Учебник - Квантовая механика систем многих тождественных частиц - Беляев (1183823), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Это послужило началом бурного развития новой науки — квантовой электродинамики, а затем и болееобщей теории квантованных полей.Глава 5Волновая функциясистемы тождественныхчастиц в представлениичисел заполнения5.1Представление чисел заполненияВолновая функция многих тождественных частиц полностьюопределяется указанием возможных одночастичных состояний(«ячеек»), в которых могут находиться частицы, и указаниемчисла частиц в каждой ячейке. Такое определение волновойфункции (исторически получившее название «вторичного квантования») естественно называть представлением чисел заполнения.Мы уже использовали такое описание при рассмотренииэлектромагнитного поля, где для квантов с квантовыми числами kλ вводили операторы их числа nkλ , рождения a+kλ и уничтожения akλ .
Этим способом можно описывать другие системымногих бозе-частиц.Для ферми-частиц также можно ввести операторы рождения, уничтожения и числа частиц — a, a+ , n, но их свойстваВыражения физических операторов через a и a+33должны быть другими, так как числа заполнения ячеек (состояний) |ni могут быть только 0 или 1. Очевидно, что для фермичастиц должны выполняться соотношенияa |1i = |0i ,a+ |0i = |1i ,a |0i = 0,a+ |1i = 0.(5.1)Легко убедиться, что для этого ферми-операторы должны удовлетворять условиямaa+ + a+ a = 1.5.2(5.2)Выражение физических операторовчерез a и a+Уравнение Шредингера обычно рассматривается в координатном или импульсном представлениях.
Поэтому одночастичные состояния удобно также характеризовать координатой илиимпульсом частиц, то есть непрерывными параметрами. До сихпор мы рассматривали только дискретные одночастичные ячейки, поэтому для «ячеек» с непрерывным параметром x или pнадо подправить определения свойств операторов рождения иуничтожения, приняв для бозе-частиц+0ax a+x0 − ax0 ax = δxx ,+0ap a+p0 − ap0 ap = δpp ,(5.3)+0ap a+p0 + ap0 ap = δpp .(5.4)а для ферми-частиц+0ax a+x0 + ax0 ax = δxx ,Состояния предпочтительнее характеризовать импульсом p.Если частицы обладают спином, то проекцию спина на ось zтакже следует включить в индекс p.Все физические операторы, используемые в квантовых уравнениях, можно разделить на одночастичные и двухчастичные. Кодночастичным операторам относятся такие, которые характеризуют одну частицу, например, оператор кинетической энергииˆ.
Они допускают описание матричными элементами видаhp1 | ˆ |p2 i,(5.5)34Волновая функция системы тождественных частицкоторые можно трактовать как переход частицы из состояния симпульсом p2 в состояние с импульсом p1 под действием оператора кинетической энергии ˆ.Но есть также двухчастичные операторы, связанные с изменением состояния двух частиц.
Так, например, двухчастичныйоператор взаимодействия Û можно характеризовать матричнымэлементомhp1 p2 |Û |p3 p4 i,(5.6)описывающим переход двух частиц с импульсами p3 , p4 в состояния с импульсами p1 , p2 .В представлении чисел заполнения эти операторы можнопредставить в видеXˆ =hp1 | ˆ |p2 ia+(5.7)p1 ap2 ,p1 p2Û =1 X+hp1 p2 |Û |p3 p4 ia+p1 ap2 ap3 ap4 .4p p p p(5.8)1 2 3 4Обоснованию формул (5.7) и (5.8), а также аналогичных соотношений для других одно- и двухчастичных операторов, посвящёнследующий раздел.5.3Как работать с операторами a и a+В этом разделе будут встречаться произведения несколькихоператоров a и a+ .
Их желательно выстраивать в «нормальномпорядке», когда все операторы рождения стоят слева, а все операторы уничтожения — справа. Для приведения к такому виду можно использовать следствия коммутационных соотношений (5.3) и (5.4),+a1 a+2 = δ12 ± a2 a1 ,++++ +a1 a+2 a3 = δ12 a3 ± δ13 a2 + a2 a3 a1 , (5.9)где в двойном знаке ± верхний здесь (и ниже) относится к бозечастицам, а нижний — к ферми-частицам.Как работать с операторами a и a+35Введём нормированное вакуумное состояние |0i, h0|0i = 1.Для него имеется очевидное соотношениеap |0i = 0.(5.10)Для эрмитово сопряженного состояния имеемh0|a+p = 0.(5.11)При действии на |0i оператором рождения получимa+p |0i = |pi.(5.12)Эрмитовое сопряжение (5.12) даетhp| = h0|ap .(5.13)В состоянии |pi (5.12) содержится одна частица с импульсом p.
Если на |pi подействовать оператором уничтожения, тополучим равенствоap0 |pi = |0iδpp0 ,(5.14)смысл которого таков: уничтожив существующую частицу, получим вакуум, а уничтожить отсутствующую частицу невозможнов силу (5.10). Эрмитовое сопряжение (5.14) имеет вид0hp|a+p0 = δpp h0|.(5.15)Перейдем к рассмотрению рождения второй частицы,++a+p1 ap2 |0i = ap1 |p2 i = |p1 p2 i.(5.16)Будем считать, что порядок аргументов в |p1 p2 i соответствуетпорядку действия операторов рождения в исходной формуле. Тогда в зависимости от того, имеем ли мы дело с операторами бозеили ферми-типа, при перестановке аргументов в |p1 p2 i следуетсчитать|p1 p2 i = ±|p2 p1 i.(5.17)36Волновая функция системы тождественных частицРассмотрим действие на двухчастичные состояния двух операторов уничтожения. При действии первого оператора, используя (5.9), получим+ap |p3 p4 i = ap a+p3 ap4 |0i = δpp3 |p4 i ± δpp4 |p3 i,(5.18)а при действии второго оператора ap0 найдемap0 ap |p3 p4 i = δpp3 δp0 p4 ± δpp4 δp0 p3 |0i.(5.19)Эрмитовое сопряжение (5.19) дает+hp4 p3 |a+p ap0 = h0| δpp3 δp0 p4 ± δpp4 δp0 p3 .(5.20)Теперь мы имеем все заготовки для доказательства формулдля одночастичного оператора (5.7) и оператора взаимодействия(5.8).В (5.7) слева стоит оператор ˆ, а в правую часть входит сумма матричных элементов от ˆ.
Возьмем от обеих частей (5.7)матричный элемент hp01 | . . . |p02 i,X0hp01 | ˆ |p02 i =hp1 | ˆ |p2 ihp01 |a+(5.21)p1 ap2 |p2 i.p1 p2Для того чтобы в (5.21) левая и правая части совпали, необходимо выполнение условия0hp01 |a+p1 ap2 |p2 i = δp1 p01 δp2 p02 ,(5.22)справедливость которого прямо следует из (5.14) и (5.15).Перейдем к доказательству формулы (5.8) для оператора взаимодействия. Возьмем от обеих частей (5.8) матричный элементhp01 p02 | . .
. |p03 p04 i,hp01 p02 |Û |p03 p04 i ==1X4 p1 p2 p3 p4+0 0hp1 p2 |Û |p3 p4 ihp01 p02 |a+p1 ap2 ap3 ap4 |p3 p4 i.(5.23)Как работать с операторами a и a+37Используя (5.19) и (5.20), находим+0 0hp01 p02 |a+p1 ap2 ap3 ap4 |p3 p4 i == δp1 p02 δp2 p01 ± δp1 p01 δp2 p02 δp3 p04 δp4 p03 ± δp3 p03 δp4 p04(5.24)и для правой части (5.23) получаем1Xhp1 p2 |Û |p3 p4 i ×4 p1 p2 p3 p4× δp1 p02 δp2 p01 ± δp1 p01 δp2 p02 δp3 p04 δp4 p03 ± δp3 p03 δp4 p04 ==14hp02 p01 |Û |p04 p03 i + hp01 p02 |Û |p03 p04 i±±hp02 p01 |Û |p03 p04 i ± hp01 p02 |Û |p04 p03 i .(5.25)Выражение, получившееся в правой части (5.25), равноhp01 p02 |Û |p03 p04 i,(5.26)если матричные элементы от оператора Û удовлетворяют требованиямhp1 p2 |Û |p3 p4 i = hp2 p1 |Û |p4 p3 i =(5.27)= ±hp1 p2 |Û |p4 p3 i = ±hp2 p1 |Û |p3 p4 i,что выполняется для оператора взаимодействия (5.8).Подведём итоги.
Формулы (5.7) и (5.8) доказаны, т.е. установлен вид гамильтониана для системы многих тождественныхчастиц в представлении чисел заполнения:XĤ =hp1 | ˆ |p2 ia+p1 ap2 +p1 p2+1(5.28)X4 p1 p2 p3 p4+hp1 p2 |Û |p3 p4 ia+p1 ap2 ap3 ap4 .38Волновая функция системы тождественных частицКвантовая задача многих частиц с гамильтонианом (5.28) неможет быть решена точно и требует определенных приближений.К тому же обращение с гамильтонианом в форме (5.28) требуетопределенного опыта. Мы начнем с относительно простой задачи(после некоторого введения).Глава 6Сверхтекучесть6.1Историческое отступлениеГелий при температуре T ' 40 К переходит в жидкое состояние (He I), а при дальнейшем охлаждении при T ' 2.20 К происходит еще один фазовый переход в новое состояние (He II), вкотором гелий обладает удивительным свойством «сверхтекучести»: способностью без трения протекать через узкие капиляры.Это явление было открыто П.Л. Капицей в 1938 году и подробноим исследовано.Л.Д.
Ландау нашел общее и довольно простое условие, прикотором жидкость может протекать (при достаточно малых скоростях) через капиляр без трения.Рассмотрим капиляр и протекающую через него жидкостьс постоянной скорость v. Перейдем в систему координат, связанную с жидкостью. В этой системе жидкость покоится, т.е.находится в своем самом нижнем энергетическом состоянии астенки капиляра движутся со скоростью −v. Трение означает,что некоторая энергия (и импульс p) передаются от капиляра к жидкости и в жидкости возникает возбуждение с энергией(p). В лабораторной системе (связанной с капиляром) энергиявозбуждения преобразуется к (p) + p · v.
Но в замкнутой системе «капиляр – жидкость» энергия не может возрасти, т.е.((p) + p · v) < 0. Величина (p) положительна, и для выпол-40Сверхтекучестьнение неравенства необходимо, чтобы p и v были направлены впротивоположные стороны и при этом v > min (p)p .Таким образом, величина min (p)p определяет границу скоростей. Течение со скоростью больше этой величины сопровождается трением, а свертекучее течение возможно только со скоростями, меньше этой величины. Если же минимальное значение(p)p равно нулю, то свертекучести вообще нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
