Лекции по статитической физике для 1 курса магистратуры (1183863), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Очевидно, вычислять след оператора удобно в представлении, когда операторная экспонента диагональна, т.е. в базисе собственных состояний гамильтониана. Такаявозможность реально представляется в случае, когда можно рассматривать невзаимодействующие подсистемы. То же самое можносказать и о самой подсистеме, состоящей из многих тождественныхчастиц: корректно определить состояния можно только в приближении невзаимодействующих частиц, когда хорошо определены одночастичные состояния. Поскольку в дальнейшем для нас важноезначение будет играть тип частиц, выделим в одночастичных наборах величин в явном виде проекцию спина частицы и определимполный набор величин для одночастичных состояний как |ν, σi.
Тоb 0 системы невзаимодействующих тождественгда гамильтониан H36ных частиц имеет видb0 =HXXνεν a+ν,σ aν,σ .(4.3)σНапомним, что энергия одночастичного состояния εν не зависит отспинового состояния.Запишем теперь матрицу плотности с гамильтонианом (4.3):Ã!XX−1+ρ = Z exp −βεν aν,σ aν,σ(4.4)νσи соответственно статистическую сумму:!ÃXXXXXnν,σ = N.εν nν,σ ,Z=exp −βnν,σνσν(4.5)σЗдесь мы учли, что+ζ hψ|aν,σ aν,σ |ψiζ= nν,σ .Суммирование в формуле (4.5) при дополнительном условии фиксированного числа частиц не позволяет продвинуться далее этойзаписи, поскольку многочастичные состояния имеют определеннуюперестановочную симметрию, что делает невозможным факторизацию выражения и соответственно сведение его к вычислению одночастичных статистических сумм. Действительно, для бозе-частицчисла nν,σ могут принимать любые целые неотрицательные значения, тогда как для ферми-частиц nν,σ = 0, 1.Для сравнения рассмотрим ансамбль N различимых частиц, которые тем не менее описываются совершенно одинаковыми наборами квантовых чисел и обладают одинаковым энергетическим спектром (в этом случае квантовое число σ = 0).
Пусть в состояниис набором чисел ν находится nν частиц, тогда число состояний вансамбле для такой одночастичной конфигурации равноΓν =N!,nν1 !nν2 ! . . .(4.6)а статистическая сумма такого канонического ансамбля равнаPXX−βεν nνN ! Y −βεν nνQZ=e.Γν e ν=nν ! νP {nν };P {nν };nν = Nnν = N37Обратим теперь внимание на то, что числа состояний (4.6) естьполиномиальные коэффициенты, поэтому можем окончательно записать:Ã!NX−βενZ=e= Z1N .(4.7)νДля ферми- и бозе-статистик полиномиальный коэффициент в результате суммирования не возникает, поэтому статистическая сумма не факторизуется, т.е. не сводится к одночастичной статсуммеZ1 . Оказывается, факторизацию можно провести, если снять ограничение на фиксированное число частиц.
Но в таком случае рассматриваемые ансамбли частиц будут отличаться от канонических.4.2.Большой канонический ансамбльРассмотрим теперь ансамбль подсистем большой замкнутой изолированной системы, который может обмениваться не только энергией, но и частицами с остальной частью системы.
Такой ансамбльназывается большим каноническим. Очевидно, распределение будет отличаться от полученного ранее канонического распределения,поскольку появилась дополнительная (макроскопическая) степеньсвободы, которая позволяет ввести дополнительное статистическоепонятие. Поскольку речь идет об обмене частицами, число частицв подсистемах ансамбля не фиксировано, следовательно, нам придется определять наряду со средней энергией среднее число частицhN i:Ã!Ã!XXb ρ = TrhN i = TrN(4.8)a+ aν,σ ρ ≡ Trn̂ν,σ ρ.ν,σν,σν,σДалее найдем экстремум энтропии при условии нормировки матрицы плотности и значений средних энергии и числа частиц.
В результате вариации по матрице плотности получаем³´b + λNb δρ = 0.Tr ln ρ + 1 + α + β H(4.9)Здесь введен дополнительный неопределенный множитель Лагранжа λ, который удобно переопределить как λ = −βµ. Такой выбор38знака нового параметра µ будет понятен ниже. Решение уравнения(4.9) естьbbρ = Z −1 e−β(H−µN ) ,(4.10)где нормировочный множитель – большая статистическая сумма:bbZ = Tr e−β(H−µN ) =(4.11)!!ÃÃ∞XXXX=exp βµnν,σ exp −βεν,σ nν,σ .ν,σN =0P {nν,σ };nν,σ = Nν,σДополнительное суммирование по числу частиц в формуле (4.11)позволяет факторизовать большую статистическую сумму длябозе- и ферми-частиц. Перепишем выражение (4.11) в видеZ=∞XN =0XP {nν,σ };nν,σ = NYYνexp (β(µ − εν )nν,σ ) .(4.12)σТеперь нам нужно поменять местами знаки суммирования по всембез ограничения числам частиц N и произведения по одночастичным состояниям частиц в ансамбле. Такая перестановка напоминает сведение многомерного интеграла к произведению одномерныхинтегралов по независимым переменным.
Итак, в нашем выражении (4.12) проводится двойное суммирование произведений двухсомножителей со степенями, зависящими от переменных суммирования, при этом во всем выражении встречаются сомножители совсеми возможными степенями. В такой сумме можно выбиратьлюбой порядок суммирования, например, зафиксировав степень одного сомножителя, провести суммирование по всем степеням другого сомножителя, а затем провести суммирование по всем степенямпервого сомножителя.
Легко видеть, что в этом случае сумма произведений сводится к произведению сумм. Эти рассуждения можнопроиллюстрировать наглядной схемой.Пусть ансамбль состоит из двухуровневых подсистем, т.е. ν =1, 2, и соответственно имеем nν = n1 , n2 . Нам нужно вычислить39суммуZ2 =∞XXN∞ XXan1 bn2 =aN −n bn .(4.13)N =0 n=0N =0n1 ; n2n1 + n2 = NПредставим полученную сумму (4.13) в виде схемы:1a+ba2 + ab + b2a3 + a2 b + ab2 + b3.....................Легко видеть, что суммирование по строкам данной схемы есть суммирование произведений, а суммирование “по диагоналям”, дающеетот же результат, есть произведение сумм:Ã∞!à ∞ !∞XXXXn1 n2nZ2 =a b =abk .(4.14)n=0N =0n1 ; n2n1 + n2 = Nk=0Для многоуровневых систем результат легко обобщается.Применим полученный результат для систем бозе- и фермичастиц:YY XZ=eβ(µ−εν )nν,σ .(4.15)νσ nν,σДалее в формуле (4.15) проведем суммирование для двух сортовчастиц раздельно.
Для ферми-частиц nν,σ = 0, 1, поэтому получаем´YY³ZF =1 + eβ(µ−εν ) .(4.16)νσДля бозе-частиц никаких ограничений на число частиц в данномодночастичном состоянии нет, поэтому суммирование приводит ксумме бесконечной геометрической прогрессии, однако для сходимости результата необходимо наложить ограничение на величинупараметра µ. Поскольку энергия каждой частицы ограничена, необходимо, чтобы при достаточно больших n члены суммы убывали,поэтомуµB < 0,(4.17)40и получаемZB =YY³ν1 − eβ(µ−εν )´−1.(4.18)σОграничений на параметр µF ферми-системы нет. Результаты(4.16) и (4.18) можно объединить одной записью, введя знакомыйпараметр ζ :´−ζYY³Zζ =1 − ζeβ(µ−εν ).(4.19)νσИтак, для систем невзаимодействующих тождественных частицфакторизуется большая статистическая сумма, однако следуетзаметить, что теперь сомножители (одночастичные статсуммы) соответствуют не реальным отдельным частицам, а индивидуальнымодночастичным состояниям, поэтому в сумме всегда присутствует бесконечное число сомножителей.
Такая, на первый взгляд абстрактная, ситуация на самом деле полностью отражает свойствасистем тождественных частиц: не имеет значения какая частицанаходится в системе с данной энергией, важно сколько частиц и вкаких состояниях составляют данный ансамбль.Мы логично подошли к выводу, что для системы тождественных частиц важную роль (даже, может быть, более важное, чемсама функция распределения) играет среднее число частиц в данном квантовом состоянии hnν,σ i.Запишем матрицу плотности большого канонического ансамбляρG в представлении вторичного квантования:Ã!XρG = Z −1 exp β(µ − εν )a+=ν,σ aν,σÃ=Z−1exp βν,σX!(µ − εν )n̂ν,σ.(4.20)ν,σПо определению среднее число частиц в состоянии |ν, σi естьhnν,σ i = Tr n̂ν,σ ρG .(4.21)Запишем выражение (4.21) в явном виде и учтем перестановочныесоотношения для операторов рождения и уничтожения, а именно:41операторы числа частиц в разных состояниях между собой перестановочны, поэтому при вычислении следа с оператором n̂ν,σ “зацепится” только один сомножитель в факторизованной сумме.
Получаемhnν,σ i =QP β(µ−εν )nν,σeX00β(µ−εν )nν,σ {ν ,σ 6=ν,σ} nν,σQP β(µ−ε )nnν,σ e==νν,σenν,σ{все (ν,σ)} nν,σPneβ(µ−εν )n= P β(µ−ε )n .νen(4.22)nПоследнее слагаемое в формуле (4.22) можно выразить в виде производной:X∂ln exp (β(µ − εν )nν,σ ) .(4.23)hnν,σ i =∂(βµ)nν,σПолученная в выражении (4.23) сумма уже вычислена для фермии бозе-систем:³´−ζ1∂ln 1 − ζeβ(µ−εν )= β(ε −µ)hnν,σ iζ =.(4.24)ν∂(βµ)e−ζТаким образом, получаем распределение Бозе1hnν,σ iB = β(ε −µ)(4.25)νe−1и распределение Ферми1hnν,σ iF = β(ε −µ).(4.26)e ν+1Отметим, что в полученных формулах распределений среднее число частиц не зависит от проекции спина, однако нельзя забывать,что состояние обязательно определяется набором {ν, σ}, поэтому враспределении Ферми (4.26) на данном уровне энергии могут находиться 2s + 1 частицы с разными проекциями спина, а для бозечастиц таких ограничений нет.
Тем не менее при выполнении суммирования нельзя забывать различные спиновые состояния.42Глава 5Идеальные ферми- и бозе-газы5.1.Общие свойства идеальных квантовых газовВ предыдущей главе мы получили выражение матрицы плотностив представлении чисел заполнения для канонического и большогоканонического ансамблей. При этом мы видели, что при рассмотрении системы тождественных частиц, требующих выполнения соответствующей перестановочной симметрии.
При этом необходимоучитывать число частиц в каждом квантовом состоянии. Все термодинамические свойства большого канонического ансамбля определяются из Ω-потенциала, который для идеального газа в соответствии с (4.19) определяется как¶X µµ − εk,σΩζ = ζTln 1 − ζ exp,(5.1)Tk,σгде, как и раньше, ζ = +1 для бозе-частиц и ζ = −1 для фермичастиц, εk энергия одночастичного состояния, определяемого полным набором квантовых чисел k, из которого выделены проекцияспина частицы σ.Зная Ω-потенциал, можно определить число частиц в системе:¶µXX1∂Ω==hnk,σ i.(5.2)N =−∂µ T,Ve(εk,σ −µ)/T − ζk,σk,σЭнтропия системы равнаµS=−∂Ω∂T43¶.V,µ(5.3)Зная энтропию системы (5.3), определим ее теплоемкость:µ¶∂SCV,µ = T.∂T V,µ(5.4)Для определения теплоемкости при постоянном числе частиц нужно уметь переходить от набора термодинамических переменныхT, V, µ к набору T, V, N .
Проделаем преобразования:µ ¶µ 2 ¶µ¶∂S∂ Ω∂N∂(S, T )= 1. (5.5)=−=, или∂µ T,V∂µ∂T V∂T V,µ∂(µ, N )Для идеального газа набор квантовых чисел определяется тремяпроекциями импульса k → p, и энергия равна εp = p2 /2m и независит от проекции спина. Поэтому, считая энергетический спектрнепрерывным, для системы частиц со спином s можем переписатьформулу (5.2) в виде:ZV gsdpNζ =,(5.6)3(ε−µ)/Tp(2π~)e−ζгде gs = 2s + 1 – число спиновых состояний. Для идеального газа бесструктурных (элементарных) частиц удобно перейти от интегрирования по импульсам к интегрированию по энергиям, тогдаформула (5.6) принимает вид:gs V m3/2Nζ = √2π 2 ~3Z∞0√εdε.e(ε−µ)/T − ζ(5.7)Совершенно аналогично можно переписать формулу (5.1) для Ωпотенциала:gs V T m3/2Ωζ = ζ √2π 2 ~3Z∞√³´ε ln 1 − ζe(µ−ε)/T dε.(5.8)0Проинтегрировав выражение (5.8) по частям, получаемΩζ = −2 gs V m3/2√3 2π 2 ~344Z∞0ε3/2 dε.−ζe(ε−µ)/T(5.9)Полная (внутренняя) энергия идеального газа равнаZ∞E=0gs V m3/2εhn(ε)idε = √2π 2 ~3Z∞03ε3/2 dε= − Ω.2e(ε−µ)/T − ζ(5.10)Поскольку Ω = −pV , получаем2E.3pV =(5.11)Заметим, что в полученные выражения входит зависимость от химического потенциала и температуры только в виде их отношенияµ/T .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
