Лекции по статитической физике для 1 курса магистратуры (1183863), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Разложим экспоненты в ряд и получимпод интегралом:1111xx−=− =≡.ez e−x − 1 ez − 1z−x zz(z − x)z(z + |x|)Таким образом, получаем интеграл√Z∞√Tµ0dz1√=Tµ2z(z + |x|)I√√pTµdz= −πT |µ|.= πpz(z + |x|)|µ|/T(5.40)Соотношение (5.38) сводится к простому уравнению"µ ¶3/2 #Tgs m3/2 T V pN − N0 (T ) = N 1 −=− √|µ|.T02π~3(5.41)Обратим внимание, что в отличие от формулы (5.34), здесь T > T0 .Для химического потенциала получаем выражение2µ=−mµπ~3 Ngs mT V¶2 "µ1−TT0¶3/2 #2.(5.42)Замечая, что в окрестности T0 можно заменитьµ1−TT0¶3/2=3 T − T02 T0и получить температурную зависимость химического потенциала вокрестности T0 при T > T0 :18µ=−4mµπ~3 Ngs mT V52¶2 µT − T0T0¶2.(5.43)Для определения теплоемкости CV,N требуется вычислить энергиюсистемы в окрестности T0 .
Воспользуемся соотношением (5.11) иизвестным выражением для числа частиц:∂E3 ∂Ω3=−= N.∂µ2 ∂µ2(5.44)Проинтегрируем выражение (5.44), используя соотношение (5.41),а затем подставим разложение химпотенциала (5.43):¶2T − T0,T0(5.45)где E0 определяется формулой (5.35) для µ = 0. Здесь мы такжепренебрегаем температурной зависимостью N0 . Для теплоемкостиполучаем выражение:µ¶∂ECV,N == CV,N (µ = 0)−∂T V,Nµ¶227N0π~3 N−(T − T0 ) + f (T, V )(T − T0 )2 . (5.46)4mgs mT T0 V3327N0E = E0 + N µ ≈ E0 + N0 µ = E0 −224mµπ~3 Ngs mT V¶2 µЗдесь функция f1 (T, V ) определяется производной по температуревыражения, стоящего перед (T − T0 )2 . Как видим, теплоемкостьв точке бозе-конденсации непрерывна, однако ее производная потемпературе имеет скачок:µ∆5.4.∂CV,N∂T¶V,T =T027N0=−4mµπ~3 Ngs mT02 V¶2(5.47)Идеальные газы при высокой температуреВысокотемпературный предел означает, что температура системыстановится много больше средней кинетической энергии частицы,т.е.µ ¶2/3~2 N~2∼.(5.48)T Àma2m VДля ферми-газа это означает T À εF , а для бозе-газа такое соотношение сразу написать не удается.
С другой стороны очевидно,53что условие (5.48) означает малый вклад квантовых поправок, поэтому следует исходить из выражения для химического потенциалаидеального больцмановского газа:"µ#¶2/33gs VmTµ = − T ln.(5.49)2N2π~2Условие (5.48) означает, что |µ| À T . Поскольку большая величинастоит под знаком логарифма, удобно условие высокотемпературного предела записать какeµ/T ¿ 1,(5.50)что и определяет малый параметр задачи.Вернемся к выражениям (5.12) и (5.13), в которых разложимподынтегральное выражение по степеням малого параметра (5.50):1ez−µ/T − ζ³´≈ eµ/T −z 1 + ζeµ/T −z .(5.51)Для Ω-потенциала имеем:Ω = −pV = −V T 5/2 gsµ¶³ m ´3/2ζ µ/Tµ/Te1+e.2π~225/2(5.52)Аналогичное выражение мы можем записать и для числа частицN , которое будет определяться функцией f1/2 (µ/T ):¶µ³ m ´3/2ζ µ/T3/2µ/TN = V T gs.(5.53)e1 + 3/2 e2π~22Поделим соотношение (5.52) на (5.53) и, раскладывая вновь по малому параметру, получаем уравнение состояния:"µ¶µ¶3/2 #ζ N π~2ζ µ/TpV = N T 1 + e= NT 1 −.(5.54)22gs V mT54Глава 6Фазовые переходы6.1.Термодинамика фазовых переходовВ параграфе 2.3 были получены условия термодинамического равновесия подсистем.
Макроскопические объекты одной природы могут находиться в различных состояниях, или фазах. В частности,фазы вещества могут быть газообразными, жидкими или твердыми. Некоторые вещества, находясь, например, в твердой фазе, обладают при определенных условиях различными магнитными (ферро- или антиферромагнетики) или электрическими (сегнетоэлектрики, пироэлектрики, сверхпроводники и т.п.) свойствами.Различные свойства одного и того вещества (термодинамическойсистемы) соответствуют различным его фазам.
При определенныхусловиях система может одновременно находиться в разных фазах.В таком случае равновесие разных фаз должно описываться условиями равновесия различных подсистем системы. Условия термодинамического равновесия были получены из принципа максимума энтропии. Заметим, что химический потенциал есть термодинамический потенциал Гиббса Φ, приходящийся на одну частицу. Впредыдущих главах мы видели, что термодинамические потенциалы зависят от состояния системы и, соответственно, от термодинамических переменных. В частности, Φ(T, p, N ).
Поэтому условиеравенства потенциалов в различных фазах дает уравнение, определяющее связь между собой различных термодинамических переменных. Например, в случае равенства химических потенциалов вразличных фазахµ1 (p, T ) = µ2 (p, T )(6.1)мы получаем уравнение кривой фазового равновесия для переменных p и T : p = p(T ).55Получим дифференциальное уравнение, позволяющее получитькривую равновесия фаз, продифференцировав обе части равенства(6.1) по температуре, которая имеют одно и то же значение в обеихфазах:µ¶µ¶µ¶µ¶∂µ1∂µ1dp∂µ2∂µ2dp+=+.(6.2)∂T p∂p T dT∂T p∂p T dTОбозначая s = S/N и v = V /N – энтропию и объем, приходящиесяна одну частицу, можем записатьµ¶µ ¶∂µ∂µ= −s,= v.(6.3)dµ = −sdT + vdp,∂T p∂p TПодставляя эти соотношения в уравнение (6.2) получаем уравнение:(v1 − v2 )dp= (s1 − s2 ).dT(6.4)Если при этом v1 6= v2 равнение (6.4) называется уравнениемКлапейрона-Клаузиуса, и его принято записывать в видеqdp=,dTT v12где v12 = v1 − v2 ,q = T (s1 − s2 ).(6.5)Величина q называется теплотой перехода.Как видно, уравнение (6.4) имеет смысл, если v1 6= v2 , т.е.
когда при фазовом переходе изменяется удельный объем. В противном случае для описания фазового перехода следует искать другоеуравнение и использовать другие модели для описания процесса.При всех фазовых превращениях термодинамические потенциалы остаются непрерывными функциями, однако, как мы виделивыше, их первые производные или производные более высокого порядка могут иметь разрыв.
В соответствии с этим различают фазовые переходы различного рода. При фазовых переходах I родаимеют разрыв некоторые производные первого порядка Например,в рассмотренном примере уравнение Клапейрона-Клаузиуса описывает скачок давления, т.е. первой производной термодинамического потенциала Гиббса (химического потенциала). При фазовых переходах второго рода имеют скачок вторые производные, которыеопределяют теплоемкость, сжимаемость, восприимчивость.
При явлении бозе-конденсации идеального бозе-газа мы видели, что вторая производная химического потенциала оставалась непрерывной,56но имела скачок третья производная. Следовательно, при бозеконденсации наблюдается фазовый переход III рода.6.2.Теория молекулярного поля Вейсса и фазовый переход II родаМагнитное упорядочение в системах с отличным от нуля спиномS можно получить, если принять модель, которая описывается гамильтонианомX1Xb =−Hgµ0 HŜzi −Jij Ŝi Ŝj ,(6.6)2ii,jгде H – внешнее магнитное поле, направленное по оси z, µ0 – магнитный момент спинов, а g – соответствующий им g-фактор, Jij– обменный интеграл, ŝi – операторы спинов. Суммирование ведется по всем спинам системы.
Обменный интеграл симметричен:Jij = Jji . Для спинов s = 1/2 мы получаем модель Изинга.Намагниченность (магнитный момент) системы определяетсясредним значением спина:M = gµ0 hSi.bВ изотропной среде hSikz,поэтому в дальнейшем будем считать,что и Mkz, заменяя Mz = M .Будем считать, что среднее значение спина системы hSbz i отлично от нуля и направлено по оси z.
Тогда можем записатьSbzi = hSbz i + ∆Sbzi . Запишем гамильтониан (6.6) в новых переменных:¶XµX1 b bijbbbgµ0 HŜz −hSz i∆Sz + hSz ihSz i Jij −H=−2ii,j1 X ³ bi bj bi bj ´∆Sz ∆Sz + S+ S− Jij .(6.7)−2 i,jПренебрежем поперечными компонентами и квадратичными по отклонению от среднего операторами, тогда гамильтониан (6.7) мож-57но записать в виде1b ≈HXiX1µ0 Hef f Ŝzi + hSbz ihSbz iJij ,2(6.8)i6=jгде введено эффективное полеHef f = H −1 b XhSz iJ0j = H − hSbz iV0 ,gµ0j(6.9)которое называется молекулярным полем Вейсса.
Последнее слагаемое в гамильтониане (6.8) есть некоторая константа, котораяне внесет вклад в термодинамические свойства системы, поэтомуего в дальнейшем учитывать не будем. Таким образом, в нулевомприближении каждый спин находится в некотором среднем поле,величина которого определяется средним спином системы, т.е. мыпришли к самосогласованной задаче.Формально задача о нахождении среднего значения спина в молекулярном поле (6.9) сводится к простой задаче о нахождении намагниченности идеального парамагнитного газа с атомов с моментами J = S, одночастичная статистическая сумма которого равн൶SXsh(gµ0 Hef f (S + 21 )/T )gµ0 Hef f MSZS =exp −=.Tsh(gµ0 Hef f /2T )MS =−S(6.10)Намагниченность определяется из магнитной добавки к свободнойэнергии:∂FSM =−, где FS = −N T ln ZS .(6.11)∂Hef fВ дальнейшем удобно рассматривать вместо намагниченности среднее значение спина, приходящееся на одну частицу hSbz i, котороеопределяется функцией Бриллюэна:µ¶·¸·¸1gµ0 Hef f (S + 1/2)1gµ0 Hef fbhSz i = S +cth− cth.
(6.12)2T22TДля нахождения hSbz i получилось трансцендентное уравнение, которое даже в случае H = 0 при определенных условиях (отношения обменного интеграла к температуре) может иметь 3 решения.1 Мывыделили во втором слагаемом Szj = hSz i + ∆Szj .58Следовательно в системе может возникнуть спонтанная намагниченность в результате фазового перехода. Рассмотрим этот эффектподробнее.Вблизи точки перехода в случае H → 0 всегда можно считатьµ0 Hef f /T ¿ 1 и разложить в ряд Тейлора функции в правой части уравнения (6.12), оставляя только первые два члена, дающиеотличный от нуля вклад:cth x ≈1 11+ x − x3 .x 345С учетом только первых трех членов разложения уравнение (6.12)принимает вид:¶µµ¶S(S + 1)1123.hSbz i =gµ0 Hef f −S+S+(gµH)0 ef f3T15T 22Подставим теперь явное выражение для эффективного поля (6.9),перенесем внешнее поле в правую часть и перейдем от среднегоспина к M = µ0 hSbz i.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
