Введение в теорию игр (сторонняя методичка) (1184510), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Âîçüìåì êîíêðåòíûé ðûíîê, íà êîòîðîì äåéñòâóþò 20 ïðîèçâîäèòåëåé ïðîäóêöèè è500 ïîòðåáèòåëåé, õàðàêòåðèçóþùèõñÿ îïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå Âàëüðàñà, íåëüçÿ ñêàçàòü, íàõîäèòñÿ ëè ýòîò ðûíîêâ ñîñòîÿíèè ñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè, òàê êàê ýòî îïðåäåëåíèå ÷èñòîêà÷åñòâåííîå è íå äàåò êîëè÷åñòâåííûõ êðèòåðèåâ.Ñâîéñòâà ðàâíîâåñíîé öåíûÁóäåì èñïîëüçîâàòü çàïèñü D(p) − S(p) > 0, åñëè V > V 0 ïðè âñåõV ∈ D(p), V 0 ∈ S(p). Àíàëîãè÷íî, áóäåì ïèñàòü D(p) − S(p) < 0, åñëèV < V 0 ïðè âñåõ V ∈ D(p), V 0 ∈ S(p).Óòâåðæäåíèå 16.2. Ïóñòü ôóíêöèÿ ïðåäëîæåíèÿ S a (p) êàæäîãî ïðîèçâîäèòåëÿ a ∈ A óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì S1-S3, à ôóíêöèÿ ñïðîñàDb (p) êàæäîãî ïîòðåáèòåëÿ b ∈ B − óñëîâèÿì D1-D4.
Òîãäà ðàâíîâåñíàÿöåíà âñåãäà ñóùåñòâóåò.183ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓP aÄîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ïðåäëîæåíèÿ S(p) =S (p)a∈AP aóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì S1-S3, à ôóíêöèÿ ñïðîñà D(p) =D (p) −b∈Bóñëîâèÿì D1-D4.Ïîñêîëüêó S(0) = 0, òî èç ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè S(p) è çàìêíóòîñòèåå ãðàôèêà âûòåêàåò, ÷òî S(p) = 0 â íåêîòîðîé ìàëîé ïîëóîêðåñòíîñòèòî÷êè 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ôóíêöèþ ñïðîñà D(p) â ýòîé ïîëóîêðåñòíîñòèìîæíî ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíîé. Ïîýòîìó ðàçíîñòü D(p) − S(p) > 0 ïðèìàëûõ p.Äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ p ôóíêöèÿ S(p) ïîëîæèòåëüíà (äîñòàòî÷íîâçÿòü p > Ċ a (0) äëÿ íåêîòîðîãî ïðîèçâîäèòåëÿ a ∈ A) è íå óáûâàåò, àD(p) → 0 ïðè p → ∞. Çíà÷èò, D(p) − S(p) < 0 ïðè áîëüøèõ p .Âîñïîëüçóåìñÿ àíàëîãîì òåîðåìû î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, èçâåñòíîé èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà: åñëè íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó çíà÷åíèÿ íà êîíöàõíåêîòîðîãî îòðåçêà, òî âíóòðè ýòîãî îòðåçêà ñóùåñòâóåò òî÷êà, â êîòîðîéôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü.Êàê óæå ãîâîðèëîñü, ñâîéñòâî çàìêíóòîñòè àíàëîãè÷íî ñâîéñòâó íåïðåðûâíîñòè.
Òàê êàê D(p) è S(p) − çàìêíóòûå ôóíêöèè, ñëåäîâàòåëüíî, èõðàçíîñòü D(p)−S(p) òîæå çàìêíóòàÿ ôóíêöèÿ. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òî÷êà p̃ , â êîòîðîé ýòà ðàçíîñòü ïðèíèìàåò íóëåâîå çíà÷åíèå, â òîì ñìûñëå,÷òî 0 ∈ D(p̃) − S(p̃).Óòâåðæäåíèå 16.3. Ïóñòü p̃1 , p̃2 − äâå öåíû êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ. Òîãäà ëþáàÿ öåíà p̃ ∈ [p̃1 , p̃2 ] òîæå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñíîé, ò.å.S(p̃) ∩ D(p̃) 6= ∅.Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ D(p) − S(p) ìîíîòîííî íå âîçðàñòàåò.
Òàêêàê ýòà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0 â òî÷êàõ p̃1 è p̃2 , òî è âî âñåõïðîìåæóòî÷íûõ òî÷êàõ îíà ïðèíèìàåò òî æå çíà÷åíèå. Ñëåäîâàòåëüíî,D(p̃) ∩ S(p̃) 6= ∅ äëÿ ëþáîãî p̃ ∈ [p̃1 , p̃2 ].Ïîêàæåì, ÷òî íà ñàìîì äåëå âîçìîæíû ñèòóàöèè, êîãäà ðàâíîâåñíàÿöåíà îïðåäåëÿåòñÿ íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì.  òàêèõ ñëó÷àÿõ èç óòâåðæäåíèÿ 16.3 áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò öåëûé îòðåçîê ðàâíîâåñíûõöåí.Ïðèìåð 16.7. Ïóñòü íà ðûíêå åñòü âñåãî òðè ïîòðåáèòåëÿ ñ íåýëàñòè÷íûìè ôóíêöèÿìè ñïðîñà. Ðåçåðâíûå öåíû äëÿ ýòèõ ïîòðåáèòåëåéðàâíû r1 , r2 è r3 ñîîòâåòñòâåííî.
 ýòîì ñëó÷àå ñóììàðíàÿ ôóíêöèÿ ñïðî184 16. Ìîäåëè íåðåãóëèðóåìûõ ðûíêîâñà áóäåò èìåòü ñòóïåí÷àòûé âèä. Ïóñòü, êðîìå òîãî, íà ðûíêå åñòü äâàïðåäïðèÿòèÿ-ïðîèçâîäèòåëÿ ñ ôèêñèðîâàííûìè óäåëüíûìè ñåáåñòîèìîñòÿìè c1 , c2 è ìàêñèìàëüíûìè îáúåìàìè ïðîèçâîäñòâà V 1 , V 2 ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììàðíîå ïðåäëîæåíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèåé. Òîãäà âîçìîæíà ñëåäóþùàÿ ñèòóàöèÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 16.6, ãäå ïîëó÷èëñÿ öåëûé îòðåçîê ðàâíîâåñíûõ öåí p̃.V 6V 6Ṽ ?6Ṽ---pp̃p̃Ðèñ.
16.6pÐèñ. 16.7Çàìåòèì, ÷òî âîçìîæíà è äðóãàÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà ðàâíîâåñíàÿ öåíàp̃ åäèíñòâåííà, íî íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ ðàâíîâåñíûéîáúåì Ṽ (ñì. ðèñ. 16.7).Èç ïðèâåäåííûõ âûøå óòâåðæäåíèé ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ìíîæåñòâî ðàâíîâåñíûõ öåí − ýòî ëèáî òî÷êà (åäèíñòâåííàÿ öåíà p̃), ëèáîñóùåñòâóåò îòðåçîê ðàâíîâåñíûõ öåí [p̃1 , p̃2 ].Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àè, ïðîèëëþñòðèðîâàííûå íà ðèñóíêàõ 16.6-7, íåòèïè÷íû è íîñÿò âûðîæäåííûé õàðàêòåð, òàê êàê ïðè ìàëîì âîçìóùåíèèïàðàìåòðîâ ìîäåëè ãðàôèêè ñìåùàþòñÿ è ïåðåñå÷åíèå ïî öåëîìó îòðåçêó ïðåâðàùàåòñÿ â ïåðåñå÷åíèå â òî÷êå. Ïðè ýòîì âîçìîæíà îäíà èçèçîáðàæåííûõ íà ñëåäóþùåì ðèñ. 16.8 ñèòóàöèé:V 6V6ṼṼ-p̃-pp̃pÐèñ.
16.8 òèïè÷íûõ ñëó÷àÿõ (èëè, èíûìè ñëîâàìè, â óñëîâèÿõ îáùåãî ïîëî185ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓæåíèÿ) ðàâíîâåñíàÿ öåíà è ðàâíîâåñíûé îáúåì îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì, ÷òî è ïðåäïîëàãàåòñÿ â äàëüíåéøåì. 17.Ìîíîïîëèçèðîâàííûé ðûíîêÐàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà íà ðûíêå ïðèñóòñòâóåò ëèøü îäíà ôèðìàïðîèçâîäèòåëü. Êàê è ðàíüøå, ïðîèçâîäèòåëü õàðàêòåðèçóåòñÿ ñåáåñòîèìîñòüþ òîâàðà, ò.å.
ôóíêöèåé èçäåðæåê C(V ), êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò, ñêîëüêî äåíåã íåîáõîäèìî çàòðàòèòü, ÷òîáû ïðîèçâåñòè òîâàð â îáúåìå V .Ïîòðåáèòåëè íà ýòîì ðûíêå ïîëàãàþòñÿ ìåëêèìè. Èõ ïîâåäåíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ ñóììàðíîé ôóíêöèåé ñïðîñà D(p), ïîêàçûâàþùåé, êàêîéîáúåì òîâàðà áóäåò êóïëåí ïðè çàäàííîé öåíå p. Ôèðìà-ìîíîïîëèñò óñòàíàâëèâàåò öåíó íà òîâàð p è îáúåì åãî ïðîèçâîäñòâà V . Òàêèì îáðàçîì,ñòðàòåãèåé ìîíîïîëèè ÿâëÿåòñÿ ïàðà (p, V ).Ïîèñê îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ìîíîïîëèèÎáñóäèì çàäà÷ó ïîèñêà îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ìîíîïîëèè.
Îíà ñîñòîèò â âûáîðå öåíû íà òîâàð p∗ è îáúåìà ïðîèçâîäñòâà V ∗ , ìàêñèìèçèðóþùèõ ïðèáûëü ìîíîïîëèè. Çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïðè ñëåäóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ: öåíà íåîòðèöàòåëüíà, à îáúåì âûïóñêà íåîòðèöàòåëåí è íåïðåâîñõîäèò ñïðîñà (ïðîèçâîäèòåëþ íåò ñìûñëà ïðîèçâîäèòü áîëüøå òîâàðà, ÷åì ïîòðåáèòåëè ãîòîâû êóïèòü). Ôîðìàëüíî ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿê íàõîæäåíèþ îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè(p∗ , V ∗ ) ∈ Argmax(p,V ): p≥0, 0≤V ≤D(p)(pV − C(V )).(17.1)Áóäåì çàïèñûâàòü ôóíêöèþ ñïðîñà â âèäå D(p) = [D− (p), D+ (p)], ãäåD− (p), D+ (p) − íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû äëÿ D(p).
Àíàëîãè÷íàÿ çàïèñü áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ è äëÿ ôóíêöèè ïðåäëîæåíèÿ:S(p) = [S − (p), S + (p)].Ðåøåíèå îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è (17.1) ïðîâåäåì â äâà ýòàïà.Ýòàï 1. Îïòèìèçàöèÿ ïî îáúåìó ïðè ôèêñèðîâàííîé öåíåÔèêñèðóåì ëþáóþ öåíó p è îïðåäåëèì îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå V ∗ (p).Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ìîíîïîëèçèðîâàííîãî ðûíêà ìîæíî òàê æå, êàêè äëÿ êîíêóðåíòíîãî ðûíêà, ââåñòè ôîðìàëüíî ôóíêöèþ ïðåäëîæåíèÿS(p) = Arg max(pV − C(V )) è íàéòè ðàâíîâåñíóþ öåíó p̃, òàêóþ, ÷òîV ≥0S(p̃) ∩ D(p̃) 6= ∅.186 17. Ìîíîïîëèçèðîâàííûé ðûíîêÓòâåðæäåíèå 17.1.
Åñëè p̃ −ðàâíîâåñíàÿ öåíà, òîp < p̃,S(p),∗+V (p) ∈ S(p) ∩ [0, D (p)], p = p̃, +D (p),p > p̃.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p < p̃. Çàìåòèì, ÷òî åñëè îòáðîñèòü â çàäà÷å(17.1) îãðàíè÷åíèå íà îáúåì, òî åå ðåøåíèå ïðè ôèêñèðîâàííîì p ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì ôóíêöèè ïðåäëîæåíèÿ S(p) â òî÷êå p. Ñëåäîâàòåëüíî,òàê êàê S(p) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè íà áîëåå øèðîêîììíîæåñòâå, òî çíà÷åíèå îïòèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà â S(p) íå ìåíüøå,÷åì â òî÷êå V ∗ (p).
Îäíàêî ïðè p < p̃ ôóíêöèÿ ïðåäëîæåíèÿ S(p) óäîâëåòâîðÿåò îãðàíè÷åíèþ íà îáúåì, ò.å. S + (p) < D− (p). Ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê ôóíêöèÿ S(p) ìîíîòîííî íå óáûâàåò, à D(p) ìîíîòîííî íåâîçðàñòàåò è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî p < p̃ ðàçíîñòü D(p) − S(p) > 0(ñì. ðèñ. 17.1). Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå V ∗ (p) ∈ S(p).pV − C(V )V 66D(p)S(p)bb--p̃pD(p)S(p)Ðèñ. 17.1VÐèñ. 17.2Ïóñòü p = p̃.  ýòîì ñëó÷àå íàäî âçÿòü îïòèìàëüíûé îáúåì ïðîèçâîäñòâà, íî òàêîé, êîòîðûé ïîòðåáèòåëü â ñîñòîÿíèè êóïèòü. Ñëåäîâàòåëüíî,â ýòîì ñëó÷àå V ∗ (p̃) ∈ S(p̃) ∩ [0, D+ (p̃)].Íàêîíåö, ïóñòü p > p̃. Îïòèìèçèðóåìàÿ â çàäà÷å (17.1) ôóíêöèÿïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü ëèíåéíîé è âûïóêëîé ôóíêöèé è, ñëåäîâàòåëüíî, ñàìà ÿâëÿåòñÿ âîãíóòîé ôóíêöèåé. Ïðè÷åì, êàê áûëî çàìå÷åíî â ïðåäûäóùåì ïóíêòå äîêàçàòåëüñòâà, ìàêñèìóì åå äîñòèãàåòñÿ âS(p). Çíà÷èò, ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [0, S − (p)].Ïðè p > p̃ â ñèëó îãðàíè÷åíèÿ íà îáúåì ïðåäëîæåíèÿ ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìûì îáúåìîì ïðîèçâîäñòâà áóäåò D+ (p), òàê êàê â ýòîì ñëó÷àåD+ (p) < S − (p) (ñì.
ðèñ. 17.1 è ðèñ. 17.2). Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àåV ∗ (p) = D+ (p).187ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓÝòàï 2. Îïòèìèçàöèÿ ïî öåíåÈòàê, ìû îïðåäåëèëè îïòèìàëüíûé îáúåì äëÿ êàæäîé ôèêñèðîâàííîé öåíû. Òåïåðü íàéäåì îïòèìàëüíóþ ìîíîïîëüíóþ öåíó.Óòâåðæäåíèå 17.2. 1) Ìîíîïîëèÿ âñåãäà íàçíà÷àåò öåíó p∗ íå íèæåðàâíîâåñíîé, ò.å. p∗ ≥ p̃.2) Åñëè ôóíêöèÿ ñïðîñà D(p) − îäíîçíà÷íàÿ è ãëàäêàÿ â îêðåñòíîñòèòî÷êè p̃, òî ìîíîïîëèÿ íàçíà÷àåò öåíó p∗ âûøå ðàâíîâåñíîé, ò.å. p∗ > p̃.Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî öåíà ìîíîïîëèè íå íèæå, ÷åì p̃.
Áåðåì ëþáóþ öåíó p < p̃.  ñèëó ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ17.1 îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå îáúåìà V ∗ (p) ∈ S(p). Ðàññìîòðèì àëüòåðíàòèâíóþ ñòðàòåãèþ (p̃, V ∗ (p)). Íàì èçâåñòíî, ÷òî D(p̃) ∩ S(p̃) 6= ∅. Òîãäàèç ìîíîòîííîñòè ôóíêöèé ñïðîñà è ïðåäëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî D(p̃) ≥S(p) ∀ p < p̃. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòðàòåãèÿ (p̃, V ∗ (p)) äîïóñòèìà, ò.å. òîò æåîáúåì òîâàðà V ∗ (p) ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí ïî áîëüøåé öåíå p̃. Çàìåòèì,÷òî èçäåðæêè ïðè ýòîì íå èçìåíÿòñÿ, òàê êàê îáúåì âûïóñêà îñòàëñÿ òåìæå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
