Лекции по статитической физике для 1 курса магистратуры (1183863), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Сделаем в подынтегральных выражениях замену переменнойε/T = z и получим³µ´2,(5.12)Ω = −pV = − V T 5/2 f3/23Tгде³ µ ´ g V m3/2 Z∞ z 3/2 dzsf3/2= √.(5.13)Tez−µ/T − ζ2π 2 ~305.2.Идеальный ферми-газДля любой системы важно знать основное состояние. Для статистической системы такое состояние должно соответствовать температуре T = 0. Как видно из функции распределения (4.28) для идеального ферми-газа в этом случае среднее число частиц в каждомсостоянии равно 1 для ε < µ и равно нулю в противном случае. Химический потенциал есть функция температуры, и его значение притемпературе равной 0: µ(T = 0) = εF называется энергией Ферми.Таким образом, при T = 0 выражение (5.6) позволяет вычислитьэнергию Ферми идеального ферми-газа.
Поскольку для идеального газа энергия однозначно связана с импульсом частицы, энергияФерми выражается через импульс Ферми pF из условия1 :2VN=4π(2π~)31ыZpFp2 dp = V0p2F.3π 3 ~3считаем спин частицы s = 1/2, поэтому gs = 2.45(5.14)Энергия Ферми идеального газа равна:εF =~22mµ3π 2NV¶2/3(5.15)Для дальнейших вычислений важно определить порядок величины энергии Ферми для электронов в решетке металла. Отношение N/V = n – есть плотность атомов, поэтому можно оценитьεF .
10eV, то соответствует температуре T ∼ 104 K. Это означает,что практически всегда можно полагать T ¿ εF , а, следовательно,температурную зависимость основных электронных свойств можно определять как поправки по малому параметру T /εF . В этомслучае говорят, что ферми-газ вырожден.Получим теперь важные характеристики полностью вырожденного ферми-газа. Энергия (внутренняя) равнаZE = 2V4πp2 dp== 2V2m (2π~)32m(2π~)3ZpFp4 dp =0V p5F. (5.16)10mπ 2 ~3Давление определим, исходя из определения Ω-потенциала:2E.3(5.17)(3π 2 )2/3 ~2.5m(5.18)pV = −Ω =Уравнение состояния имеет вид:µp=NV¶5/3Можно также вычислить модуль всестороннего сжатия−V∂p=∂VµNV¶5/3(3π 2 )2/3 ~25= p.3m3(5.19)Рассмотрим теперь свойства идеального ферми-газа при T > 0.В параграфе 5.1 мы видели, что общие свойства идеальных квантовых газов определяются функцией (5.13), однако в отличие отбозе-газа, химический потенциал ферми-газа при низкой температуре положителен.
Более того, мы видели, что при T = 0, когдаµ(0) = εF для такой важной системы, как электроны проводимости46в металлах, при температуре, когда металл существует в кристаллическом состоянии, всегда можно считать µ/T À 1, иными словами, электронный газ в обычных условиях можно считать вырожденным. Таким образом для ферми-систем важный случай представляет вырожденный ферми-газ.
Ω-потенциал, а вместе с ним ивсе термодинамические характеристики, будут определяться интегралом видаZ∞f (ε)dεI(T ) =,(5.20)e(ε−µ)/T + 10где f (ε) – как правило степенная функция, поэтому интеграл сходится.Сделаем замену переменной ε − µ = T z, тогдаZ∞I=Tf (µ + T z)dz=Tez + 1−µ/Tµ/TZ0f (µ − T z)dz+Te−z + 1Z∞0f (µ + T z)dz.ez + 1(5.21)Преобразуем подынтегральное выражение первого слагаемого:11=1− z,e−z + 1e +1а затем учтем, что µ/T À 1, заменим верхний предел интегрирования в первом слагаемом на ∞ и получимZ∞ZµI=f (ε)dε + T00f (µ + T z) − f (µ − T z)dz.ez + 1(5.22)Функцию f (µ ± T z) разложим в ряд Тейлора:11f (µ ± T z) = f (µ) ± T f 0 (µ) + T 2 f 00 (µ) ± f 000 (µ) + . .
.23!Видим, что под интегралом остаются только нечетные степени разложения в ряд Тейлора, и мы получаем:ZµZ∞f (ε)dε + 2T 2 f 0 (µ)I=00zdz1+ T 4 f 0 (µ)ez + 1 347Z∞0z 3 dz+ . . . (5.23)ez + 1Интегралы в разложении в ряд (5.23) выражаются через ζ-функциюРимана:Z∞0¢z x−1 dz ¡= 1 − 21−x Γ(x)ζ(x),ze +1ζ(x) =∞X1.nxn=1(5.24)Поэтому во втором слагаемом выражения (5.23) имеем x = 2, Γ(2) =1, а ζ(2) = π 2 /6. Таким образом, с точностью до первой неисчезающей поправки по температуре получаем:ZµI(T ) ≈f (ε)dε +0π2 2 0T f (µ).6(5.25)Используя полученную формулу (5.25), получим выражение длятермодинамического потенциала Ω:√(2s + 1) µm3/2Ω(T, V, µ) = Ω0 − V T 2,(5.26)6~3здесь функция Ω0 определяется формулой (5.16) и (5.17), в которыхследует заменить εF на химический потенциал µ:√4 2V m3/2Ω0 = −(2s + 1)µ(T )5/2 .15π 2 ~3Заметим, что в нашем приближении химический потенциал такжеквадратично зависит от температуры.
Мы его определим из условия (5.7), снова используя разложение (5.25):µ¶N(2s + 1)(2m)3/2π2 T 23/2=µ+.(5.27)√V4π 2 ~36 2 µУравнение (5.27) можно легко разрешить относительно химического потенциала, удерживая квадратичные по температуре члены:"µ ¶2 #π2 Tµ(T ) = εF 1 −,(5.28)12 εFгде энергия Ферми εF для частиц со спином 1/2 определяется формулой (5.15). Мы видим, что химический потенциал идеального48ферми-газа убывает с ростом температуры по квадратичному закону.Определим теперь энтропию идеального ферми-газа, продифференцировав Ω-потенциал по температуре при постоянном химическом потенциале.
Последнее важно подчеркнуть, посколькупоследний также зависит от температуры:µS=−∂Ω∂T¶=VV,µ√3/2(2s + 1) µm3/2(2s + 1)pF T√. (5.29)T≈V3~36 2~3 εFс рассматриваемой точностью мы здесь можем заменить химический потенциал его значением при T = 0 : µ(0) = εF .Из выражения (5.29) получаем теплоемкость системы:CV,N ≈ CV,µ = V(2s + 1)mpFT.6~3(5.30)Различие между теплоемкостями появляется, если учесть более высокие порядки разложения интеграла (5.23) по температуре.5.3.Идеальный бозе-газРассмотрим теперь особенности поведения идеального бозе-газабесструктурных частиц со спином s при низкой температуре. Легко видеть, что формулу (5.6) следует понимать как уравнение дляопределения химического потенциала системы. Однако можно заметить, что при заданных числе частиц N и объеме V при T → 0это уравнение может не иметь решения при T < T0 , некоторой характерной температуры, ниже которой химический потенциал должен быть равен нулю.
Химический потенциал бозе-газа не можетбыть положительным, поскольку в противном случае, как видноиз формулы (5.6), подынтегральная функция имеет особую точку.Следовательно, мы видим, что½µ(T ) < 0, при T > T0 ;µ(T ) =0,при T ≤ T0 .Но в этом случае мы получаем, что уравнение (5.6) при T < T0определяет число частиц, меньшее, чем число частиц в системе.Недостающие частицы оказываются в состояниях с энергией ε = 049и составляют так называемый бозе-конденсат. Таким образом, мыдолжны рассматривать формулу (5.6) при T < T0 (с химическимпотенциалом µ = 0) как уравнение для определения числа надконденсатных частиц с энергией ε > 0. Определим температурубозе-конденсации:Ngs m3/2=√V2π 2 ~3Z∞ √Z∞ √00gs (mT0 )3/2εdε√=eε/T0 − 12π 2 ~3zdz,ez − 1(5.31)где gs = 2s + 1.Интеграл в формуле (5.31) выражается через ζ-функцию Римана.
Действительно, преобразуем подынтегральное выражение:√√ −z∞X√ −(n+1)zzze=ze.=z−ze −11−en=0Изменяя пределы суммирования и делая замену переменной nz =x, получаемZ∞ X∞0 n=11 √n3/2Z∞xe−xdx =√xe−x dx0∞X1= Γ(3/2)ζ(3/2). (5.32)3/2nn=1По определению ζ-функция Римана равнаζ(x) =∞X1.xnn=1В нашем случае ζ(3/2) = 2, 612. Для температурыбозе-конденсации√получаем выражение, учитывая Γ(3/2) = π/2,T0 =2π~2mµNgs V ζ(3/2)¶2/3.(5.33)При T < T0 формула (5.6) определяет число частиц с энергиейε > 0, поэтому можем определить число частиц, находящихся вбозе-конденсате (с энергией ε = 0):hi3/2N0 = N 1 − (T /T0 ).(5.34)50Определим теперь энергию идеального бозе-газа при T < T0 :gs m3/2 VE= √2π 2 ~3Z∞0√ε εdε3gs V (mT )5/2=ζ(5/2).eε/T − 12M (2π~2 )3/2(5.35)Теперь, согласно соотношению (5.11) легко найти давление и Ωпотенциал системы: Ω = −2E/3.
Энтропия равна:µ¶∂Ω5ES=−=∝ T 3/2 .(5.36)∂T V,µ=03TИз соотношений (5.35) и (5.36) легко получить теплоемкостьµ¶5E∂S=.(5.37)CV,µ=0 = T∂T V,µ=02TИтак, мы видим, что при T < T0 изменяется температурная зависимость термодинамических потенциалов, которые сами остаются непрерывными, однако их производные терпят разрыв. В частности, сжимаемость вырожденного бозе-газ൶∂p= 0,∂V T <T0поскольку давление в этом случае не зависит от объема, теплоемкость Cp неопределена. Поэтому необходимо исследовать областьвблизи температуры бозе-конденсации более подробно. Для температуры T < T0 мы получили простые соотношения, не имеющие особенностей. Рассмотрим область T > T0 вблизи температурыбозе-конденсации, т.е.|T − T0 |¿ 1,T0и получим температурную зависимость химического потенциала.Для этого в уравнении (5.6) для определения µ(T ) выделим разницумежду выражениями при µ = 0 и µ 6= 0, но при этом |µ|/T ¿ 12NN0 (T )gs m3/2=+√VV2π 2 ~32 МыZ∞ ·01e(ε−µ)/T−1−¸1eε/T−1√εdε.(5.38)здесь учли, что при T > T0 ) химический потенциал отрицателен, µ < 0.51Здесь N0 (T ) определяется вторым слагаемым подынтегральноговыражения в формуле (5.38), поэтомуN0 (T )gs (mT )3/2ζ(3/2).=V(2π~2 )3/2(5.39)Обозначим µ/T = x, а ε/T = z и учтем, что основной вклад в интеграл вносит область z ¿ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
