. В частности, для однородного газа Р, = 1, г, (г„ г,) = = д (, 'г, — г2~). Функция а (г) называется радиальной функцией распределения.
Очевидно, для однородного идеального газа имеем д = 1. При Ж))1 о (г) о (г') = рб (г — г"') + щ (~г — г' (), У где и = — — средняя плотность числа частиц. Для откло'г' пения плотности от средней, йй (7) = й (г) — о, находим бй(г) Лй(Г)=йб(г — г')+о (д(г — г' '() — 1]. Проинтегрировав последнее соотношение по области б внутри объема У, получим Ь'(Но) = Л)о+ о ) ~ (й(((7 — г' ~) — 1) ((У ((У', (о) (Ь) где )))о — — оУо.
Для идеального газа (д = 1) получаем: (з'()))'о) = Л)о в соответствии с результатом задач 11!-13, 1Ч-б. 7-2. Уравнение состояния определяется соотношением Р = Ойу!пЯ, где ~Ъ Я=Я„Ун= ~ ... ~ е е((У1...((У)(,а(Уь(7,,...,7н)есть (г) (г) энергия взаимодействия молекул: и (.„..., )= ч„"бэ(~г,—;().
н <(<а<)ч) Совершим преобразование координат г -~ г' = Лг, соответствующее изменению линейных размеров систем в Л раз; при этом У -+ У' = Лз У и ((У' = (( (Ла У) = ЗЛ'У ((Л = ЗУ' —. Тогда =~~д~«~~Я( )~ = зУ(1 [ зл 1) (1 где ил) (л) а(Л)=Л ~... ~е е ((У; ... Л„, но (и и (Л)= у; б)(Л~.,— г,(). п«ь<ю Очевидно, (,) = ( ) (Л) ~ ь=( — = Я (1) 254 Дифференцируя Я (Х) по Х, полагая затем )( = 1 и деля результат на Я = Я (1), находим п<(<а<м а ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
