Учебник - Квантовая механика систем многих тождественных частиц - Беляев (1183823), страница 3
Текст из файла (страница 3)
На языкеуравнений Максвелла это стационарное электромагнитное полебез источников (зарядов и токов). Для его описания можно выбрать электромагнитные потенциалы с дополнительными условиямиϕ = 0, div A = 0.(1.11)Тогда уравнения Максвелла сводятся кE=−1 ∂A,c ∂tH = rotA,(1.12)1 ∂2A= 0.(1.13)c2 ∂t2Разложим векторный потенциал A в ряд Фурье по собственным колебаниям в объеме V :1 X(1.14)eλ bkλ ei(kr−ωt) + e∗λ b∗kλ e−i(kr−ωt) ,A= √V k,λ∇2 A −где каждое собственное колебание, характеризуемое волновымвектором k и частотой ω = kc, может иметь две поляризации λ.Разные колебания ортогональны, т.е.
выполняются условияZ10dV ei(k−k )r = δkk0 , eλ e∗λ0 = δλλ0 .(1.15)VДля нашего большого (макроскопического) объема суммы по kможно заменять интегралами,ZXV=⇒d3 k.(1.16)(2π)3kИз (1.14) и (1.12) найдем для электрического поля1 X E= √ik eλ bkλ ei(kr−ωt) − e∗λ b∗kλ e−i(kr−ωt) .V k,λ(1.17)Квантование электромагнитного поля17Как известно из курса электродинамики, в электромагнитной волне квадраты электрических и магнитных полей равны,поэтому полная энергия поля во всем объеме определяется интегрированием E2 по объему. При интегрировании квадрата суммы(1.17) интегралы от различных компонент исчезают в силу условий ортогональности (1.15).
В результате для полной энергииполя в объеме получимZ11 X 2 ∗W =dV E2 =k (bkλ bkλ + bkλ b∗kλ ) .(1.18)4π4πk,λДо сих пор наше описание было чисто классическим. Теперьпопробуем сформулировать ограничения, которые накладываются на полученные результаты квантовыми законами.Каждую гармонику электромагнитных колебаний (с определенным волновым вектором и поляризацией) можно сопоставитьосциллятору.
В отличие от классического описания, квантоваямеханика допускает только дискретные значения для амплитуди энергий осциллятора. Для полного квантового описания состояния электромагнитного поля в объеме следует для каждогоосциллятора (характеризуемого квантовыми числами kλ) указать его энергетический уровень nkλ . Поэтому полная энергиявсех колебаний (1.18) в квантовой механике имела бы вид суммы энергий всех осцилляторов XX1~ω +W =~ω nkλ +=akλ akλ + akλ a+(1.19)kλ ,22k,λk,λгде операторы akλ , a+kλ , nkλ связаны соотношениями+nkλ = a+akλ , ak0 λ0 = δkk0 δλλ0 ,kλ akλ .(1.20)Выражение (1.18) перейдет в (1.19) при формальной заменеrr2π~c22π~c2 +∗akλ ,akλ .(1.21)bkλ =⇒bkλ =⇒ωωПри этом векторный потенциал (1.14) примет видr2π~c2 X −i(kr−ωt)A=eλ akλ ei(kr−ωt) + e∗λ a+e.(1.22)kλVωk,λ18Квантовые системыВведение «квантовых осцилляторов» (различающихся значениями kλ) позволило сделать заключение о том, что состояние всей системы определяется уровнями, на которых находитсякаждый из осцилляторов, т.е.
параметрами nkλ , а энергия поляменяется дискретными порциями, равными расстояниям междууровнями для каждого осциллятора ~ω ≡ ~ωkλ .Состояние такой системы в представлении чисел заполненияописывается перечислением возможных «одночастичных» состояний (разные kλ) и чисел их заполнения (nkλ ), изменение которых производится действием операторов akλ , a+kλ .Будем трактовать полученные результаты иначе. Забудем обосцилляторах и будем считать, что порции энергий ~ω принадлежат реальным физическим объектам, «квантам» или «фотонам». Так, если осциллятор с частотой ωkλ находился на уровнеnkλ , то это означает, что в системе есть nkλ квантов этого типа. Переход осциллятора вниз или вверх соответствует рождению или уничтожению такого кванта. Другими словами, состояние электромагнитного поля описывается как «газ» квантовфотонов.Очевидно, что наши кванты являются бозе-объектами, т.к.в одном и том же состоянии kλ может находиться любое количество «квантов».
Своеобразие такого «бозе-газа» квантов —несохранение их числа.Надо сознавать, что понятие «кванта» или «фотона» было введено чисто умозрительно для альтернативной трактовкиспектра возбуждений электромагнитного поля. Реальность этихпонятий требует, конечно, экспериментального подтверждения,например, наблюдением их излучения или поглощения. Этот вопрос рассматривается ниже.Глава 2Взаимодействиезаряженных частицс полем2.1Излучение и поглощение фотоновУчет наличия внешнего электромагнитного поля в уравнении Шредингера (при выборе потенциалов в калибровке (1.11))производится заменой кинетической энергииp22m⇒1 e 2p− A ,2mc(2.1)так что в первом порядке по полю взаимодействие заряженнойчастицы с этим полем равноHint = −e(p · A)mc⇒1− (j · A) .c(2.2)При использовании в (2.2) для A значения (1.22) для квантованного поля, поправка к гамильтониану Hint описывает излучение и поглощение фотонов системами заряженных частиц.
Дляоценки этих эффектов используем общую формулу теории возмущений для переходов в непрерывный энергетический спектр с20Взаимодействие частиц с полемплотностью ρE ,w=E22π Df f, n̄kλ |Hint | i, n̄ikλ ρE .~(2.3)Это выражение описывает процесс, в котором система заряженных частиц (атом, молекула, ядро, . . . ) излучает (при n̄fkλ =n̄ikλ + 1) или поглощает (при n̄fkλ = n̄ikλ − 1) квант kλ, когдав начальном состоянии поля было nikλ квантов. Изменение n̄fkλвозникает от операторов akλ или a+kλ . Их матричные элементыможно получить, используя формулыn̂kλ = a+kλ akλ ,n̂kλ + 1 = akλ a+kλ .(2.4)В матричном представленииnkλ = hnkλ |a+kλ |nkλ − 1ihnkλ − 1|akλ |nkλ i,nkλ + 1 = hnkλ |akλ |nkλ + 1ihnkλ + 1|a+kλ |nkλ i.(2.5)Множители в правых частях (2.5) эрмитово сопряжены, поэтомуnkλ = |hnkλ − 1|akλ |nkλ i|2 ,2nkλ + 1 = |hnkλ + 1|a+kλ |nkλ i| .
(2.6)Вероятности излучения (e) и поглощения (a) в (2.3) отличаются только матричными элементами (2.6). В итоге для отношения вероятностей излучения we и поглощения wa одинаковыхквантов находимwen̄ + 1=.(2.7)wan̄2.2Историческое отступлениеИсследование взаимодействия излучения с веществом имеетдавнию историю. Камни от солнца нагреваются (и температура зависит от их цвета). И наоборот нагретое железо начинаетсветиться и с повышением температуры меняет цвет.
И когданаучились измерять температуру и длину волны (частоту) излучения, то пытались установить зависимость спектра излученияот температуры.Историческое отступление21Но оказалось, что такого общего закона не существует, онразличен для каждого вещества, характера его поверхности.
Возникла идея установить этот закон для определенного материального образца, так чтобы можно было сравнивать и уточнять результаты, полученные разными исследователями. Так возникламодель «абсолютно черного тела», которое полностью поглощаетпадающее на него излучение и ничего не излучает наружу.Представим себе полый шар (типа футбольного меча), но изметалла, с очень маленьким отверстием.
Если в это отверстиепройдет луч света (или другого излучения), то он будет многократно отражаться от стенок, но вероятность его выхода наружу очень мала, практически нулевая. При нагревании шара еговнутренняя поверхность будет излучать и его спектр будет меняться в зависимости от температуры. Очень малая часть этогоизлучения будет выходить из отверствия, что дает возможностьизмерять спектр излучения.В конце 19 века эти исследования проводились в несколькихлабораториях с возрастающей точностью и результаты активнообсуждались на научных собраниях (в основном Немецкого физического общества).
В 1896 году Вин (W. Wien) установил, чтоинтенсивность излучения быстро (экспоненциально) падает приувеличении отношения ω/T . Но довольно быстро Релей и Джинс,изучая тепловое (низкочастотное) излучение, нашли, что его интенсивность, наоборот, растет с ростом ω/T .Наконец, в декабре 1900 года на заседании немецкого физического общества Макс Планк предложил единую формулу, которая для высоких частот переходила в «закон Вина», а для малыхчастот — в закон Релея-Джинса. Для этого Планку потребовалось ввести новый параметр ~, получивший с тех пор название«постоянной Планка».
Это принято считать началом квантовоймеханики, хотя до ее реального создания потребовалось почтичетверть века. Полезно взглянуть на место формулы Планка всегодняшней квантовой механике. Этому посвящена следующаяглава.Глава 3Излучение в равновесиис веществом3.1Распределение ПланкаРассмотрим процессы, происходящие внутри абсолютно черного тела, с точки зрения квантовой механики. При нулевой абсолютной температуре все атомы материала стенки находятся восновном состоянии. При нагревании они переходят в возбужденные состояния и начинают излучать.
При фиксированнойтемпературе устанавливается равновесие между излучением ивеществом. Легко сформулировать условие равновесия.Рассмотрим два уровня некоторого атома, верхний (u) и нижний (d) с энергиями Eu и Ed . При переходах между этимиуровнями излучаются и поглощаются кванты с энергией ~ω =(Eu − Ed ). В равновесии число переходов вверх и вниз равно, чтоможно записать в видеwe Nu = wa Nd ,(3.1)где we и wa вероятности излучения и поглощения, отношениекоторых определено в (2.7), а Nu , Nd числа частиц в верхнем инижнем состояниях, отношение которых в термодинамическомРаспределение Планка23равновесии определяется соотношением Гиббса,NuEd − Eu~ω= exp⇒ exp −.NdkTkT(3.2)Из (3.1) с учетом (2.7) и (3.2) получаемwen̄ + 1Nd=== expwan̄Nu~ωkT,(3.3)откуда для распределения квантов внутри объема по их частотенаходим1n̄ =.(3.4)~ωexp kT − 1От n̄, среднего числа квантов в объеме V , удобно перейти кплотности энергии излучения,ρ(ω)dω = n̄ × ~ω × (число квантовых состояний в= n̄ × ~ω ×4πω 2 dω(2πc)3dωV)=× (2 поляризации).(3.5)В результате для плотности энергии излучения, находящегося вравновесии с веществом, получаем распределение Планкаρ(ω)dω =~ω 3 dω1·.~ω23π cexp kT − 1(3.6)При больших частотах, когда ~ω kT , единицей в знаменателе (3.6) можно пренебречь и формула переходит в закон Вина,~ω~ω 3 dω.(3.7)ρ(ω)dω ≈ 2 3 exp −π ckTВ обратном предельном случае, оставляя два первых члена вразложении экспоненты, получаем выражениеkTρ(ω)dω ≈ 2 3 ω 2 dω,(3.8)π cкоторое не содержит ~, совпадает с классическим распределением энергии по степеням свободы и называется законом Рэлея –Джинса.243.2Излучение в равновесии с веществомА если равновесие излучения свеществом нарушить? ЛазерыРавновесное распределение атомов вещества определяетсяраспределением Гиббса (3.2), при котором верхний уровень всегда заселен меньше нижнего.
Что произойдет, если верхний уровень более заселен, чем нижний? Равновесие будет восстанавливаться с излучением квантов. И т.к. вероятность излученияпропорциональна числу уже имеющихся квантов, то если равновесие было нарушено в большом объеме вещества, мощностьизлучения будет нарастать лавинообразно.Как создать неравновесную заселенность в большом объеме?Это можно сделать, если закачать в вещество энергию и перевести достаточно большое число атомов в состояния, лежащие выше двух «рабочих уровней», причем таких, переходы с которыхмогут происходить на верхний рабочий уровень, что и приведетк инверсной заселенности.Созданием условий для такого излучения и его использованием занимаются специалисты в области физики лазеров —источников мощного когерентного излучения (LASER — LightAmplification by Stimulated Emission of Radiation). Для неспециалиста работа лазера очевидна — превращать обычную энергию(скажем, электрическую) в луч света (разной, но фиксированной частоты).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
