Введение в теорию игр (сторонняя методичка) (1184510), страница 36
Текст из файла (страница 36)
ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓÒîãäà ôóíêöèÿ ñïðîñà èìååò âèäR∞ρ(r)dr,p < M,p∞D(p) = [0, R ρ(r)dr], p = M, M0,p > M.Îòìåòèì, ÷òî D(p) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê îáùåå ÷èñëî ïîòðåáèòåëåé, æåëàþùèõ ïðèîáðåñòè òîâàð ïî öåíå p. ßñíî, ÷òî ôóíêöèÿ D(p)− óáûâàþùàÿ Pè äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà èíòåðâàëå (0, M ).
Äàëåå áóäåìñ÷èòàòü, ÷òîV a > D+ (M ).a:ca <M ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ðàâíîâåñíàÿ öåíà p̃ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ D(p̃) ∈ [S − (p̃), S + (p̃)], ïðè÷åì D(p̃) > 0.Íàáîð öåí s = (sa , a ∈ A), óñòàíîâëåííûõ ïðîèçâîäèòåëÿìè, îïðåäåëÿåò âåêòîð ôàêòè÷åñêîãî ïðåäëîæåíèÿ òîâàðà:PV a − êîëè÷åñòâî òîâàðà,Ṽ (s) = (Ṽp (s), p ∈ P (s)), ãäå Ṽp (s) =a:sa =pïðåäëîæåííîå ïî öåíå p, à P (s) − ìíîæåñòâî íàçíà÷åííûõ öåí. îáùåì ñëó÷àå ïðîöåññ ïðîäàæè õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé îñòàòî÷íîãî ñïðîñà. Ôóíêöèÿ îñòàòî÷íîãî ñïðîñà D(p, Ṽ ) ïîêàçûâàåò, êàêîâîñòàòî÷íûé ñïðîñ ïî öåíå p ïîñëå ïðîäàæè âñåõ îáúåìîâ Ṽp0 ïî öåíàìp0 < p, p0 ∈ P (s).
Ðàññìîòðèì òðè êîíêðåòíûõ âèäà ôóíêöèé îñòàòî÷íîãî ñïðîñà, ñâÿçàííûõ ñ ïðàâèëàìè ðàöèîíèðîâàíèÿ, ò.å. ñ ïîðÿäêîìïîòðåáèòåëåé â î÷åðåäè:1. Ïðèîðèòåò ïîòðåáèòåëåé ñ áîëüøåé ðåçåðâíîé öåíîé:#"X1D (p, Ṽ ) = max 0, D(p) −Ṽp0 .(19.10)p0 <p2. Ïîòðåáèòåëè ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû â î÷åðåäè è îñòàòî÷íûéñïðîñ ôîðìèðóåòñÿ ïî ïðîïîðöèîíàëüíîìó ïðàâèëó:#"XṼp0 /D(p0 ) .(19.11)D2 (p, Ṽ ) = D(p) max 0, 1 −p0 <p3. Ïðèîðèòåò ïîòðåáèòåëåé ñ íèçêîé ðåçåðâíîé öåíîé:##""XṼp0 .D3 (p, Ṽ ) = max 0, min D(p) −p≤p206p≤p0 <p(19.12) 19.
Ìîäåëè îëèãîïîëèèÓïðàæíåíèå 19.3. Äîêàæèòå ôîðìóëû (19.10-12).Ïðè ëþáîì ïîðÿäêå ïîòðåáèòåëåé â î÷åðåäè ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå D1 (p, Ṽ ) ≤ D(p, Ṽ ) ≤ D3 (p, Ṽ ), îçíà÷àþùåå, ÷òî îñòàòî÷íûé ñïðîñóáûâàåò áûñòðåå âñåãî â ñëó÷àå 1 è ìåäëåííåå âñåãî − â ñëó÷àå 3.Äàëåå ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ïîðÿäîê ïîòðåáèòåëåé â î÷åðåäè,ñ÷èòàÿ, ÷òî îñòàòî÷íûé ñïðîñ õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé D(p, Ṽ ), óäîâëåòâîðÿþùåé ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàì:XXṼp0 ≤ D(p, Ṽ ) ≤ max[0, D(p, Ṽ ) −D(p) −Ṽp0 ] ∀ p < p. (19.13)p0 <pp≤p0 <pÏîìèìî ýòîãî, ïîòðåáóåì, ÷òîáû ôóíêöèÿ D(p, Ṽ (s)) áûëà íåïðåðûâíà ïî ëþáîé ïåðåìåííîé sa â èíòåðâàëå 0 < sa < p ïðè ôèêñèðîâàííûõîñòàëüíûõ ïåðåìåííûõ.Ïî ôóíêöèè îñòàòî÷íîãî ñïðîñà D(p, Ṽ ) äëÿ ëþáûõ ñòðàòåãèé sa ïðîèçâîäèòåëåé îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ ïðîäàæíàÿ öåíàp(s) = max{p ∈ P (s) | D(p, Ṽ (s)) > 0}, ïðè êîòîðîé îñòàòî÷íûé ñïðîñåùå ïîëîæèòåëåí.Îïðåäåëèì ïðàâèëî ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû D(p, Ṽ (s)) äëÿ ïðîèçâîäèòåëåé a, âûáðàâøèõ sa = p(s).
Ðàçîáüåì èõ íà äâå ãðóïïû:A1 = {a ∈ A | ca < sa = p(s)}, A2 = {a ∈ A | ca = sa = p(s)}.P aÅñëè D(p(s), Ṽ (s)) <V , òî âåñü îñòàòî÷íûé ñïðîñ ðàñïðåäåëÿåòa∈A1ñÿ ìåæäó ïðîèçâîäèòåëÿìè a ∈ A1 ïðîïîðöèîíàëüíî èõ ìàêñèìàëüíûìîáúåìàì ïðåäëîæåíèÿ V a . Ïðè ýòîì ïðîèçâîäèòåëüa âûïóñêàåò ñâîé òîP aâàð â êîëè÷åñòâå v̂ s = V a D(p(s), Ṽ (s))/V .  ñëó÷àå D(p(s), Ṽ (s)) ≥a∈A1P aV ïðîèçâîäèòåëè a ∈ A1 âûïóñêàþò ñâîé òîâàð â êîëè÷åñòâå V a .a∈A1hP aidefÂåëè÷èíà îñòàòêà ñïðîñà D̃(p(s), Ṽ (s)) = max 0, D(p(s), Ṽ (s)) −Va∈A1ðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæäó ïðîèçâîäèòåëÿìè a ∈ A2 ïî àíàëîãè÷íîìó ïðàâèëó.Èòàê, ïðè ðàñïðåäåëåíèè îñòàòî÷íîãî ñïðîñà ïðèîðèòåòîì ïîëüçóþòñÿ ôèðìû, äëÿ êîòîðûõ ñåáåñòîèìîñòè íèæå ïðîäàæíîé öåíû.
Ïîñëåäíååóñëîâèå ââîäèòñÿ äëÿ òåõíè÷åñêîãî óäîáñòâà, ïîñêîëüêó îïðåäåëÿåìûåíèæå ôóíêöèè âûèãðûøà ðàçðûâíû, è äàííàÿ ìîäåëü îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå ïîêóïàòåëåé ïðè ðàçíîñòè öåí, áëèçêîé ê íóëþ.  êà÷åñòâå207ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓâûèãðûøà ïðîèçâîäèòåëÿ a ðàññìîòðèì åãî ïðèáûëü(sa − ca )V a ,P baaaV ],(s − c )V min[1, D(p(s), Ṽ (s))/b∈A1au (s) =P baaaV ],(s−c)Vmin[1,D̃(p(s),Ṽ(s))/b∈A20,sa < p(s),a ∈ A1 ,a ∈ A2 ,sa > p(s).Òàêèì îáðàçîì, îïèñàíà ìîäåëü öåíîâîéêîíêóðåíöèè ïðîèçâîäèòåëåéDEaêàê èãðà â íîðìàëüíîé ôîðìå Γ = A, {s | sa ≥ ca }, ua (s), a ∈ A , ãäåèãðîêè a ∈ A − ôèðìû, ìíîæåñòâà ñòðàòåãèé {sa | sa ≥ ca } − ìíîæåñòâàöåí, êîòîðûå îíè ìîãóò íàçíà÷èòü, ôóíêöèè âûèãðûøà ua (s) îïðåäåëÿþòïðèáûëè ôèðì.Èçâåñòíûå ìîäåëè ïîâåäåíèÿ â èãðå Γ − ýòî ðàâíîâåñèå ïî Íýøó,ðåøåíèå ïî äîìèíèðîâàíèþ, ìîäåëè èãðîâîé äèíàìèêè (äèíàìèêà íàèëó÷øèõ îòâåòîâ, àäàïòèâíûå äèíàìèêè).Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ äëÿ ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøóîïèñàííîé èãðû.Óòâåðæäåíèå 19.3.
Ïóñòü s − ðàâíîâåñèå ïî Íýøó, p̃ − öåíà êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ. Òîãäà ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ äâóõ óñëîâèé:1) p(s) = p̃ è äëÿ êàæäîãî ïðîèçâîäèòåëÿ a, èìåþùåãî ca < p̃, âûïîëíåíî sa = p̃.2) p(s) > p̃ è íàéäåòñÿ åäèíñòâåííûé ïðîèçâîäèòåëü a, äëÿ êîòîðîãîac < p(s) = sa , ïðè ýòîì ca ≤ p̃ (ñì. ðèñ. 19.3).V 6V 6S(p)D(p)D(p)-p̃p(s)S(p)-pp̃ = p(s)pÐèñ. 19.3Ðèñ. 19.4PÄîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òîV a ≤ S − (p̃) ≤ D(p̃).
Îòñþäà èa:ca <p̃èç ïåðâîãî íåðàâåíñòâà (19.13) âûòåêàåò, ÷òî êàæäûé ïðîèçâîäèòåëü a,208 19. Ìîäåëè îëèãîïîëèèäëÿ êîòîðîãî ca < p̃, ñìîæåò ïðîäàòü âåñü ñâîé òîâàð ïî öåíå p̃. Ïîýòîìóäëÿ ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ s min sa ≥ p̃ ⇒ p(s) ≥ p̃.a∈AÏóñòü p(s) = p̃. Åñëè ca < p̃ < sa , òî ïðîèçâîäèòåëü a íè÷åãî íåïðîäàñò. Åìó âûãîäíî îòêëîíèòüñÿ è âûáðàòü öåíó sa = p̃, ïîëó÷èâ ïîëîæèòåëüíóþ ïðèáûëü (ïðîòèâîðå÷èå). Èòàê, ca < p̃ ⇒ sa = p̃.Ïóñòü p(s) > p̃. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ïðîèçâîäèòåëÿ aâûïîëíåíî ca ≤ sa < p(s). Ïî îïðåäåëåíèþ p(s) îí ïðîäàñò âåñü ñâîé òîâàð â îáúåìå V a . Åñëè îí óâåëè÷èò öåíó äî sa = sa +ε, òî ïðè ìàëîì ε > 0â ñèëó ñâîéñòâà íåïðåðûâíîñòè îñòàòî÷íûé ñïðîñ D(p(s||sa ), Ṽ (s||sa ))îñòàíåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäèòåëü a ïðîäàñò òîâàð â îáúåìå V a è óâåëè÷èòïðèáûëü (ïðîòèâîðå÷èå). Èòàê, ca < p(s) ⇒Paas = p(s). Äàëåå,V ≥ D(p̃) > D(p(s)). Ïîýòîìó, åñëè ïðîèçâîäèa:ca <p(s)aòåëåé a, äëÿ êîòîðûõ c < p(s), ïî ìåíüøåé ìåðå äâîå, òî îíè íå ñìîãóòðåàëèçîâàòü ïîëíîñòüþ ñâîè îáúåìû ïî öåíå p(s). Îäíîìó èç íèõ âûãîäíî îòêëîíèòüñÿ è íàçíà÷èòü öåíó p(s)−ε.  ðåçóëüòàòå îí óâåëè÷èò ñâîþïðèáûëü, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ.Ñëåäñòâèå.
Åñëè íàéäóòñÿ äâà ïðîèçâîäèòåëÿ a, äëÿ êîòîðûõ ca < p̃,è ñóùåñòâóåò ðàâíîâåñèå ïî Íýøó s, òî p(s) = p̃ (ñì. ðèñ. 19.4).Óïðàæíåíèå 19.4.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåãî ñëåäñòâèÿ äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëîæèì, ÷òî S + (p̃) > D(p̃) (ñì. ðèñ. 19.5). Äîêàæèòå, ÷òî äëÿïðîèçâîäèòåëÿ a, èìåþùåãî óäåëüíóþ ñåáåñòîèìîñòü ca = p̃, âûïîëíåíîíåðàâåíñòâî V a ≤ S + (p̃) − D(p̃).V 6D(p)V 6D(p)S(p) ≡S(p)Pvaa∈A-p̃M-pp̃(v)Ðèñ.19.5MpÐèñ.19.6Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó.209ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓÓòâåðæäåíèå 19.4.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òîXV a − maxV a ≥ D(p̃).aa:c ≤p̃a:ca ≤p̃(19.14)Òîãäà ëþáàÿ ñèòóàöèÿ s, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ: sa = p̃, åñëèca ≤ p̃, ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ p(s) = p̃. Ïðîèçâîäèòåëè a, äëÿ êîòîðûõ sa ≥ ca > p̃, íè÷åãî íå ïðîäàäóò. Îòêëîíÿòüñÿ èì îò ñâîèõ ñòðàòåãèésa íå èìååò ñìûñëà, ïîñêîëüêó èõ ïðèáûëü îñòàíåòñÿ íóëåâîé. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîèçâîäèòåëåé a, äëÿ êîòîðûõ ca ≤ p̃.
Åñëè îäèí èç íèõóâåëè÷èò öåíó äî sa = p̃ + ε, òî íè÷åãî íå ïðîäàñò, òàê êàê ïî óñëîâèþ(19.14) äðóãèå ïðåäñòàâèòåëè ýòîé ãðóïïû ïîëíîñòüþ ïîêðîþò ñïðîñ ïîöåíå p̃ è îñòàòî÷íûé ñïðîñ ïî öåíå p̃ + ε áóäåò íóëåâûì. Ïîýòîìó óâåëè÷èâàòü öåíó ïðîèçâîäèòåëþ a íåâûãîäíî. Óìåíüøàòü åå (åñëè ca < p̃)òàêæå íå èìååò ñìûñëà. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêóXV a ≤ S − (p̃) ≤ D(p̃),a:ca <p̃ïðîèçâîäèòåëü a ñìîæåò ïðîäàòü âåñü ñâîé îáúåì ïî öåíå p̃. Èòàê, s −ðàâíîâåñèå ïî Íýøó.Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: c = maxca .aa:c <p̃Óòâåðæäåíèå 19.5. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî S + (p̃) = S − (p̃) = D(p̃) è ñóùåñòâóþò õîòÿ áû äâà ïðîèçâîäèòåëÿ a1 è a2 , äëÿ êîòîðûõ max[ca1 , ca2 ] < p̃(ñì.
ðèñ. 19.4).1) Ïóñòü D(p)(p − c) ≤ D(p̃)(p̃ − c) ïðè p ∈ [p̃, M ] èD(p, Ṽ ) ≤ D(p)(1 −XṼp0 /D(p0 )).(19.15)p0 <pÒîãäà ëþáàÿ ñèòóàöèÿ s, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ: sa = p̃, åñëèca ≤ p̃, ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó.2) Ïóñòü â íåêîòîðîé ïðàâîé ïîëóîêðåñòíîñòè òî÷êè p̃ âûïîëíåíûíåðàâåíñòâà D(p)(p − c) ≥ D(p̃)(p̃ − c) èD(p, Ṽ ) ≥ D(p)(1 −Xp0 <p210Ṽp0 /D(p0 )),(19.16) 19.
Ìîäåëè îëèãîïîëèèïðè ýòîì õîòÿ áû îäíî èç íèõ ñòðîãîå. Òîãäà â ìîäåëè öåíîâîé êîíêóðåíöèè íå ñóùåñòâóåò ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ðàâåíñòâà S + (p̃) = S − (p̃) âûòåêàåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäèòåëåéa, äëÿ êîòîðûõ ca = p̃. Äàëåå, ðàâåíñòâàPS(p̃) =V a = D(p̃) îçíà÷àþò, ÷òî ñïðîñ ïî öåíå p̃ áóäåò óäîâëåòâîðåía:ca <p̃ïîëíîñòüþ. Ïîýòîìó ïðîèçâîäèòåëü a, äëÿ êîòîðîãî sa ≥ ca > p̃, íè÷åãîíå ïðîäàñò. Ñëåäîâàòåëüíî, p(s) = p̃.1) Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî D(p)(p − ca ) ≤ D(p̃)(p̃ − ca ) ïðè p ∈ [p̃, M ]äëÿ âñåõ ïðîèçâîäèòåëåé a, èìåþùèõ óäåëüíóþ ñåáåñòîèìîñòü ca < p̃.Äåéñòâèòåëüíî, ïðè p > p̃ èç íåðàâåíñòâà D(p)(p − c) ≤ D(p̃)(p̃ − c)ïîëó÷àåìD(p)p − D(p̃)p̃ ≤ c(D(p) − D(p̃)) ≤ ca (D(p) − D(p̃)).Îòñþäà D(p)(p − ca ) ≤ D(p̃)(p̃ − ca ).Ðàññìîòðèì ïðîèçâîäèòåëÿ a, òàêîãî, ÷òî ca < p̃. Åìó íåâûãîäíî ñíèæàòü öåíó sa = p̃, ïîñêîëüêó îí ïðîäàñò âåñü ñâîé îáúåì V a è ïî öåíå p̃.Åìó íåâûãîäíî âûáèðàòü è áîëåå âûñîêóþ öåíó sa > p̃, òàê êàêua (s||sa ) = (sa − ca )D(sa , Ṽ (s||sa )) ≤ (sa − ca )D(sa )(1 − Ṽp̃ (s||sa )/D(p̃)) =XX b= (s − c )D(s ) 1 −V /Vb =aaab∈A\{a}= (sa − ca )D(sa )V a /Xb∈AV b ≤ (p̃ − ca )D(p̃)V a /b∈AXV b = ua (s).b∈A2) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ðàâíîâåñèå ïî Íýøó s.
Ðàññìîòðèìïðîèçâîäèòåëÿ, èìåþùåãî óäåëüíóþ ñåáåñòîèìîñòü ca = c < p̃. Ïðè íàçíà÷åíèè íîâîé öåíû sa = p̃ + ε åãî ïðèáûëü áóäåò ðàâíàua (s||sa ) = (sa − c)D(sa , Ṽ (s||sa )) ≥ (sa − c)D(sa )(1 − Ṽp̃ (s||sa )/D(p̃)) == (sa − c)D(sa )V a /XV b ≥ (p̃ − c)D(p̃)V a /b∈AXV b = ua (s),b∈Aïðè ýòîì îäíî èç ïîñëåäíèõ äâóõ íåðàâåíñòâ âûïîëíåíî êàê ñòðîãîå.Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åíî ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî ñèòóàöèÿ s ÿâëÿåòñÿðàâíîâåñèåì ïî Íýøó.211ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓÖåíó p∗ è íàáîð îáúåìîâ v a , a ∈ A, îòâå÷àþùèõ ðàâíîâåñèþ ïî Íýøóâ ìîäåëè Êóðíî, íàçîâåì èñõîäîì ïî Êóðíî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
