Лекции по статитической физике для 1 курса магистратуры (1183863), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Рассматривая энтропию ансамбля замкнутых изолированных систем,можем записать:XXS=wν ln Γ = −wν ln wν .(1.5)ννРассмотренный ансамбль систем, которые с равными вероятностями находятся во всех возможных состояниях, обладает максимальной энтропией, поскольку мы обладаем минимальной информацией. Таким образом приходим к заключению, что в равновесномсостоянии статистическая энтропия должна быть максимальной.Это утверждение составляет один из основных законов статистической физики: в равновесном состоянии энтропия системы имеетмаксимальное значение.Вспомним теперь основные свойства матрицы плотности, рассмотренные в предыдущей главе, а именно, возможность свестиматрицу плотности к диагональному виду, в котором диагональныеэлементы имеют смысл нахождения системы ансамбля в чистом состоянии.
Следовательно энтропию можно выразить согласно определению через матрицу плотности в диагональном представлении:XS=−ρν ln ρν .(1.6)νЗаписывая теперь вероятности ρν как матричные элементы опера9тора, имеем:S =−Xhν 0 |(ρν |νihν|)|ν 00 ihν 00 |(ln ρν |νihν|)|ν 0 i =ν,ν 0 ,ν 00= − Trρ̂ν lnρ̂ν .Здесь ρ̂ν обозначает матрицу плотности, записанную в диагональном представлении.Поскольку от диагонального представления всегда можно перейти к произвольному, запишем теперь определение энтропии через оператор ρ̂ в общем виде:S = −Tr (ρ̂ln ρ̂) .(1.7)В дальнейшем будем использовать термины матрица плотностии статистический оператор.Определим теперь вид статистического оператора в рассмотренном выше случае, когда все состояния ансамбля систем равновероятны.
Поскольку нам необходимо найти максимальное значениевыражения (1.7) при условии нормировки матрицы плотности, воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Составим функционалF (ρ) = Tr (ρ̂ ln ρ̂) + λTrρ̂,(1.8)где λ – параметр, подлежащий определению, и проварьируем его:Tr(1 + ln ρ̂ + λ)δ ρ̂ = 0,или1−1+λИз условия нормировки имеем:ρ̂ =Trρ̂ =Xνc − число.1Γ== 1,1+λ1+λ(1.9)откуда получаем искомое значение параметра λ.Рассмотренный выше ансамбль замкнутых изолированных систем называется микроканоническим ансамблем.10Пусть теперь ансамбль подсистем взаимодействует с термостатом, поэтому энергия подсистемы в таком ансамбле не имеет определенного значения.
Определим матрицу плотности такого ансамбля с заданным значением энергии, которая согласно свойствамматрицы плотности по определению естьbhEi = E = Trρ̂H,(1.10)b – гамильтониан систем ансамбля.где HВновь потребуем максимума энтропии, но теперь еще при одномдополнительном условии (1.10):b ρ̂ = 0.Tr(1 + lnρ̂ + λ + β H)δПоскольку все вариации произвольны, получаемblnρ̂ = −1 − λ − β H,илиbρ̂ = e−(1+λ) e−β H .(1.11)Первая экспонента в формуле (1.11) может быть выражена черезстатистическую сумму из условия нормировки матрицы плотности Trρ̂ = 1:bTrρ̂ = e−(1+λ) Tr e−β H = 1.(1.12)ВыражениеbTr e−β H = Z(1.13)называется статистической суммой ансамбля.Можно теперь переписать выражение (1.11), используя определение (1.13):bρ̂ = Z −1 e−β H .(1.14)Оставшийся неопределенный параметр β находится из условия(1.10):b −β Hb = − ∂ lnZ.hEi = Z −1 TrHe(1.15)∂βТаким образом, параметр β определяется величиной средней энергии.Рассмотренный выше ансамбль систем называется малым каноническим или просто каноническим ансамблем.
В соответствии с11этим определением статистическая сумма (1.13) называется малойстатистической суммой.Наконец, рассмотрим ансамбль подсистем, который не тольковзаимодействует с термостатом, но и может обмениваться с нимчастицами, т.е. число частиц в подсистемах ансамбля может изменяться.
Число частиц в системе определяется определяется какb,hN i = N = Trρ̂N(1.16)b – оператор числа частиц.где NТеперь потребуем максимального значения энтропии при ещеодном дополнительном условии (1.16), введя для этого неопределенный множитель γ:b − γNb )δ ρ̂ = 0.Tr(1 + lnρ̂ + λ + β H(1.17)Из уравнения (1.17) получаем условие на матрицу плотности ансамбля:b + γNb,lnρ̂ = −1 − λ − β Hилиbbρb = e−(1+λ) e−β H eγ N .(1.18)Из условия нормировки матрицы плотности получаем статистическую суммуbbZ = Tre−β H+γ N ,(1.19)которую в диагональном представлении матрицы плотности можнозаписать какXZ=e−βEν +γNν ,(1.20)νЗдесь суммирование ведется по всем возможным состояниям ν, которые теперь включают в полный набор величин наряду с энергиейтак же и число частиц.Статистическая сумма (1.19) называется большой статистической суммой, а определенный выше ансамбль называется большимканоническим ансамблем.Зная статистическую сумму (1.19) мы можем определить параметр β так же как и в предыдущем случае, и дополнительныйпараметр γ из условия заданного числа частиц:∂bbNb e−β H+γhN i = Z −1 TrN=lnZ.∂γ12(1.21)1.2.Микроканонический ансамбльПолученные выше выражения для равновесной матрицы плотностистатистических ансамблей зависят от параметров, которые определяются из условий (1.15), (1.21), имеющих статистический (термодинамический) смысл.
Именно из этих соотношений устанавливается связь статистической физики и термодинамики.Как мы определили в предыдущем параграфе, микроканонический ансамбль описывает замкнутые изолированные системы, вкоторых сохраняется полная энергия E и определен полный объем V . При этом статистическая система состоит из макроскопически большого числа частиц N À 1. Ансамбль замкнутых системвсегда может быть определен чистым квантовым состоянием |νi,в диагональном представлении, поэтому диагональные элементыматрицы плотности определяют вероятности нахождения системыансамбля в состоянии с заданной энергией.
Совокупность этих вероятностей определяет функцию распределения. Будем в дальнейшемдиагональное представление матрицы плотности называть функцией распределения f (ν). Любое многочастичное состояние мы можем представить в виде суперпозиции одночастичных состоянийсвободных частиц, т.е. состояний с определенными импульсами pi .Соответственно энергия состояния ε в этом представлении зависитот значений квантовых чисел-импульсов всех N частиц как от параметров ε(p1 , . .
. , pi , . . . , pN ). Число состояний в таком ансамблеопределяется какXΓ=Θ(E − ε(p1 , . . . , pi , . . . , pN )),(1.22)p1 ,...,pNгде(Θ(x) =1 при x > 0,0 при x < 0– функция Хэвисайда.В равновесном состоянии (в состоянии с максимальной энтропией) вероятности всех состояний одинаковы, поэтому согласно формуле (1.9) функция распределения по состояниям микроканонического ансамбля равна:f (p1 , .
. . , pi , . . . , pN ) =131,Γ(1.23)где Γ определяется выражением (1.22). Функция распределениядолжна удовлетворять условию нормировки, которое удобно записать, перейдя от суммирования по состояниям к суммированию поэнергиям, или, с учетом квазинепрерывного спектра, к интегрированию по энергиям:X1=f (p1 , . . . , pi , . . . , pN ) =p1 ,...,pNZ=f (ε(p1 , . .
. , pi , . . . , pN ))g(ε)dε,(1.24)где плотность состояний g(ε) равна∂Γ(ε)∂Θ(E − ε(p1 , . . . , pN ))==∂ε∂ε=δ(E − ε(p1 , . . . , pN )).g(ε) =(1.25)Определим теперь функцию распределения по энергиям для микроканонического ансамбля как2f (ε) = f (ε(p1 , . . . , pi , . . . , pN ))g(ε) =1δ(E − ε).Γ(1.26)Далее мы часто будем ссылаться на случаи, когда искомые выражения могут быть получены в аналитическом виде. Наиболеераспространенным случаем в статистической физики будет случайсвободных невзаимодействующих частиц, что соответствует выборусоответствующего базиса одночастичного представления.
Поэтомуможем записатьX p2iε(p1 , . . . , pN ) =.(1.27)2mipiРассмотрим микроканонический ансамбль N независимых (“свободных”) одинаковых (тождественных) частиц. Поскольку рассматриваемые системы находятся в заданном объеме V , частицы находясь в ограниченном пространстве, не вполне свободны. С точкизрения квантовой механики это означает, что частицы находятся всвязанном состоянии. В связанном состоянии спектр обязательно2 В полном соответствии с правилом преобразования функции распределения при замене переменных (переходе из одной системы отсчета в другую).14дискретный, однако все суммирования по дискретным состояниям как правило проводить весьма затруднительно, поэтому былобы желательно перейти к интегрированию по непрерывным переменным. Мы приходим в некотором смысле к задаче, обратнойпо отношению к рассмотрению квантования свободного электромагнитного поля в нерелятивистской квантовой механике.
Итак,“свободная” бесструктурная частица характеризуется тремя степенями свободы. По каждой степени свободы имеет ограничениев пространстве, характеризуемое линейным размером Lα (здесьα = x, y или z), так что объем системы равен V = ΠLα = Lx Ly Lz .По каждой степени свободы проекция импульса частицы можетпринимать дискретные значения pnα = 2π~nα /Lα .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
