Учебник - Квантовая механика систем многих тождественных частиц - Беляев (1183823), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(Скажем для обыч2pного случая (p) = 2mминимальное значение (p)p равно нулю идостигается при p = 0).Мы рассмотрим решение с гамильтонианом (5.9) для относительно простой системы многих частиц, в которой возможна«сверхтекучесть».6.2Модель слабо неидеального бозе-газаРассмотрим газ одинаковых бозе-частиц в большом объеме Vпри нулевой температуре. Если взаимодействия между частицами нет, то в основном состоянии все частицы находятся в самомнижнем энергетическом состоянии — покое. Но это состояние будет неустойчивым, если между частицами есть взаимодействие(отталкивание).
Часть частиц будет выталкиваться на верхниеуровни. Требуется найти сколько частиц вытолкнется наверх,как они распределятся по уровням в основном, самом нижнемпо энергии состоянии, и какая структура возбуждений в этойсистеме, т.е. вид (p).Гамильтониан системы в представлении чисел заполнения запишем в видеH=X p22m++a+p ap + a−p a−p +1 X2V(6.1)+hp1 p2 |U | p3 p4 i a+p1 ap2 ap3 ap4 .(p)Для решения задачи нужны определенные приближения.Для простоты, будем считать матричный элемент взаимодей-Модель слабо неидеального бозе-газа41ствия константой g, а само взаимодействие малым, так чтотолько малая доля частиц выталкивается на верхние уровнис p 6= 0, а основная их часть (N0 ) остается в состоянии сp = 0 (в «конденсате»).
Это означает, что числа заполненияпоэтому можно считать a+np N0 = a+0 и a0 большими0 a0 , и √+числами a0 ≈ a0 ≈ N0 , пренебрегая их малой некоммутативностью.В нулевом приближении, оставляя в (6.1) только a0 и a+0,находим для взаимодействия gN02 /2V . В следующем приближе√нии два из операторов a0 или a+N0 . То,0 нужно заменить накакие операторы остаются, определяется сохранением импульсапри взаимодействии (входящий импульс должен равняться выходящему). Удобно различать импульсы по знаку (как это ужесделано для кинетической энергии в (6.1)).
Сумма всех возможных комбинаций при выборе двух операторов с ненулевыми импульсами (с учетом числа возможностей выбора двух операторовданного типа) равна++ +4a+p ap + 4a−p a−p + 2ap a−p + 2ap a−p .(6.2)В этом приближении взаимодействие принимает видU=gN02 gN0 X++ +2a++p ap + 2a−p a−p + ap a−p + ap a−p . (6.3)2VVВведем оператор полного числа частицX+N = N0 +a+p ap + a−p a−p ,(6.4)используя который, можно в (6.3) заменить N0 на N и ввестиплотность частиц n = N/V . В результате весь гамильтониан внашем приближении можно представить в видеXgN 2 X+++(εp + gn) (a+a+aa)+gn(a+p−ppp a−p +ap a−p ).−p2V(6.5)Обсудим этот промежуточный результат.Если бы последней суммы не было, то задача была бы уже+решена: операторы a+p , a−p , ap , a−p можно было бы считать операторами рождения и уничтожения некоторых «квантов» (дляH=42Сверхтекучестьсистем частиц их принято называть «квазичастицами») с энергиями εp + gn, а основное состояние считать вакуумом относительно этих квазичастиц.
Но последняя сумма в (6.5) портит этукартину, т.к. приводит к спонтанному рождению квазичастиц извакуума (и уничтожению частиц).6.3Преобразование БоголюбоваИдея следующего этапа решения: представить гамильтониан(6.5) в «хорошем» видеX+H = H0 +Ep (b+(6.6)p bp + b−p b−p ),где b+p , bp — операторы новых квазичастиц, относительно которых основное состояние является вакуумом. Из сравнения (6.6)и (6.5) очевидно, что преобразование к новым квазичастицамдолжно быть линейным.
Ищем его в виде линейных уравненийс действительными коэффициентами up и vpap =a−p =a+p =+a−p =up bp + vp b+−p ,up b−p + vp b+p,up b++vbp −p ,p+up b−p + vp bp .(6.7)Из требования,h чтобыi новые квазичастицы имели свойства бозе+операторов ( bp , bp0 = δpp0 ) вытекает условиеu2p − vp2 = 1.(6.8)Следующий шаг: две комбинации из старых операторов, входящие в гамильтониан (6.5), выразим через новые операторы: ++222a+bp bp + b+p ap + a−p a−p = 2vp + up + vp−p b−p +++ 2up vp b+p b−p + bp b−p ,(6.9)++ b + b+ ba+a+aa=2uv+2uvb+p −pp pp pp −pp p−p −p + +22+ up + vp bp b−p + bp b−p .Преобразование Боголюбова43Видно, что мы получили те же самые комбинации, которые былив гамильтониане (6.5), но только из новых операторов.
Но теперьмы можем избавиться от «плохой» комбинации операторов, выбирая параметры up , vp . Легко видеть, что после подстановки(6.9) в (6.5) «плохая» комбинация исчезает, если выполняетсяусловие(εp + gn) 2up vp + gn u2p + vp2 = 0,(6.10)а коэфициент при «хорошей» комбинации (который определяетэнергии квазичастиц Ep ) принимает видEp = (εp + gn) u2p + vp2 + gn · 2up vp .(6.11)Уравнение (6.10) содержит две комбинации из коэфициентовup , vp . Можно получить другое уравнение, содержащее те жесамые комбинации, переписав соотношение (6.8) в видеu2p − vp22= u2p + vp22− (2up vp )2 = 1.(6.12)В результате для двух комбинаций из коэфициентов up , vp , удовлетворяющих уравнениям (6.10) и (6.12), найдемεp + gnu2p + vp2 = q,(εp +gn)2 −(gn)22up vp = − qgn.(εp +gn)2 −(gn)2(6.13)Выражение для энергии квазичастиц (6.11) принимает видqqEp = (εp + gn)2 − (gn)2 = εp (εp + 2gn) .(6.14)Гамильтониан неидеального бозе-газа (6.6) полностью определен.
Возбужденные состояния характеризуются числом и видом квазичастиц, отличающихся импульсами и имеющих энергии (6.14). Основное состояние — вакуум по квазичастицам.Рассмотрим зависимость энергии квазичастиц от импульса. Видеальном бозе-газе, где взаимодействия между частицами нетp2(g = 0), энергия квазичастиц совпадает с εp = 2mи минимальноеε(p)pзначение p = 2m равно нулю. Когда есть взаимодействие, то44Сверхтекучесть2для достаточноквазичаq малых импульсов (p 4mgn) энергииqEgnpстиц Ep ≈ gnm p и минимальное значение p =m , т.е. равноконечной величине. Этоqозначает, что в неидеальном бозе-газепри скоростях меньших gnm возможна сверхтекучесть.При рассмотрении бозе-газа было предположено, что основная масса частиц находится в конденсате, а плотность надконденсатных частиц мала.
Очевидно, что жидкий гелий, где реально наблюдается сверхтекучесть, не является газом, и поэтомурассмотренная модель к нему непосредственно неприменима.Тем не менее эта модель дает пример системы, где сверхтекучесть возможна. Кроме того, решение задачи о слабо неидеальном бозе-газе, которое впервые было найдено Н.Н. Боголюбовым(вскоре после открытия сверхтекучести), открыло новые возможности в теоретической физике. Метод канонического преобразования от операторов частиц к новым «квазичастицам» сталшироко использоваться и для других задач и получил название«(u, v)-преобразования Боголюбова».6.4Историческое послесловиеСлабо неидеальный бозе-газ в природе можно образовать измолекул, которые, в отличие от атомов, слабо взаимодействуют между собой.
Если накопить достаточное число бозе-молекул(например, из двух связанных атомов 6 Li) и затем охладить этот«газ» до очень низких температур, то произойдет его конденсация в одном, самом нижнем состоянии. На такую возможностьобратили внимание Бозе и Эйнштейн в 30-х годах прошлого столетия. Но практическое осуществление этой идеи стало возможным только в конце прошлого столетия.Накопление молекул оказалось возможным только в нематериальной оболочке — магнитной ловушке. А охлаждение «газа»до температур, ниже микрокельвина потребовало использованияуникального метода лазерного охлаждения. Наблюдение и исследование свойств конденсированного состояния (из 106 – 107молекул) также требовало уникальных методов.Историческое послесловие45Осуществление бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) стало громким научным открытием и триумфом экспериментальнойфизики.Глава 7Теория сверхпроводимости7.1Введение в проблемуВ квантовой механике движение электронов через идеальныйкристалл проходит без сопротивления.
Сопротивление возникаеттолько от нарушений идеальности кристаллов, главным образомот температурных колебаний ядер решетки. Поэтому при понижении температуры сопротивление уменьшается и для чистыхметаллов (с идеальной решеткой) стремится к нулю при T → 0.В 1908 г. голландский физик Каммерлинг-Оннес, работавший в Лейдене над получением низких температур, нашел способсжижения последнего из инертных газов — гелия и охлажденияего до температур порядка 0.1 К.
Открылись хорошие возможности для исследования проводимости разных металлов и сплавовпри температурах T → 0. В то время существовали различныетеоретические предсказания. Для чистых металлов без примесейЭйнштейн предсказывал экспоненциальное затухание колебанийядер решетки (и соответствующего падения сопротивления). Нобыло также предсказание, что при T → 0 происходит закрепление электронов в атомах, что приводит к росту сопротивления добесконечности. Изучая наиболее чистые металлы: золото и платину, Каммерлинг-Оннес обнаружил падение сопротивления, носчитал, что еще более чистый образец можно получить для ртути. Измеряя ее сопротивлениепри понижении температуры, онПопытки объяснить сверхпроводимость47увидел при T ' 4.10 К резкий обрыв практически до нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
