Введение в теорию игр (сторонняя методичка) (1184510), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓÄëÿ ôóíêöèè ñåáåñòîèìîñòè C a (V ), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì C1C4, ôóíêöèÿ ïðåäëîæåíèÿ ïðåäïðèÿòèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàêS a (p) = Arg max(pV − C a (V )),V ≥0ãäå pV −C a (V ) − ôóíêöèÿ ïðèáûëè. Çàìåòèì, ÷òî çäåñü íåò îãðàíè÷åíèÿñâåðõó íà îáúåì V âûïóñêàåìîãî òîâàðà.Óòâåðæäåíèå 16.1. Åñëè ôóíêöèÿ C a (V ) óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâàìC1 − C4, òî ôóíêöèÿ S a (p) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:S1 S a (0) = 0;S2 äëÿ êàæäîãî p ìíîæåñòâî S a (p) âûïóêëî è îãðàíè÷åíî, à ãðàôèêîòîáðàæåíèÿ S a (p) Gr(S a (p)) = {(p, V ) | p ≥ 0, V ∈ S a (p)} çàìêíóò;S3 S a (p) íå óáûâàåò ïî p , ò.å.
äëÿ ëþáûõ p < p0 è äëÿ ëþáûõV ∈ S a (p), V 0 ∈ S a (p0 ) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî V ≤ V 0 .Äîêàçàòåëüñòâî. S1. Î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó ïðè íóëåâîé öåíå ïðîèçâîäñòâî òîâàðà íå âûãîäíî.S2. Ôóíêöèÿ pV − ëèíåéíàÿ ïî V , à C a (V ) − âûïóêëàÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ pV − C a (V ) ÿâëÿåòñÿ âîãíóòîé. Ìíîæåñòâî òî÷åê ìàêñèìóìà ó âîãíóòîé ôóíêöèè âûïóêëî. S a (p) åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê ìàêñèìóìàíåïðåðûâíîé ôóíêöèè pV − C a (V ). Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî S a (p) çàìêíóòî. Ïî ñâîéñòâó C4 ôóíêöèÿ èçäåðæåê C(V ) ðàñòåò áûñòðåå ëþáîéëèíåéíîé ôóíêöèè.
Ïîýòîìó ïðè ëþáîì p > 0 íàéäåòñÿ òàêàÿ âåëè÷èíàV (p), ÷òî pV − C a (V ) < 0 ∀ V ≥ V (p). Îòñþäà âûòåêàåò îãðàíè÷åííîñòüìíîæåñòâà S a (p).S3. Âîçüìåì p < p0 è çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûå V ∈ S a (p),0V ∈ S a (p0 ). Åñëè V 0 = 0, òî íåîáõîäèìî Ċ+ (0) ≥ p0 > p. Ñëåäîâàòåëüíî,S a (p) = {0} è óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïóñòü V > 0, V 0 > 0. Òîãäà èçóñëîâèÿ ìàêñèìóìà ôóíêöèè ïðèáûëè âûòåêàþò íåðàâåíñòâàĊ−a (V ) ≤ p ≤ Ċ+a (V ), Ċ−a (V 0 ) ≤ p0 ≤ Ċ+a (V 0 ).Îòñþäà ñ ó÷åòîì p < p0 íàõîäèì Ċ−a (V ) < Ċ+a (V 0 ). Èç âûïóêëîñòè ôóíêöèè C a (V ) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî V ≤ V 0 .Ãðàôè÷åñêèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè ïðåäëîæåíèÿ1) Ïóñòü C a (V ) − ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ.
Åñëè ìàêñèìóì ïðèáûëè äîñòèãàåòñÿ âî âíóòðåííåé òî÷êå V ∗ > 0, òî p = Ċ a (V ∗ ) ⇒ V ∗ = (Ċ a )−1 (p) =S a (p). Åñëè ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ â íóëå, òî p ≤ Ċ a (0). Ïðè p = Ċ a (0)S a (p) = [0, S a+ ], ãäå S a+ = sup{V | Ċ a (V ) = Ċ a (0)}.178 16. Ìîäåëè íåðåãóëèðóåìûõ ðûíêîâÑòðîèì ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè (Ċ a )−1 (p). Äëÿ ýòîãî îòîáðàçèìãðàôèê ôóíêöèè Ċ a (V ) ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû.
Íà îñèp ñîåäèíèì íîëü ñ òî÷êîé Ċ a (0) è ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè S a (p).2) Ñ íåãëàäêîé ôóíêöèåé ïîñòóïàåì àíàëîãè÷íî: ñêà÷êàì ôóíêöèèĊ a (V ) áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü ãîðèçîíòàëüíûå îòðåçêè íà ãðàôèêå ôóíêöèè S a (p).Ïðèìåð 16.1. Ôóíêöèÿ èçäåðæåê çàäàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:C a (V )60 ≤ V < 2,V /2,aC (V ) = V − 1,2 ≤ V < 3, 3V /9 − 1, V ≥ 3.-VÐèñ. 16.3Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ôóíêöèþ ïðåäëîæåíèÿ S a (p).1) Ñòðîèì ôóíêöèþ Ċ a (V ):Ċ a (V )60 < V < 2,1/2,aĊ (V ) = 1,2 < V < 3, 2V /3, V ≥ 3....................................... ..-VÐèñ. 16.42) Ñòðîèì ôóíêöèþ S a (p) êàê îáðàòíóþ ê Ċ a (V ):179ÃËÀÂÀ IV.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓ0,[0, 2],2,S a (p) =[2, 3],3,√3p,0 ≤ p < 1/2,p = 1/2,1/2 < p < 1,p = 1,1 < p < 3,p ≥ 3.S a (p)6...................................... ..-pÐèñ. 16.5Óïðàæíåíèå 16.2. Íàéäèòå ôóíêöèþ ïðåäëîæåíèÿ S a (p) ïî çàäàííîéôóíêöèè èçäåðæåê C a (V ) = max[V, V 2 ].Ôóíêöèÿ ñïðîñàÌû îïèñàëè ïîâåäåíèå ïðîèçâîäèòåëåé. Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê äðóãîéñòîðîíå ðûíêà è ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå âòîðîé ãðóïïû àãåíòîâ, äåéñòâóþùèõ íà ðûíêå, − ïîòðåáèòåëåé.Ïóñòü B − ìíîæåñòâî ïîòðåáèòåëåé òîâàðà; b ∈ B − êîíêðåòíûéïîòðåáèòåëü, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé ñïðîñà Db (p), óêàçûâàþùåé, êàêîé îáúåì òîâàðà ãîòîâ êóïèòü ïîòðåáèòåëü b ïî öåíå p.
Îáùåéõàðàêòåðèñòèêîé ïîâåäåíèÿ âñåãî ìíîæåñòâà ïðèñóòñòâóþùèõ íà ðûíêå ïîòðåáèòåëåé ÿâëÿåòñÿ ñóììàðíàÿPôóíêöèÿ ñïðîñà, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: D(p) =Db (p). Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèìb∈Bíåñêîëüêî ïðèìåðîâ ôóíêöèè ñïðîñà îòäåëüíîãî ïîòðåáèòåëÿ.Ïðèìåð 16.2. Ïóñòü K b − äåíåæíûé êàïèòàë ïîòðåáèòåëÿ b. Ïîòðåáèòåëü òðàòèò âåñü êàïèòàë íà ïîêóïêó òîâàðà, òîãäà Db (p) = K b /p.Ïðèìåð 16.3. Êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ïîòðåáèòåëü b õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàçìåðîì èìåþùåãîñÿ ó íåãî äåíåæíîãî êàïèòàëà K b .
Îòëè÷èåñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîòðåáèòåëü ìîæåò ïîòðàòèòü ñâîé êàïèòàë íå òîëüêî íà ýòîì ðûíêå òîâàðà, íî ó íåãî åñòü âîçìîæíîñòü ïîêóïàòü òîò æåòîâàð â äðóãîì ìåñòå ïî ôèêñèðîâàííîé öåíå rb , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ðåçåðâíîé öåíîé äëÿ äàííîãî ïîòðåáèòåëÿ. Ñìûñë ýòîé âåëè÷èíû ñîñòîèòâ òîì, ÷òî ïîòðåáèòåëþ íåâûãîäíî ïîêóïàòü òîâàð íà ðàññìàòðèâàåìîìðûíêå, åñëè öåíà ïðåâûøàåò rb , ò.å. ïðè p > rb ïîêóïêà íå ïðîèçâîäèòñÿ.180 16.
Ìîäåëè íåðåãóëèðóåìûõ ðûíêîâÔóíêöèÿ ñïðîñà äëÿ òàêîé ìîäåëè èìååò âèäbp < rb ,K /p,Db (p) = [0, K b /p], p = rb ,0,p > rb .Äàäèì àëüòåðíàòèâíóþ èíòåðïðåòàöèþ ïîíÿòèÿ ðåçåðâíîé öåíû: ó äàííîãî òîâàðà ñóùåñòâóåò çàìåíèòåëü, öåíà íà êîòîðûé ôèêñèðîâàíà è ðàâíà rb . Ïîýòîìó â ñëó÷àå, êîãäà öåíà ïðîäóêòà ïðåâûøàåò rb , ïîòðåáèòåëüb ïîêóïàåò çàìåíèòåëü.Äî ñèõ ïîð ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî âåñü äåíåæíûé êàïèòàë ïîòðåáèòåëÿ ðàñõîäóåòñÿ íà ïðèîáðåòåíèå òîâàðà. Îäíàêî íà ïðàêòèêå êîëè÷åñòâîäåíåã, êîòîðîå ðàñõîäóåòñÿ íà äàííûé òîâàð, ìîæåò ìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò öåíû.
Îáúåì ïîòðåáëåíèÿ ïðåäìåòîâ ïåðâîé íåîáõîäèìîñòè(îñíîâíûõ ïðîäóêòîâ ïèòàíèÿ, íåîáõîäèìîé îäåæäû è ò.ï.) îáû÷íî ñëàáîçàâèñèò îò öåíû. Íàïðèìåð, äàæå ïðè çíà÷èòåëüíîì ðîñòå öåíû íà õëåá,ëþäè áóäóò ïîòðåáëÿòü òî æå ñàìîå êîëè÷åñòâî õëåáà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñòü òîâàðû òèïà ïðåäìåòîâ ðîñêîøè (äðàãîöåííîñòè, ïðåäìåòûèñêóññòâà è ò.ä.), ñïðîñ íà êîòîðûå ñèëüíî çàâèñèò îò êîëåáàíèé öåíû.Ýòî ïðîèñõîäèò îò÷àñòè ïîòîìó, ÷òî ïðè ðîñòå öåí íà îäíè ïðåäìåòûðîñêîøè ëþäè, êàê ïðàâèëî, ïðåäïî÷èòàþò ïîêóïàòü äðóãèå ïðåäìåòû,êîòîðûå ïîäîðîæàëè â ìåíüøåé ñòåïåíè.
Ñâîéñòâî ôóíêöèè ñïðîñà èçìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò öåíû íàçûâàåòñÿ ýëàñòè÷íîñòüþ ñïðîñà. Ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå áóäåò äàíî ïîçæå. Ñ ñîäåðæàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿýëàñòè÷íîñòü õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü çàâèñèìîñòè îáúåìà ñïðîñà îò öåíûíà òîâàð.Ïðèìåð 16.4. Ðàññìîòðèì ïðèìåð íåýëàñòè÷íîé ôóíêöèè ñïðîñà: bp < rb ,V ,bDb (p) = [0, V ], p = rb ,0,p > rb .Âî âñåõ ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðàõ ôóíêöèÿ ñïðîñà Db (p) − ýòîòî÷å÷íî-ìíîæåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:D1 âûïóêëîçíà÷íîñòü ( çíà÷åíèåì ôóíêöèè ñïðîñà Db (p) äëÿ ëþáîãî p ÿâëÿåòñÿ ëèáî òî÷êà, ëèáî îòðåçîê);181ÃËÀÂÀ IV.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓD2 çàìêíóòîñòü (ãðàôèê îòîáðàæåíèÿ Db (p)Gr(Db (p)) = {(p, V ) | 0 ≤ p < ∞, V ∈ Db (p)} ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì);D3 ìîíîòîííîå íåâîçðàñòàíèå ( ïðè ëþáûõ p < p0 è ëþáûõV ∈ Db (p), V 0 ∈ Db (p0 ) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî V ≥ V 0 );D4 Db (p) → 0 ïðè p → ∞ (ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè öåíûñïðîñ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ).Îáñóäèì ïîäðîáíåå ñâîéñòâî ìîíîòîííîãî íåâîçðàñòàíèÿ (ñâîéñòâîD3). Ýòî ñâîéñòâî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ïðè ðîñòå öåíû íà òîâàð ñïðîñíà íåãî íå óâåëè÷èâàåòñÿ (à èíîãäà è óáûâàåò, åñëè ó÷åñòü äîïîëíèòåëüíî ñâîéñòâî D4). Âîçíèêàåò âîïðîñ: äëÿ âñåõ ëè òîâàðîâ âûïîëíåíî ýòîñâîéñòâî?  ýêîíîìèêå èçâåñòíî íåñêîëüêî ýêçîòè÷åñêèõ ïðèìåðîâ òîâàðîâ, ñïðîñ íà êîòîðûå íå óäîâëåòâîðÿåò, ïî êðàéíåé ìåðå â îïðåäåëåííûåïðîìåæóòêè âðåìåíè, ñâîéñòâó ìîíîòîííîãî íåâîçðàñòàíèÿ.Ïðèìåð 16.5.
Èçâåñòíî, ÷òî â Èðëàíäèè â ãîëîäíûå ãîäû, êîãäà öåíàíà êàðòîøêó ñèëüíî ïîâûøàëàñü, îáúåì åå ïîòðåáëåíèÿ òîæå âîçðàñòàë.Ñ ÷åì ýòî áûëî ñâÿçàíî?  îáû÷íûå ãîäû â ðàöèîí îñíîâíîé ìàññû íàñåëåíèÿ âõîäèëè êàðòîøêà è ìÿñî. Êîãäà öåíà íà êàðòîøêó çíà÷èòåëüíî ïîâûøàëàñü, äåíåã íà ìÿñî óæå íå õâàòàëî, è ëþäè ïåðåõîäèëè íàïèòàíèå îäíîé êàðòîøêîé. Ïîýòîìó êàðòîøêè òðåáîâàëîñü áîëüøå, ÷åìîáû÷íî.Ïðèìåð 16.6. Òðàäèöèîííàÿ ÿïîíñêàÿ âîäêà − ñàêå.
Åñòü íåñêîëüêîñîðòîâ ñàêå, ïðè÷åì êàê õîðîøåãî êà÷åñòâà, òàê è ïëîõîãî. Èçâåñòåí ñëåäóþùèé ôàêò: êîãäà öåíà íà íèçêîêà÷åñòâåííûé ñàêå ðàñòåò, òî îáúåì åãîïîòðåáëåíèÿ â ýòîò ìîìåíò òîæå óâåëè÷èâàåòñÿ. Äåëî â òîì, ÷òî îïðåäåëåííàÿ ãðóïïà ëèö, ñòðàäàþùàÿ àëêîãîëüíîé çàâèñèìîñòüþ, íóæäàåòñÿâ îïðåäåëåííîé äîçå ÷èñòîãî àëêîãîëÿ. Îíè, êîíå÷íî, ïðåäïî÷ëè áû ïèòüõîðîøèé ñàêå, íî êîãäà öåíà íà ñàêå ñèëüíî ðàñòåò, èì äëÿ ïîëó÷åíèÿñâîåé ñóòî÷íîé íîðìû àëêîãîëÿ ïðèõîäèòñÿ îòêàçûâàòüñÿ îò õîðîøåãîñàêå â ïîëüçó ïëîõîãî. Îäíàêî ïðèâåäåííûå ïðèìåðû äîñòàòî÷íî ðåäêèè íåòèïè÷íû, à äëÿ áîëüøèíñòâà òîâàðîâ ñâîéñòâî ìîíîòîííîãî íåâîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè ñïðîñà âûïîëíÿåòñÿ.Ïðèíöèï êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿÈòàê, ìû îïèñàëè ïîâåäåíèå äâóõ ãðóïï àãåíòîâ íà ðûíêå (ïðîèçâîäèòåëåé òîâàðà è ïîòðåáèòåëåé) â çàâèñèìîñòè îò öåíû íà òîâàð.
Äëÿïîëó÷åíèÿ ïîëíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î ìîäåëè êîíêóðåíòíîãî ðûíêà îäíîãîòîâàðà îñòàëîñü âûÿñíèòü, êàê îïðåäåëÿåòñÿ öåíà p íà ðûíêå.182 16. Ìîäåëè íåðåãóëèðóåìûõ ðûíêîâÍà êîíêóðåíòíîì ðûíêå öåíà òîâàðà îïðåäåëÿåòñÿ èç ïðèíöèïà êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ.Ïðèíöèï êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ Âàëüðàñà.  óñëîâèÿõ ñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè íà ðûíêå óñòàíàâëèâàåòñÿ öåíà p̃, êîòîðàÿ áàëàíñèðóåòñïðîñ è ïðåäëîæåíèå íà òîâàð è íàçûâàåòñÿ öåíîé êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ (èëè âàëüðàñîâñêîé öåíîé). Ôîðìàëüíî ýòà öåíà îïðåäåëÿåòñÿ èçóñëîâèÿ D(p̃) ∩ S(p̃) 6= ∅, ãäå S(p) − ôóíêöèÿ ñóììàðíîãî ïðåäëîæåíèÿ,à D(p) − ôóíêöèÿ ñóììàðíîãî ñïðîñà.Òàêèì îáðàçîì, öåíà êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ñóùåñòâóåò îáúåì òîâàðà, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäëîæåí ïîýòîé öåíå è ìîæåò áûòü ïîòðåáëåí ïî ýòîé öåíå.
Åñëè ôóíêöèè ñïðîñà èïðåäëîæåíèÿ − îäíîçíà÷íûå ôóíêöèè, òî ïðèíöèï êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ïðîùå: ïî ðàâíîâåñíîé öåíå ñïðîñ ðàâåíïðåäëîæåíèþ.Ïîëíàÿ ôîðìóëèðîâêà ïðèíöèïà íà÷èíàåòñÿ ñëîâàìè: "â óñëîâèÿõ ñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè...". ×òî ïîíèìàåòñÿ ïîä óñëîâèÿìè ñîâåðøåííîéêîíêóðåíöèè? Ñîäåðæàòåëüíî Âàëüðàñ îõàðàêòåðèçîâàë èõ êàê íàëè÷èåáîëüøîãî ÷èñëà áëèçêèõ ïî ñâîèì õàðàêòåðèñòèêàì ïðîèçâîäèòåëåé è ïîòðåáèòåëåé, êàæäûé èç êîòîðûõ íå ìîæåò âëèÿòü íà ðûíî÷íóþ öåíó (ò.å.âñå îíè ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ îáùèìè îáúåìàìè ðûíêà). Êðîìå òîãî, âñåïðîèçâîäèòåëè è ïîòðåáèòåëè ðàñïîëàãàþò ïîëíîé èíôîðìàöèåé î ðûíêå è ìîãóò ñâîáîäíî âûáèðàòü ñåáå ïàðòíåðîâ äëÿ çàêëþ÷åíèÿ ñäåëêè.ßñíî, ÷òî òàêîå îïèñàíèå íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíûì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
