Введение в теорию игр (сторонняя методичка) (1184510), страница 27
Текст из файла (страница 27)
 ëþáîé ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ µ̂ ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε > 0µ̂a (x) = µa (x), ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ ïîçèöèè x ïîëîæèòåëüíà è ëþáîé äðóãîé âûáîð ïðèâåäåò ê ñòðîãî ìåíüøåìó âûèãðûøó.Äàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ âåðøèíû èç Z2 , Z3 , ..., ïðîâîäÿòñÿ àíàëîãè÷íûåðàññóæäåíèÿ ïî èíäóêöèè è äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî µ̂ = µ.Ñëåäñòâèå. Ïóñòü G − ïîçèöèîííàÿ èãðà, äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííîå ñîâåðøåííîå ïîäèãðîâîå ðàâíîâåñèå µ.
Òîãäà èãðà â íîðìàëüíîé ôîðìå Γ(G) ðàçðåøèìà ïî äîìèíèðîâàíèþ, à âûèãðûøè èãðîêîâ ua (µ), a ∈ A, çàäàþòñÿ àëãîðèòìîì Êóíà. ñëåäóþùåì ïðèìåðå (ðèñ. 13.6) ñîâåðøåííîå ïîäûãðîâîå ðàâíîâåñèåñòðîãî õóæå äëÿ èãðîêîâ, ÷åì äðóãàÿ ñèòóàöèÿ.1b@@×(2, 2)×(5, 5)@@ b2@@@@@×(0, 6)Ðèñ.
13.6152 14. Ïîçèöèîííûå èãðû îáùåãî âèäà 14.Ïîçèöèîííûå èãðû îáùåãî âèäàÎñíîâíîå îòëè÷èå ïîçèöèîííûõ èãð ñ íåïîëíîé èíôîðìàöèåé îò èãðñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé ñîñòîèò â òîì, ÷òî èãðîê â ìîìåíò ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ íå çíàåò òî÷íî ñîñòîÿíèå èãðû, òî åñòü íå ðàçëè÷àåò íåêîòîðûåâåðøèíû ìåæäó ñîáîé. Îòìåòèì, ÷òî íåòî÷íàÿ èíôîðìàöèÿ î òåêóùåìñîñòîÿíèè òèïè÷íà äëÿ ðåàëüíûõ êîíôëèêòîâ.
Îáùåå ïîíÿòèå ïîçèöèîííîé èãðû (ñ íåïîëíîé èíôîðìàöèåé) îòëè÷àåòñÿ îò äàííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ èãðû ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé â ñëåäóþùåì îòíîøåíèè. Äëÿ êàæäîãî èãðîêà a ââîäèòñÿ äîïîëíèòåëüíîå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà åãî ïîçèöèé íà èíôîðìàöèîííûå ìíîæåñòâà. Èíôîðìàöèîííîå ìíîæåñòâî − ýòîñîâîêóïíîñòü ñîñòîÿíèé ïîçèöèîííîé èãðû, êîòîðûå èãðîê íå ðàçëè÷àåòìåæäó ñîáîé. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì äëÿ âñåõ ïîçèöèé îäíîãî èíôîðìàöèîííîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ îäèíàêîâîå ÷èñëî àëüòåðíàòèâ, ò.å. ïîñëåäóþùèõ ïîçèöèé, â êàæäîé òàêîé âåðøèíå. Êðîìå òîãî, èíôîðìàöèîííîåìíîæåñòâî íå äîëæíî ñîäåðæàòü äâóõ ïîçèöèé, ïðèíàäëåæàùèõ îäíîìóïóòè, ñîåäèíÿþùåìó íà÷àëüíóþ âåðøèíó ñ íåêîòîðîé ôèíàëüíîé.
Çàíóìåðóåì ýòè ìíîæåñòâà äëÿ êàæäîãî èãðîêà è îáîçíà÷èì èíôîðìàöèîííîåìíîæåñòâî ñ íîìåðîì j èãðîêà a ∈ A ÷åðåç Z aj .Êàê è â èãðå ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé, â ïðîèçâîëüíîé ïîçèöèîííîéèãðåDS aG = A, (X, σ), ua (x), x ∈ T, a ∈ A; X\T =X ∪ X 0,a∈AE∀ x ∈ X 0 ∃ p(x0 |x), x0 ∈ σ −1 (x) ,çàäàíû• A − ìíîæåñòâî èãðîêîâ;• (X, σ) − êîíå÷íîå äåðåâî (îðèåíòèðîâàííûé ãðàô áåç öèêëîâ), ãäåX − ìíîæåñòâî ïîçèöèé (âåðøèí) ñ íà÷àëüíîé âåðøèíîé x0 è σ : X → X− îòîáðàæåíèå, ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé âåðøèíå äåðåâà (X, σ) åå áëèæàéøåãî ïðåäøåñòâåííèêà, ïðè÷åì1) σ(x0 ) = x0 ,2) íàéäåòñÿ öåëîå l ≥ 0, ÷òî σ l (x) = x0 ∀ x ∈ X; íàèìåíüøåå òàêîål íàçûâàåòñÿ äëèíîé äåðåâà (X, σ);• T = {x ∈ X | σ −1 (x) = ∅} − ìíîæåñòâî ôèíàëüíûõ âåðøèí;• R = {X a , a ∈ A, X 0 } − ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà X\T íà ïîïàðíîíåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà;• X a − ìíîæåñòâî ëè÷íûõ ïîçèöèé, â êîòîðûõ äåëàåò õîä èãðîê a ∈A;153ÃËÀÂÀ III.
ÈÃÐÛ ÌÍÎÃÈÕ ËÈÖ• X 0 − ìíîæåñòâî ïîçèöèé, â êîòîðûõ "äåëàåò õîä"ñëó÷àé;• ua : T → E 1 − ôóíêöèÿ âûèãðûøà èãðîêà a;• äëÿ êàæäîãî x ∈ X 0 çàäàíû âåðîÿòíîñòèPp(x0 |x) > 0,p(x0 |x) = 1,x0 ∈σ −1 (x)0−1ïåðåõîäà èç ïîçèöèè x â ïîçèöèè x ∈ σ (x).Êðîìå òîãî, äëÿ êàæäîãî a ∈ A çàäàíîS aj ðàçáèåíèåaX =Zj∈J aíà èíôîðìàöèîííûå ìíîæåñòâà Z , j ∈ J a , âêëþ÷àþùèå ïîçèöèè ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì àëüòåðíàòèâ, ðàâíûì k(j). Àëüòåðíàòèâû êàæäîé ïîçèöèè x ∈ Z aj ïðîíóìåðîâàíû ñëåâà íàïðàâî ÷èñëàìè îò 1 äî k(j). Èãðîê aäåëàåò õîä, íå ðàçëè÷àÿ ïîçèöèè èç Z aj ìåæäó ñîáîé. ×òîáû îòðàçèòü ýòîîáñòîÿòåëüñòâî, îáîçíà÷èì ÷åðåç Alaj = {1, ..., k(j)} ìíîæåñòâî íîìåðîâàëüòåðíàòèâ äëÿ èíôîðìàöèîííîãî ìíîæåñòâà Z aj èãðîêà a ∈ A.
Âî âñåõïîçèöèÿõ x ∈ Z aj ìíîæåñòâî Alaj èçîìîðôíî ìíîæåñòâó ïîçèöèé σ −1 (x).Îáîçíà÷èì ÷åðåç ξ(x, k) âåðøèíó, ñëåäóþùóþ çà x è ñîîòâåòñòâóþùóþàëüòåðíàòèâå ñ íîìåðîì k ∈ Alaj ïðè óêàçàííîì èçîìîðôèçìå.ajÎïðåäåëåíèå. ×èñòîé ñòðàòåãèåé èãðîêà a ∈ A íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå µa , îïðåäåëÿþùåå äëÿ êàæäîãî èíôîðìàöèîííîãî ìíîæåñòâà Z ajàëüòåðíàòèâó µa (Z aj ) ∈ Alaj , êîòîðóþ èãðîê âûáèðàåò â ëþáîé èç âåðøèí ýòîãî ìíîæåñòâà.
Íàáîð òàêèõ ñòðàòåãèéµ = (µa , a ∈ A) íàçûâàåòñÿ ñèòóàöèåé.Âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â ïîçèöèþ x ∈ X , íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùóþçà âåðøèíîé σ(x) ∈ Z aj ïðè èñïîëüçîâàíèè ñèòóàöèè µ, îïðåäåëÿåòñÿ ïîôîðìóëå p(x|µ) = p(σ(x)|µ)p(x|σ(x), µ), ãäå(1, åñëè x = ξ(σ(x), µa (Z aj )),p(x|σ(x), µ) =0â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Åñëè æå σ(x) ∈ X 0 − ïîçèöèÿ ñëó÷àÿ, òî âåðîÿòíîñòü p(x|σ(x), µ) =p(x|σ(x)) çàäàíà óñëîâèÿìè èãðû. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé ñèòóàöèèµ äëÿ êàæäîãî èãðîêà a ∈ A îïðåäåëåíî ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè âûèãðûøàXua (µ) = E(ua (x)|µ) =p(x|µ)ua (x).x∈TÎïðåäåëåíèå. Ñìåøàííîé ñòðàòåãèåé π a èãðîêà a ∈ A íàçûâàåòñÿâåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ìíîæåñòâå {µa } åãî ÷èñòûõ ñòðàòåãèé,154 14.
Ïîçèöèîííûå èãðû îáùåãî âèäàñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé ñòðàòåãèè µa âåðîÿòíîñòü πµaa åå âûáîðà.Ñèòóàöèÿ π = (π a , a ∈ A) â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ìíîæåñòâå T ôèíàëüíûõ ïîçèöèé:X Yπµa p(x|µ) ∀ x ∈ T.p(x|π) =µa∈AÎæèäàåìûé âûèãðûø èãðîêà a â ñèòóàöèè π îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåXua (π) = E(ua (x)|µ) =p(x|π)ua (x).x∈TÓêàçàííûé ñïîñîá ââåäåíèÿ ñìåøàííûõ ñòðàòåãèé àíàëîãè÷åí ñëó÷àþèãð â íîðìàëüíîé ôîðìå.
Îäíàêî â äàííîì êëàññå èãð îí, êàê ïðàâèëî,íåýôôåêòèâåí, ïîñêîëüêó äàæå äëÿ íåáîëüøèõ äåðåâüåâ ÷èñëî âîçìîæíûõ ÷èñòûõ ñòðàòåãèé ìîæåò áûòü î÷åíü âåëèêî. Áîëåå ýôôåêòèâíûìÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ïîäõîä, ñâÿçàííûé ñ ïîíÿòèåì ñòðàòåãèè ïîâåäåíèÿ.Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà èãðîê âûáèðàåò âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå íà àëüòåðíàòèâàõ äëÿ êàæäîãî ñâîåãî èíôîðìàöèîííîãî ìíîæåñòâà è, â ñëó÷àå ñâîåãî âûáîðà, ïðîâîäèò ðàíäîìèçàöèþ, ïîëüçóÿñüýòèì ðàñïðåäåëåíèåì.
Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñëó÷àéíûé âûáîðàëüòåðíàòèâ â ðàçëè÷íûõ èíôîðìàöèîííûõ ìíîæåñòâàõ ïðîèçâîäèòñÿíåçàâèñèìî.Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèåé ïîâåäåíèÿ β a èãðîêà a íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå, êîòîðîå êàæäîìó èíôîðìàöèîííîìó ìíîæåñòâó Z aj , j ∈ J a ,ñîïîñòàâëÿåò íàáîð(pajk ,k = 1, ..., k(j)) :k(j)Xajpajk = 1, pk ≥ 0, k = 1, ..., k(j),k=1ajïðè÷åì pajâ ëþáîé ïîçèk − âåðîÿòíîñòü âûáîðà àëüòåðíàòèâû k ∈ Alajöèè ìíîæåñòâà Z .Ëþáàÿ ñèòóàöèÿ β = (β a , a ∈ A) â ñòðàòåãèÿõ ïîâåäåíèÿ îïðåäåëÿåòâåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ìíîæåñòâå ïîçèöèé ñëåäóþùèì îáðàçîì:σ(x) ∈ Z aj , x = ξ(σ(x), k), k ∈ Alaj ⇒ p(x|β) = p(σ(x)|β)pajk ;155ÃËÀÂÀ III. ÈÃÐÛ ÌÍÎÃÈÕ ËÈÖσ(x) ∈ X 0 ⇒ p(x|β) = p(σ(x)|β)p(x|σ(x)).Îæèäàåìûé âûèãðûø ua (β) èãðîêà a â ñèòóàöèèPβ = (β a , a ∈ A) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ua (β) =p(x|β)ua (x).x∈TÒàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëèëè äâà ñìåøàííûõ ðàñøèðåíèÿ èãðûΓ(G):Γ(G) = A, {π a }, ua (π), a ∈ A è Γ̂(G) = A, {β a }, ua (β), a ∈ A .Êàê îíè ìåæäó ñîáîé ñîîòíîñÿòñÿ? Èçó÷èì ýòîò âîïðîñ, èñïîëüçóÿñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ.Îïðåäåëåíèå.
Ïîçèöèÿ x ∈ X a èãðîêà a íàçûâàåòñÿ âîçìîæíîé äëÿñìåøàííîé ñòðàòåãèè π a (÷èñòîé ñòðàòåãèè µa ), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿñèòóàöèÿ π (µ), ñîäåðæàùàÿ π a (µa ), ÷òî p(x|π) > 0 (p(x|µ) > 0).Îïðåäåëåíèå. Èíôîðìàöèîííîå ìíîæåñòâî Z aj èãðîêà a íàçûâàåòñÿñóùåñòâåííûì äëÿ ñìåøàííîé ñòðàòåãèè π a (÷èñòîé ñòðàòåãèè µa ), åñëèíåêîòîðàÿ ïîçèöèÿ x ∈ Z aj âîçìîæíà äëÿ π a (µa ).Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ïîçèöèé, âîçìîæíûõ äëÿ ñòðàòåãèè µa , ÷åðåçPoss µa , à ñåìåéñòâî èíôîðìàöèîííûõ ìíîæåñòâ, ñóùåñòâåííûõ äëÿ µa ,÷åðåç Rel µa . Àíàëîãè÷íî ââîäÿòñÿ ìíîæåñòâî Poss π a è ñåìåéñòâî Rel π a .Îáîçíà÷èì ÷åðåç [x0 , x] ïóòü, âåäóùèé èç íà÷àëüíîé âåðøèíû x0 äåðåâà â âåðøèíó x.Óïðàæíåíèå 14.1. Ïóñòü µa − ÷èñòàÿ ñòðàòåãèÿ èãðîêà a ∈ A.
Ïîêàæèòå, ÷òî x ∈ Poss µa òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñòðàòåãèÿ µa â ëþáîéâåðøèíå x0 ∈ [x0 , x] ∩ X a , x0 6= x, âûáèðàåò àëüòåðíàòèâó, ïðèíàäëåæàùóþ ïóòè [x0 , x].  ÷àñòíîñòè, åñëè x ∈ X a ∩ Z aj − ïåðâàÿ ïîçèöèÿ, ãäåèãðîê a äåëàåò õîä, òî x ∈ Poss µa è Z aj ∈ Rel µa äëÿ ëþáîé ÷èñòîéñòðàòåãèè µa .Äëÿ ñìåøàííîé ñòðàòåãèè π a , èíôîðìàöèîííîãî ìíîæåñòâà Z aj è àëüòåðíàòèâû k ∈ Alaj ïîëîæèìP (π a , j) =Xπµaa , Pk (π a , j) =Xπµaa .µa :Z aj ∈Rel µa , µa (Z aj )=kµa :Z aj ∈Rel µaÇäåñü P (π a , j) − âåðîÿòíîñòü âûáîðà ÷èñòîé ñòðàòåãèè µa , äëÿ êîòîðîéìíîæåñòâî Z aj âîçìîæíî, à Pk (π a , j) − âåðîÿòíîñòü âûáîðà àíàëîãè÷íîéñòðàòåãèè µa ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì µa (Z aj ) = k . Íåòðóäíî âèäåòü,156 14. Ïîçèöèîííûå èãðû îáùåãî âèäà÷òîaP (π , j) =k(j)XPk (π a , j).k=1Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèåé ïîâåäåíèÿ β a , ñîîòâåòñòâóþùåé ñìåøàííîé ñòðàòåãèè π a èãðîêà a, íàçûâàåòñÿ ñòðàòåãèÿ ïîâåäåíèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Pk (π a , j)/P (π a , j), åñëè Z aj ∈ Rel π a ,ajPpk =(14.1)πµaa ,åñëè Z aj ∈/ Rel π a .µa :µa (Z aj )=kÈç ïîñëåäíèõ ôîðìóë âûòåêàåò, ÷òî êàæäàÿ ñìåøàííàÿ ñòðàòåãèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòðàòåãèþ ïîâåäåíèÿ.
Îáðàòíî,êàæäîé ñòðàòåãèè ïîâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ìíîãî ñìåøàííûõ ñòðàòåãèé.Íî îäíó èç íèõ âñåãäà ìîæíî çàäàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ëåììà 14.1. Åñëè äàíà ñòðàòåãèÿ ïîâåäåíèÿ β a èãðîêà a è ñìåøàííàÿñòðàòåãèÿ π a îïðåäåëåíà ïî ôîðìóëåY ajπµaa =pij ,j∈J aãäå µa (Z aj ) = ij ∈ Alaj ∀ j ∈ J a , òî β a åñòü ñòðàòåãèÿ ïîâåäåíèÿ,ñîîòâåòñòâóþùàÿ π a .Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáàÿ ÷èñòàÿ ñòðàòåãèÿ µa èãðîêà a îïðåäåëÿåòñÿíàáîðîì çíà÷åíèéia = (ij | µa (Z aj ) = ij ∈ Alaj , j ∈ J a ).ÏîýòîìóXµaπµaa=XYpajijk(j)YX=ia j∈J apajij = 1.j∈J a ij =1Ïóñòü Z aj ∈ Rel π a . Òîãäà äëÿ k ∈ AlajPk (π a , j) =Xµa :Z aj ∈Rel µa , µa (Z aj )=k157πµaa =ÃËÀÂÀ III. ÈÃÐÛ ÌÍÎÃÈÕ ËÈÖX=Y ajajpalµa (Z al ) pk = dk pk .aµa :Z aj ∈Rel µa , µa (Z aj )=k l∈J \{j}Âåëè÷èíà dk îò k ∈ Alaj íå çàâèñèò, ïîñêîëüêó îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéñóììó îäèíàêîâîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ, íå çàâèñÿùèõ îò k.
ÎòñþäàaP (π , j) =k(j)XaPk (π , j) =k=1k(j)Xajaadk pajk = dk ⇒ pk = Pk (π , j)/P (π , j).k=1Ïóñòü Z aj ∈/ Rel π a . ÒîãäàXπµaa =µa :µa (Z aj )=k=YXYajpalµa (Z al ) pk =µa :µa (Z aj )=k l∈J a \{j}Xajajpalµa (Z al ) pk = pk .l∈J a \{j} µa :µa (Z aj )=kÏðèâåäåííàÿ ëåììà óòâåðæäàåò, ÷òî ìû ìîæåì ïîëó÷èòü êàæäóþñòðàòåãèþ ïîâåäåíèÿ èç íåêîòîðîé ñìåøàííîé ñòðàòåãèè.Ïðèìåð 14.1. Èãðà ñ ïàðòíåðîì.  ýòîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðå èãðîê1 ñîñòîèò èç äâóõ àãåíòîâ, íàçûâàåìûõ Èãðàþùèé è Ïàðòíåð. Äâå êàðòû,"ñòàðøàÿ"è "ìëàäøàÿ", ñäàþòñÿ Èãðàþùåìó è èãðîêó 2. Îáà âîçìîæíûõ ðàñêëàäà êàðò ñ÷èòàþòñÿ ðàâíîâåðîÿòíûìè. Èãðîê ñî ñòàðøåé êàðòîé ïîëó÷àåò äîëëàð îò èãðîêà ñ ìëàäøåé êàðòîé è èìååò àëüòåðíàòèâûëèáî çàêîí÷èòü, ëèáî ïðîäîëæèòü ïàðòèþ.
Åñëè ïàðòèÿ ïðîäîëæàåòñÿ,Ïàðòíåð, íå çíàÿ ðàñêëàäà (è ïîëó÷åííîé ñóììû), ìîæåò ïîñîâåòîâàòüÈãðàþùåìó ïîìåíÿòüñÿ êàðòîé ñ èãðîêîì 2 èëè ñîõðàíèòü ñâîþ êàðòó.Ñíîâà èìåþùèé ñòàðøóþ êàðòó ïîëó÷àåò äîëëàð îò àãåíòà, èìåþùåãîìëàäøóþ (ñì. ðèñ. 14.1, ãäå â êàæäîé ôèíàëüíîé ïîçèöèè çàïèñàí âûèãðûø èãðîêà 1).158 14. Ïîçèöèîííûå èãðû îáùåãî âèäàb@1/2Z 11b zb11/2@@21@Z@bb−1Z 12bw2bx@@@b0yb@@@bb−20Ðèñ. 14.1Çäåñü X 1 = Z 11 ∪ Z 12 , X 2 = Z 21 .
Ïîýòîìó µ1 = (µ1 (Z 11 ), µ1 (Z 12 ))è µ2 = (µ2 (Z 21 )). Ìàòðèöà îæèäàåìûõ âûèãðûøåé u1 (µ1 , µ2 ) ïåðâîãîèãðîêà åñòü(1)(2)çàêîí÷èòü ïðîäîëæèòü(çàêîí÷èòü, îñòàâèòü)(1, 1)0−1/2(çàêîí÷èòü, ìåíÿòüñÿ)(1, 2) 01/2.(ïðîäîëæèòü, îñòàâèòü) (2, 1) 1/20(ïðîäîëæèòü, ìåíÿòüñÿ) (2, 2)−1/20u1 ((1, 1), 1) = 1/2 · 1 + 1/2 · (−1) = 0;u1 ((1, 1), 2) = 1/2 · 1 + 1/2 · (−2) = −1/2;u1 ((1, 2), 1) = 1/2 · 1 + 1/2 · (−1) = 0;u1 ((1, 2), 2) = 1/2 · 1 + 1/2 · 0= 1/2;1u ((2, 1), 1) = 1/2 · 2 + 1/2 · (−1) = 1/2;u1 ((2, 1), 2) = 1/2 · 2 + 1/2 · (−2) = 0;u1 ((2, 2), 1) = 1/2 · 0 + 1/2 · (−1) = −1/2;u1 ((2, 2), 2) = 1/2 · 0 + 1/2 · 0= 0.Ðåøåíèå ìàòðè÷íîé èãðû (π 1 , π 2 , v) = ((0, 1/2, 1/2, 0), (1/2, 1/2), 1/4)îáåñïå÷èâàåò èãðîêó 1 îæèäàåìûé âûèãðûø 1/4, à èãðîêó 2 − îæèäàåìóþ ïîòåðþ, íå ïðåâûøàþùóþ 1/4.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè âçÿòü ñòðà111212òåãèþ ïîâåäåíèÿ èãðîêà 1 s = p111 , 1 − s = p2 è r = p1 , 1 − r = p2 , òîïîëó÷èì, ÷òî îæèäàåìûé âûèãðûø èãðîêà 1 ðàâåí159ÃËÀÂÀ III. ÈÃÐÛ ÌÍÎÃÈÕ ËÈÖ(s/2 + 2((1 − s)r/2) + 0 − 1/2 = (s − 1)(1/2 − r),åñëè µ2 = (1),s/2 + 2((1 − s)r/2) + 0 + (−2)r/2 + 0 = s(1/2 − r), åñëè µ2 = (2).Äëÿ ëþáûõ s è r èãðîêó 1 ãàðàíòèðîâàí òîëüêî ìèíèìóì èç ýòèõ äâóõçíà÷åíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìàëüíàÿ ñóììà, êîòîðóþ èãðîê 1 ìîæåòñåáå îáåñïå÷èòü, ðàâíàmax min[(s − 1)(1/2 − r), s(1/2 − r)] = 00≤s,r≤1è äîñòèãàåòñÿ ïðè r = 1/2. Òàêèì îáðàçîì, ñòðàòåãèè ïîâåäåíèÿ ìîãóòäàòü õóäøèé ðåçóëüòàò, ÷åì ñìåøàííûå ñòðàòåãèè. Çàìåòèì, ÷òî ñìåøàí1111íàÿ ñòðàòåãèÿ π 1 = (π(1,1), π(1,2), π(2,1), π(2,2)) èìååò ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòðà11111òåãèþ ïîâåäåíèÿ β = (s, r) = (π(1,1) + π(1,2) , π(1,1)+ π(2,1)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
