Учебник - Квантовая механика систем многих тождественных частиц - Беляев (1183823), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Такв 1911 г. была открыта «сверхпроводимость» — резкое падениесопротивления (практически до нуля) при конечных температурах Tc . Причем это явление наблюдалось затем для большинстваметаллов и сплавов при достаточно низких температурах Tc7.2Попытки объяснитьсверхпроводимость на основеклассической электродинамики (каксостояние идеального проводника)В каком состоянии находится проводник при температурахниже Tc ? Естественный ответ — в состоянии идеального проводника, где движение электронов определяется только электромагнитным полем, а какое-либо трение отсутствует. Этому соответствует уравнение движения mv̇ = eE и т.к. плотность тока связана с плотностью электронов ρ как J = eρv, то получаем связьэлектрического поля с плотностью тока в видеE=mJ̇.ρe2(7.1)Теперь, используя уравнение Максвелла rotE = − 1c Ḣ, исключим E и получим связь между производными по времени отH и J,mcḢ = − 2 rot J̇.(7.2)ρeНайдем еще одну связь между H и J.
Учитывая, чтоdiv H = 0 и, следовательно, rot rot H = − 52 H, из уравненияМаксвелла rot H = 4πc J (малым током смещения пренебрегаем)найдем 52 H = − 4πc rot J. Дифференцируя это равенство по времени и комбинируя с (7.2), получаем уравнение для производнойпо времени от магнитного поля,λ2L 52 Ḣ − Ḣ = 0,λ2L =mc2.4πρe2(7.3)48Теория сверхпроводимостиКонстанта λL , имеющая размерность длины, при типичных дляe2−13 см имеет порядокметаллов значений ρ ∼ 1022 см−3 , mc2 ∼ 10−5величины λL ∼ 10 см.Физический смысл уравнения (7.3) легко понять при рассмотрении частного случая. Пусть ось x направлена перпендикалярно поверхности сверхпроводника, и значение x = 0 совпадаетс поверхностью. Уравнение (7.3) в этом одномерномслучае,2dx2λL dx2 Ḣ − Ḣ = 0, имеет решение Ḣ(x) = Ḣ(0) exp − λL , чтоозначает, что внутри идеального проводника Ḣ = 0, т.е.
магнитное поле не меняется. Это свойство полезно проиллюстрироватьна двух мысленных экспериментах.Пусть температура образца сверхпроводника T > Tc и магнитное поле H = 0. Охлаждаем образец до T < Tc , а затемнакладываем магнитное поле. Оно огибает сверхпроводник, новнутрь не проникает («идеальный диамагнетик»).Меняем порядок процедур: сначала (при T > Tc ) включаем магнитное поле, которое проникает внутрь образца, а затемпонижаем температуру, переводим образец в сверхпроводящеесостояние.
Поле внутри образца не меняется, даже после выключения источника поля.Таким образом намагниченность идеального проводника неопределяется однозначно внешними условиями, а зависит от последовательности событий.7.3Эффект МейснераСверхпроводники считались идеальными проводниками в течение 22-х лет после открытия.
Но в 1933 г. Мейснер и Оксенфельд измерили распределение магнитного потока около сверхпроводников и установили, что случай магнитного поля, замороженного внутри сверхпроводника, не осуществляется. Поле внутри сверпроводника всегда равно нулю, т.е. он всегда идеальныйдиамагнетик.Вопрос: в нашем втором мысленном эксперименте до перехода в сверхпроводящее состояние внутри образца было поле. КакТеория Лондонов49оно исчезло при охлаждении до T < Tc ? Ответ: при переходе всверхпроводящее состояние возникают поверхностные токи, создающие такое магнитное поле, которое полностью компенсируетуже существующее поле внутри сверхпроводника.7.4Теория ЛондоновВ 1935 г. Ф. и Г.
Лондоны предположили, что уравнения, которые считали справедливыми для Ḣ (в частности (7.3)) следуетсчитать уравнениями для H. Тогда объяснялся эффект Мейснера. Хотя эта теория не имела твердого обоснования, она сталаобщепризнанной. Константу λL , определяющую толщину переходного слоя у границы сверхпроводника, стали называть «лондоновской длиной». В обоснование этой теории можно привестинекоторые квантово-механические аргументы.Уравнение Шредингера в магнитном поле (в отсутствие электрического поля) имеет вид∂Ψ1 e 2i~=−i~ 5 − A Ψ + U Ψ,(7.4)∂t2mcи можно считать, что div A = 0. Из этого уравнения и ему сопряженного найдем уравнение непрерывности в виде∂|Ψ|2 + divj = 0,∂tгде плотность тока равна(7.5)1e(Ψ∗ p̂Ψ − Ψp̂Ψ∗ ) −A |Ψ|2 .(7.6)2mmcВ стационарном однородном металле можно считать, что волновая функция не зависит от координат и главным является последний член, т.е.
можно принять для токаeeρj'−A |Ψ|2 = −A.(7.7)mcmcРотор от этого уравнения приводит к уравнению Лондонов,mcH = rotA = −rot j .(7.8)eρj=50Теория сверхпроводимостиОт открытия сверхпроводимости (1911 г.) до создания теорииЛондонов (1935 г.) прошло 24 года. Но настоящей микроскопической теории, в которой рассматриваются электроны в кристаллеи их взаимодействие, еще долго не было, несмотря на постоянныепопытки ее создания.7.5Дорога к микроскопической теориисверхпроводимостиТакая теория была создана только в 1957 г. Почему потребовалось так много времени? Была уже создана теория сверхтекучести бозе-газа.
Казалось бы сверхпроводимость это сверхтекучесть заряженной «электронной жидкости». Но электроны,в отличие от гелия, — это не бозе-, а ферми-частицы. Даже двеферми-частицы не могут находиться в одном состоянии, поэтомуиз них невозможно образование конденсата. Правда, два электрона в связанном состоянии образуют бозе-частицу. Но как онимогут связаться, если одинаково заряжены и отталкиваются?Правда, в металле заряд электронов полностью компенсированзарядом ионов, но для связи нужно притяжение.В 1950-51 гг.
независимо Г. Фрёлих и Дж. Бардин теоретически установили, что электроны взаимодействуют с колебаниямирешетки (фононами). То что это взаимодействие, несмотря наего малость, играет роль в сверхпроводимости, подтвердилосьэкспериментально в обнаружении «изотопического эффекта» —зависимости критической температуры Tc от изотопного составаядер кристаллической решетки.Электрон-фононное взаимодействие во втором порядке теории возмущений приводит к слабому притяжению между электронами. Но согласно законам квантовой механики при слабомпритяжении связанное состояние возможно в одномерном и двумерном пространствах, а в трехмерном пространстве — невозможно.Ключевая идея была предложена молодым американскимфизиком Л.
Купером в краткой заметке, опубликованной в конце1956 г. Его идею можно понять на простой электронной моделиДорога к микроскопической теории сверхпроводимости51металла. Представим, что весь положительный заряд кристалла равномерно размазан по объему металла («модель желе») иполностью компенсирует заряд электронов. Задача о невзаимодействующих ферми-частицах была решена в разделе 1.1.Одночастичные состояния можно характеризовать импульсом (и спином).
В основном состоянии системы невзаимодействующих фермионов все состояния внутри сферической поверхности Ферми заняты, а выше поверхности Ферми — свободны.Изменить свое состояние без большой затраты энергии могут лишь электроны вблизи ферми-границы, немного повысивэнергию и двигаясь вокруг сферы Ферми. Но это означает, чтоэлектроны вблизи ферми-поверхности находятся не в трехмерном, а в двумерном пространстве, а в этом случае, как отмеченовыше, могут образовывать связанные состояния даже при слабом притяжении.
Такие пары связанных электронов получилиназвания «куперовских пар».«Эффект Купера» явился последней подсказкой. Через полгода вышла работа Дж. Бардина, Л. Купера и Дж. Шриффера(БКШ). С точки зрения математики теория БКШ не была идеальна. Н.Н. Боголюбов предложил более общий метод канонических преобразований (аналогичный, использованному им длябозе-газа).Глава 8Теория сверхпроводимостиБКШЦентральное предположение: в основном состоянии металла(при нулевой температуре) все электроны металла вблизи поверхности Ферми связаны в куперовские пары.8.1Основное состояние сверхпроводника.«Куперовские пары»Притяжение электронов очень мало, поэтому при образовании связанного состояния следует экономить на движении центра масс пары и рассматривать только состояния двух электронов с равным нулю суммарным импульсом.
Пусть в состояниях|pi и |p̄i электроны обладают противоположными импульсамии спинами. Тогда вектор основного состояния сверхпроводника|Ψ0 i можно представить в видеY+|Ψ0 i =up + vp a+(8.1)p ap̄ |0i,pгде произведение берется по парам (p, p̄), а |0i — вектор состояния вакуума по частицам (обычным образом нормированный наОсновное состояние сверхпроводника53единицу: h0|0i = 1).
Из условия нормировки получим:hΨ0 |Ψ0 i = 1=⇒u2p + vp2 = 1.(8.2)Заселенности np и np̄ состояний |pi и |p̄i оказываются одинаковыми и равными2np = hΨ0 |a+p ap |Ψ0 i = vp ,2np̄ = hΨ0 |a+p̄ ap̄ |Ψ0 i = vp .(8.3)Таким образом, величина vp2 представляет собой вероятность существованиякуперовскойпары(p, p̄),тогдакак22up = 1 − vp — это вероятность того, что пара состояний (p, p̄)является свободной.Рассмотрим, как действуют операторы уничтожения и рождения частиц в состояниях |pi и |p̄i на вектор основного состояния сверхпроводника |Φ0 i. Вычисления даютQ + +00au+vaap |Ψ0 i =vp a+00pp p p̄ |0i,p̄p0 6=p Q+ +00u+vaaap̄ |Ψ0 i = −vp a+pp p0 p̄0 |0i,pp0 6=p (8.4)Q+aa+up a+up0 + vp0 a+|0i,00p |Ψ0 i =pp p̄p0 6=p Q++ +00a+|Ψi=uau+vaa000p p̄pp p p̄ |0i.p̄p0 6=pОтсюда видно, чтоup ap − vp a+p̄ |Ψ0 i ≡ 0,up ap̄ + vp a+p |Ψ0 i ≡ 0.(8.5)Следуя аналогии с решением задачи о бозе-газе, будем считать, что основное состояние системы |Ψ0 i является вакуумом поквазичастицам, а возбуждения системы описываются как рождения квазичастиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
