Философская Энциклопедия том 5 (1184486), страница 187
Текст из файла (страница 187)
2> В совр. формальной (математическая) логикг Т. э. нал. обычно формулу логики гисгагигаииб А МА, ныражая>щу>о свойство рефлоксивиости им>тилаэии, и лэяя>й вариант подстановки в эту формулу. О Т. э. гм. так>не ст. А =-А, Раггиг ага в лагина и математикс, Экги«ил<яви<а< а>ь и лиг, прн этих статьях. М.
Пгггг»л<г. 5>эск>г. 'ТОЖДЕСТВА НРОЬЛЕМЫ, и р о б л е м ы э квпяалентногтп,проблемы идентичности, проблемы равенства слов (ашл. <«огс! рго!Явим) — эадачи нахождении общего метода (алгари>яма), позволяющего для пронэяольной иа!иг элсмт<тан к.-л.
множества, в к-ром определено отношение типа равенства (тождества, эквивалентности), установить, равны лп этн элементы в смысле данного отношения. Каждан Т. и. явлнется, т. о., рагрг>агнил лраблг*юи длн >гпожсства всех пар рави>лх (эквивалентных) друг другу «слов» в нек-ром «алфавите». Напр., не содержащие к«алтари« и лергмгннмл формулы т. и. ограниченной арифметики (т.
е. формальной арифметич, системы, в число аксиом к-рой но входит принцип л<лтгиатичггаад иидулчии или к.-л, ранносильный ему а<ел<у.иил) г>ажно понимать как слова, «буквами» к-рых нвлнются цифровые энакв и символы арифметич. ел<ракии; алгоритм, дасощий положительное решение Т.
п. для выражений вида А В, обраэованиых иэ таких формул с помощью стоящего между ними виана равенства, состоит в последовательном выполнении алгоритмов арифметич. действий в каждом иэ вырви<енпй А и В и последующей проверке, явлин>тся ли получившиеся в результате слона А и В, уже не содержащие б>укв «+», « — », «> и «; », графически равными (т. е., попросту, сонпвда>от ли они ио нашшашпо).
Решение Т. и. даже для большинства сравнитольпо «прость>х» (по способу их эадапия) классов слон представляет, как правило, энл*шт. трудности. Для нек-рых частных классов алгебрвич, систем (групп, иолугрупп) удалось найти алгоритмы, решая>щие (длн них) Т, и. (М. Ден, В. Магнус, 1041, В. А. Тартаконгкш1, 1П40, и др ) Как и для ли>- бой маг<гига араблгии, для Т. и.
положительное решение нвляетсн в иек-рол> смысле идеалом, к-рый, однако, достижим лишь в сравнительно редких случаях. Тлк, е !047 А. А. Марков и амер. л!атоматик 3. Иост неэависимо друг от друга доказали алгоритмич. неразрешимость об>цеи Т. и, для полугрупп (ассоциативных исчислений), поставленной е>це в 1й(4. В 1йби Тюарииг установил нераэрешимоать Т. п. длн т. и.
полу>руин с сокршцениями. Наконец, э 1В52 Н, С. ура«игал докаэал алгоритмич, иераэрешимость Т. и. для групп, не поддававшуюся усилиям иатаматиков с 1<Н2 [этот реэультвт был затем передокаэан амер. математиками У. Бунам (1959), Г. Хигманом (1961) и Дж, Вриттоиом ((йб>!)). ([альнейшие реэультаты в этой области относится к установлению иерархий, яэаимпой галди.аэ ти и степеней пераэрешимости Т. п. длн рээличиых классон алгебраич. систем, а также к блиэким к Т. и. массовым проблемам логики, алгебры, тоории алгоритмоэ п др.
областей л<атематики. Продоля<эются и поиски частных классов аистем с разрешимой Т. и. Нсрлэрешимость важнейших случаен Т. и. свидетельстнует а существенной нетривиальности не только различных Т, н., но и вообще самого понятия «раненства» («тождества>, «эквивалентности», «конгруентности> и т. и.), в т. ч. и в случанх «равенства но определению» (см. Олргдю лениг), и об относит. характере этого важнейшем> понятия логики и математики, зависящего, вооб>ще говоря, от принимаемых в каясдом конкретном случае исходных допущений (см.
такжо Абгтрагчия атом-- <угс>я«левил, 17р<гн>!<го абюиралкии, Татдгг>вга). Лию.< И а э и к о э и. и., <Ш алгерятиичгскан нера»решимости проблемы то>лес»>< слов н «серии груни, <Тр. Матея. ви та ли СССР», 195М г. (<, Л л я и С. К., Иергэрещимость и<истерик г.'иэритмичсскя: проблем те<вин групп, <Тр. Моск. мятом. о ицесгээ>, 1957, т 6; Ф р и л и г н Л.
Л., С>гиена иер<.>решимости араба<ми тэжлсст>а ллн конечноаирсаелсаяых грува, М., 1667> К а Э > и М. О., Несигю<е ив>э>гати!у < ! >сгоир и<саге< с ргошмиг, <липа>г ма1ьс>эапсг», >зээ, » 67, Н> 1: Б э > в с 'М., Тяс фа<в ргаые<э, там же, Ю Г< тгг, Ыэекээ. ТОЖДЕСТВЕННАЯ !!ОТ!!ННОСТ1 — пои тие совр. формальной (математической) логики (а именно, то! о се направлении, к-рос иал. к л а с с и ч е с к о й л о г и к о й), явлнюпсееся э известном смь>ело экспли катом (уточнением) таких традпц.
филос. поннтий, как поннтпе «необходимой (вечной] истины» у 1'оббса, «истины но яаох воэ>южных мирах» у У!ойбница, «эна- ТОИ()!ЕСТВО литического суждения а рпоп» у Канта. Понятие 'Г. н. относят к логич. выражениям, содержащим лергженнмг,— к формулам (но ие обязательно к формулам аксиоматическн построенных — и интериретированных — исчислений; речь должна идти скорее о формулах логики иа уровне «одера«ат. оиисаиии ио типу ал,>ори .«шили]. Тождественно истинные формулы, их иазыеах>т еще общезначимыми, или универсально об>щевначимыми, или универсальноо нерными,— это такие формулы, к-рые ири иодстаиовке иа места иоременных и.-л.
(ироизвольных] настоянных (значений) нз л>обого наил рея заданного (ие пустого) уми«гргув>а рассуждения (оо.>о>ти ирвдыпвов) всегда иреобразуются в истинныо вь>сказываиия, так что иеремоииыо в тождественно истинных йюрмулах вс>гда мыслятся в интерпретации всеобщности (как бы связанные лва>олг>разил всеобщности). Очевидно, почему Т. и.
в логико выражает традиц. филос. представление об ае!огиае легйа!ез; говоря о «всех возков«иых мирах», философы имс>от в виду лн>бой логически возможный (мыслимый нсиротиеоречивыл> образом) иоридок вещеи; значит, истинное «ао всех поэме>иных мирахэ нс должно зависеть от тех «фактическихэ истин, к к-рым мы иривыкли. Если бы вдруг эти фактич. истины коростели быть исти- наин. т. с ес>и> бы порядок вещей измюшлся так, что некоторые (или дюко вге] из наших, основанных иа фактах, утяерждеиий о мире (включая и то, к-рые мы сеичас называем законами ври роды) иерестали бы быть таковыии, то тождественно истинные формулы логики о> >т>лись бь> инвариантны к такому «>шровому беспорядку», оии сохранили бы сво>о роль законов (истинных колошений) и в измененном иорвдке вещей, Ири этол>, ираида, следует ил>еть в виду, что сал>а логика ио дол'ьна иоднергаться изменешиы| (но должна вк>мочиться в содержанио понятия «изменение порядка вещей>), во всяком случае, смысл логич.
констант не долл«си меняться. Эта оговорка н означаот, ио суи(еству, что классич. логика принадлежит >ю тольно к данному эшровому порядку, ио что ее законы (тождоственно истииныо формулы) >и>ля>отса логнч. формой любого мирово>о иорядка, осли раз и навсегда иринята классичогкаи ииториретация логических конст акт. Ие все логики и математики иридерз«иеаютгя такой классич. т. ар.
иа логику. Напр., и внтуиционистском истолковании логика но имеет независимой от оиыта оитоэогич. значимости, — ее роль искл>очительно и и и с т е м о л о г и ч о с к а я (от гроч. !я>стй>)>ц— зиаи>и'). Поотому в или>уи>!и шопов«оп могиле иет (н ие может быть в силу ивтуициоиистсной интерпретации логич, констант — ги. !!лжуиииомивж) понятия Т. и. в указаииол> выии. с»и«еле. Логически истинными с этой т. зр. естественно, напр., называть выводимые в иитуиционистском исчислении (о конягин «иитуициоиифтс>«ое ис шсленнш> си. в ст. !1>эно,э«альма«ловило, 1)оэо>мшвгльнвл ловило) форл>уды (и тилько их) ограничивая понятие логич.
истины ио существу элширич>ской (и конструктивной) идеей лро«грлвоопии (алгоритмич, разрешимости относительно выводимости или доказуемости]. См. также ст. Логи«гевал и«тонио>и>л, Та«толе«ил и лиг. ири этих статьях. З!ои>, Г г Я т и о г Л, Ииттоцмовивм, оер. с англ, м., >э>>ьй гл. 1, 7; к о 3 и и. д ж., теорие эшожестэ и иои те>]ттм-г>и>>»тво, ивр.
с »игл., Ы.. >э«Э, гл >, ! 3. аб Номудл>в. Мосеев. ТОЛ!ДВСТВО. Поиитне Т является оси. иоиятиом философии, логики и л>атематикн, иоэтому к ному относятся все трудности, связанныо с вынсневием и оиределевием исходных (основных, фундаментальных) ионвпш науки. В комплексе воиросов, относящихся к иоияти>о Т., особого внимания заслуя»ивают деа; вопрос о '1'. «... самом ио себе. Признаем мы, что оно существует, илн не ирнзнаем?э (Р)а!о, РЬаей. 74 Ь; рус.
иер, Соч., т. 2, 1070) и вопрос о Т. вещеи. (Т. вещей выражал>т обычно символом « — э, к-рый ветре- чается впервые у Р. Рекорда в ого «ТЬе юЬе!а!оие о( и>!!!еэ, Ь., 1557.) Первый нз этих воиросов являетсв частью вопроса об онтоло>ич. статусе абстрактных объектов (см., напр., Отиожвмиг, Унавврголии), второй имеет самостоят.
значение. Как бы эти вопросы ни решались в философии, для логики и математики их решение всегда энвивалеитно решению воироса об оиредолоиии понятия Т. Однако нетрудно убедиться, проанализировав л>обое из извостных логических (матоматнчесних) оиределений Т. (вместе со способом ого обоснования), что «идея Т.в и так илн иначе оиределенное «ионятш Т,э — это не одно и то же. Идея Т, и р е д в а р я е т любое оиредолеиие иоивтия (иредиката) Т., равно как и вводимое определением понятие «тождественные вещи».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
