Философская Энциклопедия том 5 (1184486), страница 169

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 169)

шкала «ордиивлон» (еще, один синоним для н риииа «порядковое число» вЂ” ио аналогии г мощностялш — «каряиналами») иеограиичена (иричем каж!ик ш!Ряльовое число а является иияексоы иск-рого кардинального числа ![г«). Гйелкду кардинальными и орлиигльными числами ест!, простая свив[и кариииальиыо числа — это «наименьшие» ордииальиые числа, т. е. ординальиые числа, но эквивалентные (в оиределеииом выше длн множеств смысте) никаким ме[шшим !х ор,[ииальным шслам; Ординалы!ые же числа, с юлун Дж. Неимаиу, в настоящее время чаще всего определяют как члены последовательности, иачииаили[гисн г числа й (отожд[ствляемоло с пустым множеством), калклый члои к-рой ест[, класс (ли[он[ветви) всех предшествующих членов той последовательности. Иийуктивиыи процесс лоран!леню! порядковых чисел (см.

Равд, Рекурсивные и пииуктиниыо определения в ст. Определение) позволяет ввести т. и. »раис!(ниипиую индукцию — способ онределения и доказательства гвойстн объектов, иринадлелкащих ироиавол!,ным виол!ив уиорлднщ множествам и заиумороваииыы "граисфинитиыми порядковыми числалш. Трансфипитнан индукция, являющангя нсиосредств. глгбщгш!гл мелела обычной латглааличегкай иидуьчпи, имеет !нюиообразныо применения во ми.

разделах математики (особенно а алгебре, топологии, функциональном анализе): это один из примеров того, как далеко рази!мая ветвь «оби[ей» Т. и..-. теория нардшшльных и орлинальиых чисел — играет роль не только «лоплчсгкой базьы мател[атики, но и явяяетсн «рабочим шлструиеитом» получении новых мателштических фа[,тов. Ещо одним важным разделом Т. ы.

является теория т о ! е ч и ы х (иространстнеииых, плоских, линейных) множеств, т. е. «тех самых» многкеств, к-рые изучан»тон в матеыатич. анализа. Эта теория входит в качестве «первой главы» во мн. Разделы «высшего анализа», в частности в и е с к р и и т и з н у ю Т. м., иаучшошую структуру н свойства различных классов мии,кегтв, получаемых, исходи из точечшгх множеств сриишпе.п,но простой структуры (отрезлш, интервалы, их объединения и иересечеш!я), с иомощшо тех или иных оно)нщий. В ЛеслчриптианОЙ 1. м., явг!Яиицейся «обниеи теорией континуума» и ризвивавшенся гл.

Обр. тру,ыии представителен Мое«овскои математич. школы )(. !р. Егорова — Н. Н, Лузина и Паршкгиои н[к<к[ы Р. Бара, Э. Борегш и А.,)!ебега (см. Эуг»З«ел!!лиги;ьч), возш[кло оса[юнна ли[ого чаких ироблгм, к-рью, иак и кроблел»а континуума, Лали основание д!)Олину пьи ьи;им ь иреяиололкеиис !ю [!л ириициииальиой иоразр«шпиогти срглствами ианторовской Т. и.

(г, е. в [ыв!сп!ом сыь!еле о иеиолиоте послед[ни). Неи)штпнир!"!Оиость ряда иреиложеиий десьрииппиюй Т. и., установи«виан иоз;Шее К. Гедгггл, Н, С, Но»игла!!лы», А. й1иги!агг»гим, Дж. Лдяисоном и др., и азии тот (злигтг, ьонсчно, с тривиальной неиротиноре иииючью отрицаний этих предложений) неразрешимость соотвшгчи. ироблем, Дескриитивиая Т. и. играла, т. о., ван,ную роль в формировании идей и метадон лат»лиатич сиги .!Окали; в дальиеишем Обнаружилось глубоки!' РолстоО и!'жиу Осн. е!' неви!няни н !к!аул! Та!а»и! и ил и[шлогалш в теории рекурсивных функций и иредиьитин (точнее, иервые сыграли роль прообразов Лля вторил; ги. Предикап!а* к«аггибилкаиии). К началу 20 и. (а в глазах иодавляиицего болыиинства матоматннов, далеких от ироблем обосиованил,— и ио наст, еремы; такова, напр., иоаиция Н.

Бурбаки) Т. и, ио только стала играть роль фундамента мател[атич. теорий, но и проникать своими далеко идущ[пш слоиста!шии в их «верхние этажи». Единствеинан, ио существу, ветиь «чистой» математики, не зависнщая От принятия теоретико-лшожеств. вагляда — арифмотш.а натуральных чисел, и та, ио замыслу Фреге— Рассела (см.,уогичигл!), «Оогружилзсь н логику» в качестве исти Т, и., а именно, теории конечных кардинальных чисел, с к-рыми (в Отличие от аксиома! ич. иодхола Р. Дедокинда, Г. Грасмаиа и Дж. 1!сапа, уточняющего представление о конечном порядковом числе) и отожяествлялись натуральные числа Но иыеиио в этом иуикто Т. м.

о!кидало серьезное иотрясшшо: в ией (исторически — в работа Фу!ге, посвященной основным законам арифметики) бь!ли обиарулкеиы парадоксы (антиномии, противоречии, иек-рые ич к-рых, как ныяенилось позднов, были известим еще самому Кантору). Паралоксы Т. м. ири всем различии их формулироиик имели своей Общей иричииои исограиичониоо ир!пи!ценно т. и. принципа свертывании (см. причина абстракции), согласии к-риму введешю в рассмотро[ше миолнеств, охарактеризованных любым общим «своиством» их олемеитон (иро[ювольиым иредикатом), есть вполне законнан «мыслительная оиерация» "Г. и.

с иеогранич. принципом свертывания (к-рыи ири неформализованном нзложении и тому же, как правило, янно и не формулируетсн) принято называть «цаиш[он» Т, м. !!Ротиворечизост!, наивной Т. и. преодолевается в первую очередь ири иомощи различных формулярово!. а к с и о м а т и ч е с и он Т. м. (см. М!тад аигиол»аи!и««гний), В анной из первых (1008) систем аксиоматич. Т. м, — системе Цормело — Фреикели, обозначаемой ооычно ЕР, форл[улы к-рой получаются из т.

и, «элементарных формул» нида х ц у ( читается: «х ирииадлежит у») средстиами обычного пргдикатог исчисления, ирииции свертывания заменяется несколькими его частными случаями: аксиомой суи[ествоваиия ыиожества-нары (х, д!~ дли любых (даиных) множеств х и у; аксиомои сулцествования объединения (суммы) всех элементов произвольного л«иолнества х в новое мно.коство Б(х), элементами к-рого будут все э.юиенты элементов х; аксиомой существования мнолкества Р(х) всех иодмнолкестн произвольного множества х; аксиомой сущсствонания бесконечного множества и гхглали акгиил«: схемой выделении, согласно к-рой длн вснкого мнонюства х и свойстна гр, определенного и этом мио кестве, существует множоство элементов х, обладающих своиством [р, н схемой подстановки, утвержлающей, что для любою! взаимиоодиоииачиого отображении эгюментоа произвольного ;[ашики мио кестаа х, оиисынаемого иа языке системы 71', существует множество таких г, иа к-рыо отобр !- жиютгн эти элеыгнты х.

Ие ио,[надает иоц схоыу приими!и свертывания т. и. акгиоиа выбора (о существовании «множества представителен», т. е. миан остиа, содержащего в точиости ио О,[иону эломенту [и каич.иио иг дзинь!к иеиустых иоиарно непересекающихся множеств). Как и во всяком яр. систоые аксиоматич. Т. м., в ИУ иостулируечсн та[-ке аксиолш объемности (экк[ш!сиоиальиости), согласно к-рой миолкества, состоящие из одних и тех же эломеитов, созпаиают (си.

0бъгаллогт!л принцип). Ниог,[а к ИР ир[юоодиияют и ш!!.-Рь[е,[р. аксиомы белое спец. назначения, напр. т. и. акс[юыу фуидировииия (или регулнриости), игнлилчаю[цую, в частности, нозмо;киость воии[ииовеиия типологических» миожоств, дщ! к-р![л было бы хцх, хцуауцх и т. и., или аксиомы, иостулирующие, наоборот, сущоствонаш!о иок-рых спец.

объоктов, иаир. т. и. иеиости кимых (хоти бы с помощью описан- 215 ТЕОРИЯ МНОЯ(ЕОТ — ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ иой выше конструкции) кардинальных и(ли) порядковых чисел. Г!оследнее предполагает построеыие средстнзми 2Р теории мощности н порядка, что легко осущестнимо, так же как и построение этими средстзальи, ио сущестиу, всей классич. математики, Позднее были предложоньь многочисл. видоизменения 2Р (А.

Мостонский, Т. Сььалгвь и др.) и системы, отличающиесн от КР тем, что «плохие» (приводящие к парадоксам) сонокуиности элементов не ильясе исключаютсн из р ьссмотреиин (что н нек-ром роде не вполне естестнгнно), з нризиаютсн «собстнеино илассами», т. е. множестзнмп, не могущими принадлежать н качестве ь»»ЬЕ»лапта др. МНО»исетиаМ (Эта Идся, Идущаи От Дж. Янбквиа, была разнота П, Бернайсом, К. Геделем и др.), Олпстемы эти, н отличие от ЯР, могут быть заданы иосредстзом коне*шаго числа аксиом. Др. подход к преодолению иарадоксои реализозан и теории тнпон Б.

Рассела и А. Н. Увбтгнбв и ее модификациях, а н-рых ограничении наььладььэаются ие на аксиомы снертынаиин, а па критерии «осмысленности» (ааконности, допустимости) фигурирующих н иих «услоиий» (сиоистн), а также н сигтельах, подобных Агр ьь(райка, сочетаюпшх оба упомянутых подхода (см.

Типов теории), Для различных систем аксиоматич. Т. м. п отдельных их аксиом существенным янлнется запрос об их (отношггольиои) ь*епративоречинегти. В 1940 К. Гедель доказал относительную иеиротиноречиность аксиомы выбора (ныаыназшей ранее изиду своего иеконгтруктпнного, чисто экаистеш1иального харантера, мн. сомнаниы и споров) и континуум-гипотезы для описанной им системы Х (а тем самым н для 2Р)! н дальнейшем этот результат был перенесен иа теоршо типов (самую слабую из перечисленных систем), а затем и аа Агр (дли ослабл, формы аксиг>мы выбора, поскольку, как показал и 1950 Э.

В!иекиер, обычная ее форма з А»Р оироагржима). В 1963 амер, математик П Днь. Коэи дьькааал созльестимость с 2Р отрььцалиьй континуум-гшьотеэы и аксиомы выбора (а тгм самым и ььгвывььгимость этих предложении; вскоре близьие результаты были получены также чешскими логиками П. Воиеикой и К, Буконскнм). Устапонленнкя таким образом нерачреьиимость столь «естестненно иостанленных» проблем лишний раз подчеркнула зыбкость илатонистских иредстанлений об «объектизности» описььнаемых ими «обстонний».

Одним из серьезных источшшон установленных фактов яиляется «парадокс Сколемзьь, говорящий об относительности понятны мои1ностп; этот парадокс нытекает пз теоремы Леиенхейма — Околемн о наличии моделей ироизиольной мощности у иепротииоречиных систель, и силу к-рой понятно категоричности систомы аксиом длн сколь-либо богатых систем оказыаается беси редметиым. Ни э одной иа оинсанных систем Т. м. ие ноаипкают известные парадоксы. Однако проблема абсолютной их нецрьтиноречиности, ввиду теоремы Геделя о неполноте (см.

Характеристики

Список файлов книги