Введение в теорию игр (сторонняя методичка) (1184510), страница 30
Текст из файла (страница 30)
â ñáîðíèêå [82]. Ñ ìîäåëÿìè ìíîãîøàãîâûõ íåàíòàãîíèñòè÷åñêèõèãð ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â [22, 23, 71, 91]. 15. Îñíîâû êîîïåðàòèâíîé òåîðèè çàëîæåíû Äæ.ôîí Íåéìàíîì èÎ. Ìîðãåíøòåðíîì â [72]. Ïðèìåð êîîïåðàòèâíîé èãðû "äæàç-îðêåñòð"ïðèíàäëåæèò Ã.Ï. ßíãó (ñì. [71]). Ïîíÿòèå ÿäðà îïðåäåëåíî Ä. Äæèëëèñîì â [44]. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ÿäðà ñèñïîëüçîâàíèåì íîâûõ êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ − ïðèâåäåííûõ ñáàëàíñèðîâàííûõ ïîêðûòèé − ïîëó÷åíî Î.Í.
Áîíäàðåâîé â 1962 ãîäó â [13],ãäå, â ÷àñòíîñòè, îïèñàíû ïðèâåäåííûå ñáàëàíñèðîâàííûå ïîêðûòèÿ äëÿèãð òðåõ è ÷åòûðåõ ëèö. Î.Ð. Ìåíüøèêîâà â êàíäèäàòñêîé äèññåðòàöèè(ôàêóëüòåò ÂÌèÊ ÌÃÓ, 1978 ãîä) ïåðå÷èñëèëà âñå ïðèâåäåííûå ñáàëàíñèðîâàííûå ïîêðûòèÿ äëÿ èãð ïÿòè è øåñòè ëèö. Ðåçóëüòàò óïðàæíåíèÿ15.5 âçÿò èç [109]. Òåîðèþ äâîéñòâåííîñòè ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿñì.
â [5]. Ð. Àóìàí [7] îïðåäåëèë ïîíÿòèå ÿäðà äëÿ èãðû â íîðìàëüíîéôîðìå. Ðÿä ðåçóëüòàòîâ â ýòîì íàïðàâëåíèè ïîëó÷åí À.À. Âàñèíûì (ñì.172 15. Êîîïåðàòèâíûå èãðû[22], ãäå èìååòñÿ òàêæå îáçîð ðàáîò ïî òåîðèè ÿäðà). Â.Â. Ìîðîçîâ èÌ.Õ. Àúçàìõóæàåâ ââåëè äèñêðåòíûå êîîïåðàòèâíûå èãðû, â êîòîðûõçíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè è êîìïîíåíòû äåëåæåé − öåëûå÷èñëà.
Äëÿ òàêèõ èãð ïîèñê äåëåæà èç ÿäðà ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å öåëî÷èñëåííîãî ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.  [68] ïðåäëîæåí ýôôåêòèâíûéàëãîðèòì åå ðåøåíèÿ äëÿ èãð øåñòè ëèö.Âåêòîð Øåïëè áûë îïðåäåëåí â [102], ãäå èìååòñÿ àêñèîìàòè÷åñêîååãî îáîñíîâàíèå (ñì. òàêæå [31]). Ñ äðóãèìè êîíöåïöèÿìè îïòèìàëüíîñòè â êîîïåðàòèâíîé òåîðèè (ðåøåíèåì ôîí Íåéìàíà-Ìîðãåíøòåðíà, nÿäðîì Øìàéäëåðà è äð.) ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â [55, 31, 78]. Ôóíäàìåíòàëüíûé îáçîð ðåçóëüòàòîâ ïî òåîðèè èãð ñì. â [93].173ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞÝÊÎÍÎÌÈÊÓ ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðîñòåéøèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëèïðîèçâîäñòâà, ðàñïðåäåëåíèÿ è ïîòðåáëåíèÿ. 16.Ìîäåëè íåðåãóëèðóåìûõ ðûíêîâÂàæíóþ ðîëü â ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè èãðàåò ïîíÿòèå ðûíêà.
Ðûíîê − ýòî ìåõàíèçì îáìåíà òîâàðàìè, âêëþ÷àþùèé äâà òèïà àãåíòîâ:ïðîèçâîäèòåëè (ïðîäàâöû) è ïîòðåáèòåëè (ïîêóïàòåëè). Êàæäûé àãåíòñàìîñòîÿòåëüíî ïðèíèìàåò ðåøåíèå îá ó÷àñòèè â îáìåíå, èñõîäÿ èç ñâîèõèíòåðåñîâ è ïðåäëàãàåìûõ óñëîâèé. Îáû÷íî êàæäûé ïðîäàâåö íàçíà÷àåò óñëîâèÿ îáìåíà â âèäå öåíû íà ñâîé òîâàð, à ïîêóïàòåëè âûáèðàþò,ñêîëüêî è êàêîãî òîâàðà êóïèòü. Íî ñóùåñòâóþò è äðóãèå âàðèàíòû ðûíêîâ. ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ òðè îñíîâíûõ ìîäåëè ðûíêà îäíîãîòîâàðà:1) ðûíîê â óñëîâèÿõ ñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè, èëè êîíêóðåíòíûéðûíîê, íà êîòîðîì ìíîãî ìåëêèõ àãåíòîâ-ïðîèçâîäèòåëåé è ïîòðåáèòåëåé;2) ìîíîïîëèçèðîâàííûé ðûíîê, íà êîòîðîì îäèí ïðîèçâîäèòåëüìîíîïîëèñò âçàèìîäåéñòâóåò ñ áîëüøèì ÷èñëîì ìåëêèõ ïîòðåáèòåëåé;3) îëèãîïîëèÿ, òî åñòü ðûíîê, íà êîòîðîì íåñêîëüêî ôèðì êîíêóðèðóþò, âçàèìîäåéñòâóÿ ñ ìíîæåñòâîì ìåëêèõ ïîòðåáèòåëåé.Ó ÷èòàòåëÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì ñêëàäîì óìà çäåñü âîçíèêàþò âîïðîñû: ÷òî îçíà÷àåò "ìåëêèé"àãåíò, "áîëüøîå ÷èñëî ìåëêèõ ïîòðåáèòåëåé"èò.ï.? Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äîñòàòî÷íî ïîëíûõ è òî÷íûõ îòâåòîâ íà ïîäîáíûå âîïðîñû íå ïîëó÷åíî äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè.
Íåêîòîðûå ïîäõîäûè îöåíêè èçëîæåíû â ïàðàãðàôå, ïîñâÿùåííîì îëèãîïîëèè. Óêàçàííûåõàðàêòåðèñòèêè ñëóæàò íåêîòîðûì îáîñíîâàíèåì ñôîðìóëèðîâàííûõ äàëåå ïðåäïîëîæåíèé î ïîâåäåíèè àãåíòîâ.Êîíêóðåíòíûé ðûíîê îäíîãî òîâàðàÐàññìîòðèì ðûíîê îäíîðîäíîãî (ò.å. íå ðàçëè÷àþùåãîñÿ ïî êà÷åñòâó)òîâàðà, òàêîãî êàê íåôòü èëè ìóêà. Ïðåäïîëîæåíèå, ëåæàùåå â îñíîâåìîäåëè êîíêóðåíòíîãî ðûíêà, ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: íà ðûíêå ñêëàäûâàåòñÿ åäèíàÿ öåíà p íà òîâàð è íè îäèí ïðîèçâîäèòåëü èëè ïîòðåáèòåëü174 16.
Ìîäåëè íåðåãóëèðóåìûõ ðûíêîâíå ìîæåò ïîâëèÿòü íà íåå èíäèâèäóàëüíûìè äåéñòâèÿìè, ò.å. êàæäûéàãåíò ïðèñïîñàáëèâàåòñÿ ê ðûíî÷íîé öåíå p.Íà÷íåì ñ îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ ïðîèçâîäèòåëåé òîâàðà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êàæäûé èç íèõ ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ïðèáûëü îò ïðîèçâîäñòâà òîâàðà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ìíîæåñòâî ïðåäïðèÿòèé, ïîñòàâëÿþùèõòîâàð íà ðûíîê.
 ïðîñòåéøåì ñëó÷àå êîíêðåòíîå ïðåäïðèÿòèå a ∈ A õàðàêòåðèçóåòñÿ ìàêñèìàëüíûì îáúåìîì âûïóñêà, èëè ïðîèçâîäñòâåííîéìîùíîñòüþ, V a è óäåëüíîé ñåáåñòîèìîñòüþ ïðîäóêòà (â ðàñ÷åòå íà åäèíèöó) ca . Ïðè ýòîì ñòðàòåãèåé ïðåäïðèÿòèÿ ÿâëÿåòñÿ îáúåì âûïóñêà V .Ôîðìàëüíî ïîâåäåíèå ïðîäàâöà a õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé ïðåäëîæåíèÿ S a (p), êîòîðàÿ óêàçûâàåò îïòèìàëüíûé îáúåì ïðîèçâîäñòâà â çàâèñèìîñòè îò öåíû. Ðàññìîòðèì, êàê îïðåäåëÿåòñÿ S a (p) â äàííîì ñëó÷àå:åñëè p < ca ,0,S a (p) = Arg max a [V (p − ca )] = [0, V a ], åñëè p = ca ,0≤V ≤V aV ,åñëè p > ca ,ãäå V (p − ca ) − ôóíêöèÿ ïðèáûëè.Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ïðåäëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî÷å÷íî-ìíîæåñòâåííûìîòîáðàæåíèåì, ò.å. îäíîìó çíà÷åíèþ àðãóìåíòà ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòüöåëîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè.
Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðûíêà ñîñòîðîíûPïðîèçâîäèòåëåé − ýòî ñóììàðíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäëîæåíèÿS(p) =S a (p). Ýòà ôóíêöèÿ óêàçûâàåò îáùåå êîëè÷åñòâî òîâàðà, ïîa∈Añòàâëÿåìîå íà ðûíîê â çàâèñèìîñòè îò öåíû. Óïîðÿäî÷èì ïðåäïðèÿòèÿïî âîçðàñòàíèþ óäåëüíûõ ñåáåñòîèìîñòåé, ò.å. ïóñòü c1 ≤ c2 ≤ ... Òîãäàãðàôèê ôóíêöèè ïðåäëîæåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ òðåõ ïðîèçâîäèòåëåé âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:S(P )6V1+V2+V3V1+V2V1c1c2c3-pÐèñ. 16.1 êà÷åñòâå ïðèìåðà áîëåå îáùåé ìîäåëè ïðîèçâîäñòâà ðàññìîòðèì175ÃËÀÂÀ IV.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓïðåäïðèÿòèå, íà êîòîðîì èìåþòñÿ òðè âèäà ïðîèçâîäñòâåííûõ ìîùíîñòåé (ñòàíêîâ) äëÿ âûïóñêà òîâàðà. Êàæäûé âèä õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíàìè óäåëüíîé ñåáåñòîèìîñòè ci è ìàêñèìàëüíîãî îáúåìà âûïóñêà V i ,ãäå i = 1, 2, 3 è c1 < c2 < c3 . Ïðè âûïîëíåíèè çàêàçà íà âûïóñê V åäèíèöòîâàðà ïðåäïðèÿòèå ñòðåìèòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü èçäåðæêè ïðîèçâîäñòâà.Âûÿñíèì, êàê çàâèñèò ïîëíàÿ ñåáåñòîèìîñòü C(V ) îò îáúåìà âûïóñêà ïðèîïòèìàëüíîé çàãðóçêå ìîùíîñòåé. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðåäïðèÿòèå â ïåðâóþî÷åðåäü èñïîëüçóåò ìîùíîñòè ñ ìèíèìàëüíîé óäåëüíîé ñåáåñòîèìîñòüþâûïóñêà. Åñëè èõ íå õâàòèò, òî áóäóò çàäåéñòâîâàíû ìîùíîñòè âòîðîãî,à çàòåì òðåòüåãî òèïà. Òàêèì îáðàçîì, ãðàôèê C(V ) èìååò ñëåäóþùèéâèä:C(V ) 6 tgαi = ci , i = 1, 2, 3α3 α21 αV1-V1+V2V1+V2+V3 VÐèñ. 16.2 îáùåì ñëó÷àå ïðåäïðèÿòèå a õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé C a (V ) ñåáåñòîèìîñòè âûïóñêà â îáúåìå V íà äàííîì ïðåäïðèÿòèè.
Äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ çàäàåò îáùèå èçäåðæêè. Ïðåæäå, ÷åì ñôîðìóëèðîâàòü ñâîéñòâà ôóíêöèè èçäåðæåê, íàïîìíèì îïðåäåëåíèå âûïóêëîé(âîãíóòîé) ôóíêöèè (ñì. 2.).Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ C(V ) íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé (âîãíóòîé), åñëèäëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê V1 è V2 è ëþáîãî ÷èñëà 0 < t < 1 ñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâî C(tV1 + (1 − t)V2 )) ≤ (≥)tC(V1 ) + (1 − t)C(V2 ).Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà âûïóêëûõ ôóíêöèé, èçâåñòíûå èç êóðñàìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.Âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ C(V ), îïðåäåëåííàÿ íà ïîëóîñè V ≥ 0, íåïðåðûâíà â ëþáîé òî÷êå V > 0.Âûïóêëàÿ è íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ C(V ) íåïðåðûâíà è â òî÷êåV = 0.Äëÿ âûïóêëîé ôóíêöèè C(V ) â ëþáîé òî÷êå V ñóùåñòâóþò ëåâîñòîðîííÿÿ Ċ− (V ) è ïðàâîñòîðîííÿÿ Ċ+ (V ) ïðîèçâîäíûå.
Ïðè÷åì, åñëè176 16. Ìîäåëè íåðåãóëèðóåìûõ ðûíêîâV < V 0 , òî Ċ+ (V ) ≤ Ċ− (V 0 ).Äëÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè C(V ) íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûìóñëîâèåì âûïóêëîñòè ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàíèå ïî V ïðîèçâîäíîé Ċ(V ).Äëÿ äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè àíàëîãè÷íûì óñëîâèåì ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîñòü âòîðîé ïðîèçâîäíîé C̈(V ).Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ èçäåðæåê C(V ) îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:C1 ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïî V ;C2 C(0) = 0;C3 ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ôóíêöèåé;C4 Ċ− (V ) → ∞ ïðè V → ∞.Îáñóäèì ñâîéñòâà C1-C4 ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ.Ïåðâîå ñâîéñòâî î÷åâèäíî: ÷åì áîëüøå îáúåì âûïóñêà, òåì áîëüøåîáùèå èçäåðæêè.Âòîðîå óñëîâèå êàæåòñÿ îãðàíè÷èòåëüíûì, òàê êàê ó ïðåäïðèÿòèÿ ìîãóò áûòü ïîñòîÿííûå èçäåðæêè.
Îäíàêî ýòè èçäåðæêè íå èãðàþò ðîëèïðè ðàñ÷åòå ôóíêöèè ïðåäëîæåíèÿ (ñì. íèæå), à èíâåñòèöèîííûå ïðîöåññû ìû íå ðàññìàòðèâàåì.Òðåòüå è ÷åòâåðòîå ñâîéñòâà îçíà÷àþò, ÷òî óäåëüíûå èçäåðæêè Ċ+ (V )ðàñòóò è ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ñ óâåëè÷åíèåì îáúåìà âûïóñêà.  òîæå âðåìÿ èç ïðîèçâîäñòâåííîé ïðàêòèêè èçâåñòíî, ÷òî ïðè ïåðåõîäå îòîïûòíîãî ïðîèçâîäñòâà ê ìàññîâîìó âûïóñêó âîçíèêàåò ýôôåêò ìàñøòàáà, ò.å. óäåëüíûå èçäåðæêè óáûâàþò ñ ðîñòîì îáúåìà âûïóñêà. Îäíàêî,äàííûé ýôôåêò âîçíèêàåò òîãäà, êîãäà ïðåäïðèÿòèå ìåíÿåò ñòðóêòóðóîñíîâíûõ ôîíäîâ.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ çäåñü ìîäåëü îòðàæàåò ðàáîòó ïðåäïðèÿòèÿ â ñòàöèîíàðíûõ óñëîâèÿõ.Äàäèì ôîðìàëüíîå îáîñíîâàíèå ñâîéñòâà C3. Îòìåòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå âåëè÷èíû (ìàêñèìàëüíûé îáúåì âûïóñêà, ðåàëüíûé îáúåì, èçäåðæêè) îòíîñÿòñÿ ê íåêîòîðîìó ôèêñèðîâàííîìó ïåðèîäó âðåìåíè. Ðàññìîòðèì äâå òåõíîëîãèè, õàðàêòåðèçóþùèåñÿ îáúåìàìè âûïóñêà V1 è V2 .Áóäåì ÷åðåäîâàòü ýòè òåõíîëîãèè (ïóñòü äîëÿ âðåìåíè t èñïîëüçóåòñÿîäíà òåõíîëîãèÿ, à äîëÿ âðåìåíè (1 − t) − äðóãàÿ). Òàêèì îáðàçîì, ìûâûïóñòèì îáúåì tV1 + (1 − t)V2 ñ èçäåðæêàìè tC(V1 ) + (1 − t)C(V2 ).Ñëåäîâàòåëüíî, C(tV1 + (1 − t)V2 )) ≤ tC(V1 ) + (1 − t)C(V2 ).Óïðàæíåíèå 16.1. Êàêèå ðåàëüíûå ôàêòîðû íå ó÷òåíû â ýòîì ðàññóæäåíèè?177ÃËÀÂÀ IV.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
