Учебник - Квантовая механика систем многих тождественных частиц - Беляев (1183823), страница 4
Текст из файла (страница 4)
На самом деле, лазеры различаются по виду используемого вещества (твердотельные, газовые, . . . ), по способуи виду подводимой энергии, по мощности, характеру излучения(непрерывному, импульсному), по области излучаемых частот(инфракрасные, видимые, рентгеновские, . . . ), по качеству пучка(ширина излучаемой частоты, длина импульса, . . . ). Создаютсяпринципиально новые типы лазеров — «лазер на свободных электронах», использующий в качестве вещества электронный пучок.Расширяются и области применения лазеров. Иногда лазерыприменяются в самых неожиданных областях. Например, дляохлаждение разреженных газов до рекордно низких температурв доли микрокельвина.
Этот уникальный метод «лазерного охлаждения» заслуживает более подробного рассмотрения.Метод лазерного охлаждения3.325Метод лазерного охлажденияВыражение «лазерное охлаждение» кажется странным. Лазерный луч — поток энергии. Как он может что-то охладить? Однако такая возможность возникает, если кванты в пучке имеютстрого одинаковую энергию, причем с очень большой точностью.Именно лазеры могут иметь требуемое качество пучка.Лазерное охлаждение основано на трех простых законах физики.1.
При поглощении кванта передается не только энергия, нои импульс. Поэтому пучок атомов, движущийся навстречу лазерному пучку, при поглощении фотонов будет тормозиться(наимпульс фотона). Конечно, при последующем излучении кванта атомы будут приобретать такой же импульс. Но так как излучение может происходить во все направления, то в среднемпроисходит торможение пучка.Однако, если же атомы движутся по направлению лазерногопучка, то таким же образом они в среднем будут ускоряться. Понятно, что если создать такие условия, когда фотоны поглощаюттолько атомы, движущиеся навстречу пучку, а движущиеся попучку — не поглощают, то будет происходить только охлаждение.Это можно сделать, основываясь на двух физических законах:2.
«Порог поглощения фотонов атомами»: атомы в основномсостоянии могут поглощать фотоны только с энергией, не меньше расстояния до первого возбужденного уровня.3. Эффект Доплера: атомы, движущиеся навстречу лазерному пучку «видят» фотоны большей энергии, движущиеся попучку — меньшей энергии.Если выбрать лазер, излучающий фотоны с энергией, немного ниже порога поглощения, но так что для атомов, движущихсянавстречу пучку (в некотором конусе телесных углов), фотоныбудут уже выше порога поглощения. Тогда эти атомы будут охлаждаться, а межатомные столкновения будут приводить к охлаждению всего газа.Для повышения эффективности используют несколько тождественных лазеров: по два встречных лазера по всем трем осям.26Излучение в равновесии с веществомИменно таким способом были получены рекордно низкие температуры (ниже 1 µK ), при которых стало возможным наблюдать«бозе–эйнштейновскую конденсацию» молекулярного газа, о чембудет сказано ниже.Глава 4Лэмбовский сдвиг4.1Историческое отступлениеКак уже рассматривалосьв разделе 1.2, в точном решенииуравнения Шредингера для атома водорода первый возбужденный уровень (n = 2) четырехкратно вырожден по моментамl = 0, 1 (состояния 2s и 2p).В уравнении Дирака состояния водорода характеризуютсятакже полным моментом j, суммой орбитального и спинового,поэтому можно говорить о состояниях 2s 1 , 2p 1 , 2p 3 .
В решении222уравнения Дирака уровень n = 2 расщепляется на два уровня cj = 12 и j = 23 . Так что состояниях 2s 1 и 2p 1 остаются вырож22денными.Свойства состояний 2s 1 и 2p 1 качественно различны. Состо22яние 2p 1 — обычное короткоживущее с временем жизни 10−9 c,2переходящее в основное состояния после излучения самого «вероятного» дипольного кванта. А состояние 2s 1 живет необычно2долго (на 8 порядков дольше). Его переход в основное состояниес излучением любого кванта запрещен и может происходить сочень маловероятным излучением двух квантов.Почему столь различные состояния имеют одинаковую энергию? Может быть их энергии все же различны? И существуютв природе явления, выходящие за рамки квантовой механики,28Лэмбовский сдвигкоторые приводят к расщеплению этих состояний?Еще до 2-й мировой войны разность энергий двух состояний пытались определить экспериментально, сравнивая энергииэлектромагнитных переходов из верхних уровней атома в каждоеиз этих состояний.
Определенного результата получить не удалось из-за больших экспериментальных ошибок. Наиболее убедительным экспериментом было бы наблюдение прямого перехода между состояниями 2s 1 и 2p 1 под действием резонансного22радиоизлучения. Однако до войны генераторы радиоизлучениябыли слишком несовершенны.После войны, в 1947 г., произошел прорыв как в экспериментальной, так и в теоретической области.Теоретики предположили, что если электромагнитное полеполностью подчиняется квантовым законам, то даже при отсутствии зарядов и токов, то есть в вакууме, должны существоватьфлуктуации электромагнитного поля, которые приведут в увеличению энергии состояния 2s, другими словами, к расщеплениюуровней.Колоссальный прогресс радиолокации за время войны, гдеиспользовалось радиоизлучение близкого, лишь на порядок более длинноволнового диапазона, дал возможность У. Лэмбу измерить расщепление уровней, которое совпало с теоретическимпредсказанием.Так произошло открытие новой области физики — квантовойэлектродинамики.4.2Флуктуации электромагнитного поляв вакуумеВ разделе 1.4, где рассматривалось квантование электромагнитного поля, для его полной энергии в объеме V было полученовыражение (1.19)X1W =~ω nkλ +(4.1)2k,λФлуктуации электромагнитного поля в вакууме29где nkλ оператор числа квантов с квантовыми числами kλ.Из выражения (4.1) следует, что даже если в объеме V никаких квантов нет, т.е.
в вакууме, энергия поля не равна нулю.Для каждой гармоники kλ остается энергия1Ekλ = ~ωkλ .(4.2)2Как это следует понимать? Если есть электромагнитная энергия, то должны быть электрическое и магнитное поле. Куда онинаправлены? Ведь в вакууме нет никакого выделенного направления.
Остается предположить, что поля переменные, флуктуирующие, так что их средние значения равны нулю, а отличны отнуля средние значения квадратов полей, т.е.11 21 2Ekλ = ~ωkλ =Eω + Hω2 V =E V.(4.3)28π4π ωИз (4.3) находим для квадрата электрического поля гармоники kλ2πEω2 =~ωkλ .(4.4)VПод действием этого поля электрон в атоме водорода колеблется с амплитудой ξ, которую можно оценить из уравненияНьютона,eEω .(4.5)mξ¨ω = eEω ,ξω = −mω 2Для среднего квадрата амплитуды колебаний (дрожания) найдем e 22π ~e22 =ξω2 =E.(4.6)ωmω 2V m2 ω 3Если учесть все колебания, с разными частотами и поляризациями, то суммируя (4.6), найдемZZ2π ~e2N (ω)2~e2dω2ξ =dω =,(4.7)2323V mωπm cωгде в последнем равенстве использована часть выражения (3.5)для числа состоянийN (ω)dω = V4πω 2 dωV ω 2 dω2=.(2πc)3π 2 c3(4.8)30Лэмбовский сдвигИнтеграл по ω в (4.7) логарифмически расходится и его следует обрезать на нижнем и верхнем пределах. В исходных уравнениях рассматривалось классическое уравнение Ньютона длясвободного электрона, поэтому естественно брать значения ω, невыводящие из этих предположений: в качестве нижней границы— энергию связи электрона в атоме, а для верхней границы —mc2 , т.е.
2 2Ze222 Zemc ≥ ~ω ≥ mc≡ 2.(4.9)~c~ /(Zme2 )В результате квадрат амплитуды «дрожания» электрона в атоме выражается через атомный размер a0 и постоянную тонкойструктуры α,2~e2f2 2 3f2ξ =ln= a0 · α · ln,(4.10)πm2 c3(Zα)2π(Zα)2где f — число порядка единицы.Рассмотрим теперь электрон в атоме, где его взаимодействиес ядром определяется потенцилом U (r). При смещении электрона ξ действующий на него потенциал будет U (r + ξ) и его усредненное по дрожанию значение приводит к изменению среднегопотенциала,∂21U (r + ξ) − U (r) ≈ ξ · ∇U (r) + ξα ξβU.2∂ξα ∂ξβ(4.11)Учитывая, что отличны от нуля только средние от квадратовкомпонент ξα , найдем для поправки к потенциалу электрона ватоме ,1δU = U (r + ξ) − U (r) ≈ ξ 2 ∇2 U (r).(4.12)6Для водородоподобного атомаU (r) = −Ze2,r∇2 U (r) = 4πZe2 δ(r).(4.13)В первом порядке теории возмущений поправка к энергииопределяется средним значением потенциала возмущения.
ДляИсторическое послесловие31возмущения δU (4.12), с учетом (4.10) и (4.13), находим поправкук энергии для водородоподобного атома в состоянии nl,f4 Ze4 ~Enl =ln|Ψnl (0)|2 ,(4.14)3 m2 c3(Zα)2гдеZ3~2,a=.(4.15)πa3 n3me2Волновая функция электрона в атоме при r = 0 отлична отнуля только для l = 0 и быстро уменьшается с увеличениемn. Поэтому основной эффект — смещение вверх состояния 2s 1 ,2величина которого хорошо совпадает с результатом измерения(1057.91±0.01 МГц — теория, 1057.90±0.06 МГц — эксперимент).|Ψnl (0)|2 =4.3Историческое послесловиеЧастный вопрос о наличии расщепления уровней атома водорода оказался лишь истоком более глубоких и принципиальныхпроблем — привел к осознанию связи электромагнитного поля сквантовыми законами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
