Лекции по статитической физике для 1 курса магистратуры (1183863), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Число состояний в интервале изменения квантовых чисел от nα до nα + ∆nαравноLx Ly Lz∆Γ1 = Πα ∆nα =∆px ∆py ∆pz ,(1.28)(2π~)3и мы приходим к формуле (1.1). Здесь нижний индекс “1” означаетчисло состояний одной частицы.При вычислении полного числа состояний микроканоническогоансамбля (1.22) мы теперь можем перейти от суммирования к интегрированию по состояниям в соответствии с полученным соотношением (1.28). Наибольший интерес для нас будет представлять случай, когда ансамбль состоит из одинаковых частиц. Следуя принципам квантовой механики мы должны рассматривать при этом состояния системы тождественных частиц, которые обязательно удовлетворяют нужным перестановочным соотношениям в зависимости от “сорта” частиц.
Задача о нахождении функции распределения тождественных частиц будет нами рассмотрена в следующихпараграфах, а сейчас решим задачу в случае, когда квантовымисвойствами системы тождественных частиц можно пренебречь. Этоможно сделать, если вероятность нахождения двух частиц в одинаковом состоянии в соответствии с правилом перехода, не учитывающим перестановочную симметрию, пренебрежимо мала. В этомслучае нам остается просто учесть, что перестановка частиц не изменяет состояние и поделить полное число одночастичных состояний N частиц на число перестановок.
Таким образом, полное число состояний микроканонического ансамбля N одинаковых3 частиц3 Мыздесь специально не употребляем термин “тождественных частиц”, под-15равно:XΓ=Θ(E − ε(p1 , . . . , pi , . . . , pN )) =p1 ,...,pNZVN=N !(2π~)3NÃ1 XΘ E−(pi )22m i!NY(1.29)dpii=1Заметим, что Θ(αx) = Θ(x), а также E > 0, поэтому полную энергию всегда можно представить как E = P 2 /2m. Таким образом,интеграл в формуле (1.29) равенÃ!Z3NX22pα d3N p,(1.30)Ω3N (P ) = Θ P −α=1где индекс α пробегает как проекции, так и номера частиц, поэтомуформула (1.30) определяет объем 3N -мерного шара.Вычисление объема n-мерного шара радиуса R в n-мерном пространстве требует некоторого искусственного приема.
Запишем очевидное соотношение между объемом и радиусом: Ωn (R) = Cn Rn .Объем шара Ωn (R) и площадь ограничивающей его поверхностиSn (R) (сферы) связаны между собой как Sn (R) = ∂Ωn (R)/∂R =nCn Rn−1 . Рассмотрим теперь интегралZ∞In =Z∞dxn exp[−(x21 + · · · + x2n )] = (I1 )n ,dx1 . . .−∞−∞гдеZ∞2e−x dx =I1 =√π−∞– интеграл Пуассона. Таким образом In = (π)n/2 .Вычислим теперь интеграл In в n-мерных сферическихP 2 координатах, при этом учтем, что dΩn = Sn (R)dR, а R2 =xk :Z∞Z∞eIn =0−R2eSn dR = nCn−R2R0n−1ndR = Cn2Z∞2e−R Rn−2 dR2 .0черкивая классичность подхода, не учитывающего квантовые свойства системтождественных частиц.16Получившийся интеграл есть гамма-функция:³n´Γ2Z∞e−X X n/2−1 dX,=0таким образомIn = π n/2 =³n´nCn Γ22и Cn =π n/2,Γ (n/2 + 1)где мы воспользовались свойством гамма-функцииΓ(z) = (z − 1)Γ(z − 1).Окончательно получаем число состояний микроканоническогоансамбля, состоящего из N невзаимодействующих частиц:V N (2mπE)3N/2.N !(2π~)3N Γ (3N/2 + 1)Γ(E, V, N ) =(1.31)Поскольку число частиц велико, для представления N ! удобновоспользоваться формулой Стирлинга.
Полезно также получить иэту формулу. Вычислим приближенно Γ(z + 1) в случае z À 1 методом перевала. Представим подынтегральное выражение в видеe−t tz = e−t+z ln t = ef (t) .При больших z À 1 рассматриваемая функция имеет резкий максимум в точке t = z, следовательно функция f (t) также имеет вэтой точке максимум. Разложим ее в ряд Тейлора в окрестностиt = z с точностью до второго порядка:f (t) = −z + z ln z −1(t − z)2 .2zПолучаем:Z∞(t−z)2 /(2z)z −zΓ(z + 1) = z ee0dt =³ z ´z Z∞ee−y2/2zdy.−zПоскольку z À 1, заменим нижний предел интегрирования на −∞и получим интеграл Пуассона. Таким образом³ z ´z√Γ(z + 1) ≈ 2πze17и мы получаем искомую формулу Стирлинга:N! =√µ2πNNe¶N.(1.32)Формула Стирлинга (1.32) имеет высокую точность даже при n = 3.Подставляя формулу (1.32) в выражение для числа состояний(1.31), получаем:1Γ(E, V, N ) = √6 πNµeVN¶N µ4eπmE3N (2π~)2¶3N/2(1.33)Теперь мы можем получить выражение для энтропии рассматриваемого микроканонического ансамбля невзаимодействующиходинаковых частиц:½µ¶¾√eV34eπmES(E, V, N ) = N ln+ ln− ln( 6 πN ).
(1.34)2N23N (2π~)Поскольку ln N ¿ N , последним слагаемым в формуле (1.34) всегда можно пренебречь, тогда энтропия с логарифмической точностью равна:½¶¾µeV34eπmES(E, V, N ) = N ln+ ln.(1.35)N23N (2π~)2Поэтому говорят, что статистическая физика имеет логарифмическую точность. В дальнейшем мы везде будем этим пользоваться.18Глава 2Термодинамические соотношения2.1.Температура. Законы термодинамикиФизические величины, описывающие состояние макроскопическоготела как целого, называются термодинамическими.
В статистической физике макроскопические тела рассматриваются как ансамбли систем, которые бывают как замкнутыми и изолированными,так и незамкнутыми и неизолированными. Мы видели в предыдущей главе, что разные ансамбли описываются разными матрицами плотности и, соответственно, разными функциями распределения. Матрица плотности находилась из условий, которым долженудовлетворять соответствующий ансамбль.
Но при этом в качествеусловий ставилось либо задание энергии системы, либо энергии ичисла частиц. Все эти физические величины имеют аддитивныйхарактер. Кроме того, была введена также аддитивная характеристика ансамбля, описывающая его состояние – энтропия. Соответствующие аддитивным физическим величинам термодинамическиевеличины называют экстенсивными.
В частности, микроканонический ансамбль описывается такими величинами как энергия E,объем V , число частиц N . Это все экстенсивные термодинамические величины. Состояние микроканонического ансабля определяется этими же экстенсивными термодинамическими величинами.Но в каноническом и большом каноническом ансамблях появилисьдополнительные параметры, которые уже не аддитивны, а общиедля всех систем ансамбля. Этим параметрам соответствуют интенсивные термодинамические величины. Наша задача в данной главесостоит в том, чтобы установить связь этих параметров с феноменологическими термодинамическими величинами, такими как температура T , химический потенциал µ и другими, а также установить19связь термодинамической и статистической энтропии.Температура – одно из важнейших понятий, которое вводитсяв термодинамике.Это понятие чисто феноменологическое, котороеопределяет степень нагретости тела.
Поэтому, если два тела одинаково нагреты, они имеют одинаковую температуру: T1 = T2 . Кактермодинамическая величина, температура зависит от других термодинамических величин, т.е. T (E, V, N ). Из такого определенияполучаем, что если энергия E = 0, то и T = 0. С ростом энергиисистемы растет его нагретость, поэтому∂T>0∂EМы, как это принято в физике, будем измерять температуру в единицах энергии, эргах, связь энергетической единицы и температурыустанавливается с помощью постоянной Больцмана:T = kB T ◦ ,kB = 1, 38 · 10−16 erg/grad.Изменение энергии с изменением температуры представляет собойтакже аддитивную термодинамическую величину, которая называется теплоемкостью:µ¶∂ECV =,(2.1)∂T V,Nгде нижний индекс указывает, что при этом объем и число частицне изменяются.Энергия тела может изменяться в результате совершения имили над ним работы (изменение механической работы) δA, а такжев результате изменения его нагретости, что в термодинамике означает подвод тепла δQ.
Обе эти термодинамические величины аддитивны. При совершении механической работы изменяется объемтела, поэтому выражение работы в механике δA = f dr мы должнызаменить соответствующим выражение쵶∂EδA = −pδV, где p = −(2.2)∂V S,N– давление в системе. Изменение нагретости (подвод тепла) приводит к изменению энергии в результате изменения энтропии:µ¶∂EδQ = T δS, где T =(2.3)∂S V,N20– температура тела.Энергия системы может также изменяться в результате изменения в ней числа частиц:µ¶∂EδE = µδN, где µ =(2.4)∂N S,V– химический потенциал системы.Таким образом мы можем записать первый закон термодинамики – закон сохранения энергии (основное термодинамическое тождество):dE = T dS − pdV + µdN.(2.5)Уравнение (2.5) следует рассматривать как полный дифференциалфункции многих переменных, т.е.µµµ¶¶¶∂E∂E∂EdE =dS +dV +dN.∂S V,N∂V S,N∂N S,VСогласно основному термодинамическому тождеству (2.5) теплоемкость системы при постоянном объеме (2.1) можно выразить черезпроизводную энтропии1 :¶µ∂SCV = T(2.6)∂T V,NЭнергия – функция экстенсивных переменных: E(S, V, N ), приэтом ее производные – интенсивные термодинамические переменные, сопряженные соответствующим экстенсивным.
Прибавляя иливычитая произведения сопряженных термодинамических переменных мы можем переходить от одного набора переменных к другим.В этом случае набор термодинамических переменных для макроскопической системы по своему смыслу есть часть полного наборавеличин квантовой системы, которая описывает ее как целую. Всевозможные термодинамические функции (термодинамические потенциалы) и связь между ними приведены в таблице 2.1.1 Обычно считается, что при вычислении теплоемкости число частиц постоянно по определению, поэтому в правой части формулы (2.6) нижний индексN опускают.21Таблица 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
