Лекции по статитической физике для 1 курса магистратуры (1183863), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Во втором слагаемом в скобках правой частизаменим Hef f = −hSbz iV0 , поскольку рассматриваем случай H → 0.После несложных преобразований получаем уравнение для определения намагниченности вблизи точки перехода:A(T )M + B(T )M 3 = H(6.13)гд嵶3Tgµ0 V0A(T ) =1 + S(S + 1),S(S + 1)µ203Tµ¶µ¶21gµ0 V03V0S2 + S +.B(T ) =5gµ023T(6.14)Из уравнения (6.13), пренебрегая вторым слагаемым в левой части, определяем критическую температуру, при которой появляется спонтанная намагниченность:Tc = −gµ0 V0 S(S + 1)/3.(6.15)Как видим, спонтанная намагниченность существует только в случае gV0 < 0, т.е., учитывая определение (6.9), обменный интегралдолжен быть отрицательным.59Подставляя выражение для критической температуры (6.15) впервый член уравнения (6.13), а во втором слагаемом полагая T =Tc , получаем уравнениеα(T − Tc )M + bM 3 = H,(6.16)где α = 3/S(S + 1)µ20 .При T > Tc существует единственное решение уравнения (6.16),из которого получаем магнитную восприимчивостьχ=∂M1≈.∂Hα(T − Tc )(6.17)Решение (6.17) справедливо при (T − Tc )/Tc ¿ 1.При T < Tc и H → 0 уравнение (6.16) имеет три решения, причем решение M = 0 соответствует максимуму свободной энергии.Итак, при H = 0 получаем для (Tc − T )/Tc ¿ 1:rα(Tc − T )2M (α(T − Tc ) + bM ) = 0, или M = ±.(6.18)bВычислим теперь магнитную восприимчивость ниже критическойтемпературы.

Продифференцируем уравнение (6.16) по внешнемумагнитному полю H:¡¢α(T − Tc ) + 3bM 2 χ = 1.(6.19)Подставим в полученное уравнение выражение для спонтанной намагниченности (6.18) и получимχ¯¯≈T <Tc1.2α(Tc − T )(6.20)Выражения для намагниченности в окрестности критической температуры (6.17) и (6.20) показывают, что восприимчивость имеетособенность (χ → ∞) при T → Tc , причем слева коэффициент при(Tc − T )−1 (ферромагнитной фазе) в 2 раза меньше, чем справа (впарамагнитной фазе). Это соотношение хорошо согласуется с экспериментальными результатами.Полученные результаты позволяют записать соответствующуюдобавку к свободной энергии системы, для который гамильтониан60(6.6) учитывает дополнительное взаимодействие к основному гаb 0 , описывающему немагнитные взаимодействиямильтониану H∆F =11α(T − Tc )M 2 + bM 4 − M H.24(6.21)Из выражения (6.21) видно, что в нулевом внешнем поле при T <Tc с учетом выражения (6.18) свободная энергия понижается навеличинуα2∆F = − (Tc − T )2 .(6.22)4bКак видим, термодинамический потенциал по-прежнему остаетсянепрерывной функцией, но при этом остается непрерывной и егопервая производная по температуре.Вторая производная свободной энергии по температуре имеетразрыв, а поскольку ∆C = −(∂ 2 ∆F/∂T 2 ), мы получаем скачок теплоемкости при фазовом переходе∆C =α2Tc .2b(6.23)Последний результат с экспериментальными данными согласуетсяплохо, поскольку вблизи температуры фазового перехода теплоемкость имеет особенность степенного или логарифмического характера.6.3.Теория фазовых переходов II рода ЛандауПолученные выше результаты позволили Л.Д.

Ландау сформулировать феноменологическую теорию фазовых переходов II рода.Будем рассматривать термодинамический потенциал Φ(p, T ).Фазовый переход второго рода характеризуется тем, что системаизменяет свою симметрию. В рассмотренном выше примере притемпературе выше Tc система была изотропной, а при T < Tc появляется спонтанная намагниченность, в системе существует выделенное направление, и она больше не может рассматриватьсякак изотропная. Иными словами, система имеет более низкую симметрию. Понижение симметрии всегда может рассматриваться какустановление некоторого дополнительного порядка, который можно описать соответствующим параметром порядка.Обозначим его61буквой η. Таким образом, термодинамический потенциал при температуре ниже критической зависит не только от p и T , но и от η:Φ(p, T, η) при T < Tc . В окрестности точки фазового перехода параметр порядка должен быть малым, поэтому термодинамическийпотенциал можно разложить в ряд по его степеням:Φ(p, T, η) = Φ(p, T, 0)+α(p, T )η+A(p, T )η 2 +C(p, T )η 3 +B(p, T )η 4 +.

. .(6.24)Термодинамический потенциал в условиях равновесия имеет минимум, а поэтому в симметричной (неупорядоченной фазе) параметрпорядка η(Tc ) = 0, соответственно Φ(p, T, 0) = Φ0 (p, T ) – термодинамический потенциал в симметричной фазе.В отсутствие внешнего поля коэффициент α = 0, а для того,чтобы потенциал в упорядоченной фазе имел минимум, необходимо, чтобы A(p, T ) < 0 при T < Tc . Параметр порядка изменяется непрерывно, поэтому необходимо, чтобы в симметричной фаземинимум достигался при η = 0. Отсюда следует, что при T > Tcкоэффициент разложения A(p, T ) > 0.

Иными словами, в точке фазового перехода он меняет знак, следовательно A(p, Tc ) = 0. Из этихже требований вытекает, что C(p, T ) = 0, а для того, что минимумпотенциала в упорядоченной фазе достигался при некотором конечном значении параметра порядка, необходимо условие B(p, T ) > 0.Членами разложения более высоко порядка пренебрегаем и, такимобразом, разложение потенциала (6.24) принимает вид:Φ(p, T, η) = Φ0 (p, T ) + A(p, T )η 2 + B(p, T )η 4 .(6.25)Л.Д. Ландау предположил, чтоA(p, T ) = a(p)(T − Tc ),(6.26)где a(p) > 0, тогда он удовлетворяет необходимым требованиям. Вто же время температурная зависимость соответствует полученнойв предыдущем параграфе.Необходимое условие минимума термодинамического потенциала – равенство нулю его производной по η:∂Φ= 2a(p)(T − Tc )η + 4B(p, T )η 3 = 0,∂ηоткуда находим значение параметра порядкаη=a(p)(Tc − T ).2B(p, T )62(6.27)(6.28)Подставляя полученный результат (6.29) в разложение потенциала(6.25) и пренебрегая высшими степенями разложения по параметрупорядка, получаем добавку к энтропии в упорядоченной фазе:µ¶∂Φa(p)S=−= S0 +(T − Tc ).(6.29)∂T p2B(p, T )Мы видим, что в упорядоченной фазе энтропия понижается посравнению с энтропией в симметричной фазе.Зная энтропию в упорядоченной фазе, можем определить теплоемкость системы:Cp = Cp 0 +a(p)Tc .2B(p)(6.30)Как видим, теплоемкость системы при переходе в упорядоченнуюфазу возрастает.При наличии внешнего поля, которое обозначим как h, в выражение для термодинамического потенциала (6.25) следует добавить линейный по параметру порядка и полю член, который долженбыть также пропорционален объему системы V∆Φ = −ηhV.63(6.31).

Характеристики

Список файлов лекций