Философская Энциклопедия том 5 (1184486), страница 161
Текст из файла (страница 161)
о д. утверждения А шВ следует, что В доказано. Поэтому Т. о д. часто называют обращением ( ы)ос1ыв роненз и, основываясь ыа уыазаыной взаимной ( связи ыежду выводымостью н пынликацпей, формулируют так: (2) необходимым и достаточныы условием для категорического утверждения А,, Ах, ...,,1„— В (т. е. для утверждения о выводпыосты в нек-ром нсчислешш по его праоплам заключенны В из ыогылс:к Л,, Ах, ..., Л„) нвляется л сгнческан истинность (доказуемость в этоы нсчысесеныы) условного утверждения ! А!э(Л«ш(...ш(ЛвшВ)...)). Эта формулировка Т, о д.
ф!с!сгнрует ту, замеченную еще стоиками, особую роль, и-рую в логике ныелавынакий пграют ее законы ыры определении (проверке) логыч. правильности наших рассуждений: относительно любого утверждения о выводныосты заключения В пз посылок А,, Аю „..
А „ вопрос о вго истинности решаетсн разысканием средй законов логнкн закона Лсш(А«ш(...ш(А„шВ)...)). Различение понятый «выводнмость > и «доказуелшстьл (соответственно «выводе и «доказательствое) в приведенных выше формулировках Т. о д. восходят к традыц, различению л!ежду нонвтнямн «форыальпан нравпльностьл и «истинность». Пусть В выведено пз к.-л. допущеынй (гипотез) А „..., А „,. Доказано ли ВУ В общем случае очевидно нет, ыотоыу что допущения могут быть любыми, в тоы числе и ложными, а понятие логич.
вывода определяется, как правило, так, что из лжи можно вывестн любоо, в тов числе и ложное, эаклгоченне. Для того чтобы В было доказано, необходимо, чтобы В следовало из заведомо погонны:с (ыли нрннымаеыых за истинные) посылок. Т. о д, ныеет л!есто только для исчислений логыстического типа, в к-рых вывод опнраетсн па наби>лютыыее доыущеыын (см. Поелслка) — аксиомы (или схемы акеиом). Это объясняется, конечно,ые наличием слова «доказуемае в ырыведенных формулировках теоремы (этого может и не бьстгб напр„С.
К. Кляни (1052) и А. Чарч (1Р56) используют др. терминологию. так что в ых формулировках Т. > д. выражает свнзь ые,кду выводнмостью одной формулы и выводнмостью (же) нек-рой др, формулы), а просто тем, что Т. о д.— это теорема, т. е. утверждение, доказываемое на основе аксиом. В исчислениях беа аксиом (в капсрралькых иечиелекилх] вместо Т. о д. вводнтсн в качестве основного (ылы обосновывается в качестве производного) правило в и е д е н и н ы м и л и к а ц и н — в нек-ром смысле аналог 'Г.
о дл если общый нрннцыы (ндею), выражаемый Т. о д., рассматривать ыезавнсыыо от того, что ато прннцип (иден) теоремы, то его можно ностулыровать н форме пранилп (Г. Генцен, С. Ящьковскнй, 1954), к-рое равносильно названным выше аксиомам 2.1) н 2.2) положительной логнкп. Лиосл Т в р с в и й Х, Ввехевпе в .ю оку п меход >огню ввук, Введевие в ветвмвтелютпку, пео. с вкгл., м., 1957, с.
8( — 9(; Ч е р ч Л., Ввечевпе в лсатеизтссчсскув логику, пер с вкг.с., т. 1, М., 1966, с. 89, 186, 287; Г у в с т е й н Р. Л., Метеивтвческвв логика, пер с англ., Ы., 1961, с. 3: — 87, Сз — !С; Н с в и к о в П. С., Элемеиты иатематнческоы логвкп, М., 1959, с. 82-85, 221 — 25; с т оп и Р.
Р., множества, Леплю, !кепс магические теор!с!с, пеп. с внгп., М., 1968, с. 171 — 7"! .'1 и ил с в Р., Заветов по потеке, пер. с англ., 51, 1968, с. "," — 73; Н е г Ь г в п б .1., Г(ес!сего)сее ест 1а 11>бопе с!е !е с>с>>сап".!гоЫоп, твзгзх., 1930; Р о в о г х е 1 з К с СУ. Х., Ргг "„!сб 1>«1- егбхеа о бебвке!с б>а гвс!>покосе хбва, е81фйв 1.оакз,. !96«, 15. Х!. Несмелое. Москва, ТЕОРЕТИКО-й(НО«1«КСТВКННАЯ ЛОГИ1«А (т е оретыкол!ножественная логика пред н н а т о в) — логика, трактуеман с т.
зр. теор!си мкозкегтз, К Т:и. л. в ш и роком сны ел е можно отнести любые иктгрпрюпации лоп!ч. нсчисленнй, в основу н-рых положено объечыое, экстснсыональное ыониманые суждений, когда суждения отождествляются (ылн ставятся во гзпимпо арко«кочане еоокснепсгспние) с нлассамы (множествасш) объектов, для к-рых онн ыстынны; яры этом каждому логыч.
сооткошешыо будет очевидным образом сот!остаплпться нек-рос определенное (и притом едннственное! соотношение между клас- ТЕОР!7ТИКО-МНОЖЕСТВЕ1111АЯ ЛОГИКА — ТЕОРИЯ 205 сими (мпожегтвал)и). Прп такой теоретико-множеств. ииш рпретацип ге»ила з»и»азы«алий по существу совпадает с зеги»ей, ьззгсез (аггщ брей множеств — см.
А. ггбрз зезизи). Изоморфизм между лошпгой классов (алгеброй л|н«жести) и логикой высказываний лезшт в основе аналогий обеих этих систем с разнообразными абгтрактизиып и реальными системами (иейроииьп сети, релейно-контактные схеыы, «двоичная арифметика» электронно-вычислительных машин и др.), обусловивших плодотворность взаимного приложении метод«и и результатов квждон пз этих теорий к любой из остальных (см, Кибернетике). Т;и. л. в у и и о м с м ы с л е представляет собой игш льзование «нггивных~) (идущих от Г. Кшпора) тво!и зг~)ии»гнои«эсти. концепций (в т. ч.
збгтракли г зьтузгьггегг беги ггггчнегти) в качестве средств метатеор е т и ч е с к о г «исследовании (см. Аугтатгериз) логич. и лиг)пш-изтеы. нсчпслшпги, преп»)ущественио (прикладного) яр«Лик«те« игчигггиил. Именно допу)цтпи таких «иефииитп)зх» (см. Фиииигизл) средств глличает Т.-м. л.
в ивино»7 понимании от и е т а и ат г м а т и к и Д.!'ил г оерта; применение )п для решения тгигг>и важнейшеи проблемы основания математики и лш иии, как иг прелгизергчиззгть, ие только ве согласуется с «фпиитнон устанонио!Ь Гильберта, ио и по существу ирин«дит (хотя бы ввиду наличия и теории мп«жеста ггаразгг«тзз) к порочному кругу. 1)то обстоятглг ство, однако. пе снимает задачи теоротико-множеств. истолкования теореы (прикладного) исчислении иршпп;атии — хотя бы потому, что дли значит. б«льишиства математиков тоория множеств остаетсн иди!«- признанны»1 и «универсал,иым» )ютошшком построении ыоделен ф«риализованной математики и «логи )гск«й» (во венком случае — концептуальной) базои больш« й части математики содержательной.
1! тону же. кроне непротиворечивости, ирп изучении исчисления иредикатов и базирующихся ва ием теорий истает ряд проблем, имеющих объективный (хотя и несколько «платонпстскшЬ) смысл и интерес, но ие дои ус),ающих постановки (ие говоря уже о решении) в финитных (и вообшо конструктивных — си. Кеигиг)г!)ьи~изггег из«раз»гни«) терминах.
К числу таких пр«олем относится ирен)де всего проблема и«бисти дг«у»те«изб. исчисления предикатов, пони»темой в годержательио-сеизит)леском смысле, и связанное с этои проблеиои понятие «произпольной интерпретации», носящее иефииитиый, неконструктивный характер. Тем бош е:гто «тиоснтсн к ире)ггтавлонииг о «сово- 1) ииости всех интерпретации» и оиределяемолгу г по»йиц).в> з' ого ире,)стаиления иоиятшо о б щ е з гг ач и и «с т и суич)гш)я.
Т, о., и Т;и. 7. (а пе и меташиемиппге!) оти«сигея, паир., и теорема Гедели о полноте исчисления пред)п;аз >и, и теорема,1!евеижииа— !.'),«лема об иитериретируемости иа натура«и иом риде чисел любои непротиворечивой теории. Еще более выраженньш теоретико-миогкеств. »арактер носит рс иультвты, относящиеся к понятию «категоричиости отвкительно данной»)опипгстп», т. е.
изоморфизма всгх молелен длиной «гггщ)гости (см. Яиигезерггчиеггггь гигт лги зьги«л). 1'ермив Г!'.-м.л.» часто применяется «игг в «собствг) иом» смысле: так ииепуи»т совокупность теоретшизмиожеств. методов и результатои, относившихся к (узко»«у) ис шслгиию иредикатов (как мста)гор~ тпчегкгьх— зина, напр., уже упомянутой теоремы Гедоля, так и «7»иггящихся к интерпретациии; исчисление одноместных предиквтов интерпретируется в этом смысле каи логика классов, а псчнслшше многоместных предо ьитов — как теория ми«жести уиорндочениых коиечпыь наборов индивидов). Эту богатую результатами и интенсивно развивающуюся (прежде всего силами ии;ол А. Тзрсиггге, А. И. Мальпеиа и А. Робинсона) ветвь ч)атем.
логики, используе|шут гл, обр, алгеб- раич. методы, в настоящее время называют обычно теорией моделей. Ли»,г К л и и и С. К., ивенские в метзматеиетику, иер. с англ., м., 19ы, «й, 72,76, 76, 76; робинсон л., Введение е теорию моиелеа и метаматемвтииу алгебры, ие)Е с «игл, М., 1967, Е р т е в Ю. Л, (и ир 1, Элемеитаргйго тг рии, чисие»и мзтематич, паук», 1966, т. 26, еыи. «112г), с. 27 — 106.
Ю. Г«гги «. Месив». ТЕОРИЯ (греч, давор(х, от дают«ю — рассматриваю, исследую) — 1) В широком смысле — форма деятельностии общественно развитого человека, направленнаяая иа получение знании о природной и социальной дейгтвитолышстп и вместе с практикой образующаи совокупную деятеяьность обп)ества. Н этом смысле понятие Т. нвляется синонимолг обществ, сознания и наиболее высоких и развитых форлгах его ор) анизации; как высший продукт организованного мьпиления оиа опосредует всякое отношение человека к действнтельи«сти и является условием подлинно созяат, преобрвз«)га)ги)г последней.
2) В узком смысле — форма достоиериого науч. знания о нек-рой совокупногти объектои, представляюшаи собой систему взаимосвизанных узверждеиий гг доиазвтельоти и содержащая методы гшъяснеиия и предсиазаиин явлении данной продмезной области. В этом смысле Т. протшии)остаиляотся змпирич. зиаишо и отличается от него, во-иериых, достовершютью содержаигегося в ней науч. знании, ооесиечиваеыой получением этого анании в соответстипи с существугощими науч. стандартамп и выра)кающенся и его виутр. непротиворечивости, реализации его проверки на истинность и т.
дб ио-вторых, тем, что Т, дает обоощенное описание исследуемых в ней яэлеяии, формулированио и ее рамках общих законов, к-рь)о не только описывают оиредел, нру) ивлений, но и дают их ~)бъясиеиие и содержат возможностг, предсказания новьж.еще ие изученных фактов; в-третьих, выделением в составе Т. Множества походиь)х утверждении и лшожегтва утверждений, получае»гых из исходных путем зиаеза, Иегтззтгзьгтза, причем сам ироцгсс доказательства подчиняетси особым логяч, законо»герностим, к-1»ые формулируются для данной Т. или для «предел.
класса Т. Благодаря этим особенностям Т. отличаетгя от др. форм знания тем, что в ией возможен переход от одного утверждения к другому боз непосредств. обращения к чувств. опыту; в этом, в частности, коренится источник предсказат. силь) Т. В истории философии термин «Т,» долгое времн уиотреблился только в шираком смысле, в контексте анализа общей структуры человеч. деятельности(историю этого аспекта Т. см. в ст. Празт или), хоти метоиологич. проблематш.з построения теоротич, систем была поставлена уже в «Началах» Эвклида, Обсуждение проблем Т. в узком смысле начпиветси с 18 в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
