Учебник - Квантовая механика систем многих тождественных частиц - Беляев (1183823), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Из соотношений (8.5) ясно, что операторыуничтожения квазичастиц представляют собой линейные комбинации операторов уничтожения и рождения частиц:bp = up ap − vp a+p̄ ,bp̄ = up ap̄ + vp a+p.(8.6)54Теория сверхпроводимости БКШСоответственно операторы рождения квазичастиц выглядят следующим образом:+b+p = up ap − vp ap̄ ,+b+p̄ = up ap̄ + vp ap .(8.7)Легко проверить, что условие (8.2) обеспечивает справедливостьправил антикоммутации для операторов уничтожения и рождения квазичастиц (ферми-операторов).8.2Микроструктура основногосостояния сверхпроводникаВ отсутствие взаимодействия основное состояние электронов — заполненная ферми-зона.
При возбуждении электрон переходит в состояние над ферми-поверхностью, а на его месте образуется дырка. Т.е. элементарное возбуждение вблизи основного состояния — это электрон–дырочные пары.Если основное состояние (все состояния с p < pF заполнены,а с p0 > pF свободны) считать вакуумом, то электрон-дырочноевозбуждение рождается оператором a+p0 ap .Слабое притяжение между электронами от обмена фононами дает надежду, что определенные суперпозиции электрондырочных возбуждений дают выигрыш в энергии.
Куперовскиепары и являются такими комбинациями. Гамильтониан системы(куперовские пары над основным состоянием) в представлениичисел заполнения можно представить в видеXXX++Ĥ =p a+a+ap̄0 ap0 ,(8.8)p ap + ap̄ ap̄ − gp ap̄ppp0где первый член — кинетическая энергия электронов, отсчитыp2ваемая от энергии Ферми εF (p = 2m− εF ), а второй член описывает притяжение между электронами с одним параметром g,имеющим порядок фононной энергии.Свойства сверхпроводников55Гамильтониан можно выразить через квазичастицы, используя каноническое преобразование, обратное к (8.6), (8.7):ap = up bp + vp b+p̄ ,ap̄ = up bp̄ − vp b+p,+a+p = up bp + vp bp̄ ,+a+p̄ = up bp̄ − vp bp .(8.9)Гамильтониан (8.8), выраженный через операторы квазичастиц b+p , bp , должен иметь «правильный» вид:Ĥ = H0 +X+Ep b+p bp + bp̄ bp̄ ,(8.10)pгде H0 — среднее значение гамильтониана по основному состоянию (вакууму по квазичастицам), а Ep — энергии квазичастиц.Из этого условия определятся коэфициенты up , vp и энергии квазичастиц, т.е.
спектр возбуждений сверхпроводника, который иопределяет его специфические свойства.8.3Cвойства сверхпроводников, связанныес их спектром возбужденийВ идеальном Ферми-газе основное состояние — полностью заполненная ферми-зона, а спектр возбуждений непрерывный иначинается с нуля. В сверхпроводнике при нулевой температуревсе электроны у поверхности Ферми связаны в куперовские парыи основное состояние сверхпроводника — конденсат таких пар.В импульсном пространстве он занимает узкий слой вокруг поверхности Ферми.
Для возбуждения сверхпроводника необходимо разорвать куперовскую пару, т.е. затратить энергию большеэнергии связи пары.Следует ожидать, что теоретический спектр квазичастиц Epбудет иметь щель, величина которой очень мала, т.к. определяется очень слабым куперовским спариванием. Поэтому решениезадачи с гамильтонианом (8.8) на каждом этапе требует аккуратности.56Теория сверхпроводимости БКШ8.4Гамильтониан, выраженный черезоператоры рождения и уничтоженияквазичастицВ гамильтониан (8.8) входят три комбинации операторов частиц. Через операторы квазичастиц их можно представить в виде++ +222a+p ap +ap̄ ap̄ = 2vp + up −vp (n̂p + n̂p̄ ) + 2up vp bp bp̄ +bp̄ bp ,X+a+p ap̄ =p∆gX∆+ F̂ ,ap̄ ap =gp+ F̂ + ,(8.11)где введены обозначенияn̂p = b+p bp ,n̂p̄ = b+p̄ bp̄ ,∆=gXup vp (1 − n̂p − n̂p̄ ) ,pF̂ + =X+2u2p b+p bp̄ − vp bp̄ bp ,F̂ =X+u2p bp̄ bp − vp2 b+p bp̄ .pp(8.12)Пользуясь этими обозначениями, запишем гамильтониан (8.8) вформеXXH=2p vp2 +p u2p − vp2 (n̂p + n̂p̄ ) +pp+Xp+p 2up vp b+p bp̄ + bp̄ bp − g∆g+ F̂ + ∆g+ F̂ .(8.13)Вторая строка в (8.13) содержит «неправильные члены» с++b+p bp̄ и bp̄ bp .
В последнем слагаемом они включены в F и F .+Произведением F и F , которое содержит члены с рождением иуничтожением четырех квазичастиц, будем пренебрегать. Тогдапоследнее слагаемое в (8.13) сводится к−X∆2∆2+−∆(F̂ + + F̂ ) = −−∆u2p − vp2 b+p bp̄ + bp̄ bp . (8.14)ggpУравнение для ∆572Член − ∆g переходит в «правильные члены», а условие уничтожения всех «неправильных членов» принимает видX + +p 2up vp − ∆ u2p − vp2bp bp̄ + bp̄ bp = 0,(8.15)pоткуда следует уравнение для коэфициентов up , vp , связанныхсоотношением u2p + vp2 = 1,p 2up vp − ∆ u2p − vp2 = 0,(8.16)решение которого даетpu2p − vp2 = q.2p + ∆2∆2up vp = q,2p + ∆28.5(8.17)Уравнение для ∆В (8.17) коэфициенты up , vp выражаются через ∆.
Но ∆, какэто видно из ее определения в (8.12), в свою очередь определяется через up , vp . Величина ∆ играет важную роль в теориисверхпроводимости, и ее оценку следует рассмотреть более тщательно.Определение ∆ в (8.12) зависит от чисел заполнения n̂p ,n̂p̄ квазичастичных состояний. Для основного состояния системы (npP= np̄ = 0) определение ∆ в (8.12) принимает вид∆ = g p up vp , что вместе с первым равенством в (8.17) приводит к уравнению∆gXq.(8.18)∆=2 p2p + ∆2Сумма в (8.18) берется по всему спектру электронных состояний p по обе стороны от поверхности Ферми. Т.к.
спектрпрактически непрерывный, то сумму в (8.18) можно заменитьинтегралом и рассматривать уравнение для ∆ в видеg1=2Z~ω−~ωρ()d√,∆2 + 2(8.19)58Теория сверхпроводимости БКШгде ρ() — плотность электронных состояний. Можно считать,что из-за взаимодействия с фононами спектр электронов обрывается на энергии ~ω.Правая часть в (8.19) содержит малый множитель g. Но ∆,как это видно из (8.16), (8.17), не является малой величиной.Малость g в (8.19) компенсируется большой величиной интеграла (логарифмически расходящимся при ∆ = 0).Границы интегрирования в (8.19) связаны с тем, что притяжение между электронами возникает из-за взаимодействия с фононами. Поэтому спектр электронов, дающих вклад в сверхпроводимость, распространяется до фононной энергии.
Плотностьсостояний в хорошем приближении можно заменить её значением ρF на поверхности Ферми. В результате уравнение (8.19)принимает видgρF1=2Z~ω−~ωp∆2 + (~ω)2 + ~ωdgρF√ln p.=2∆2 + 2∆2 + (~ω)2 − ~ω(8.20)А т.к. ~ω ∆, то уравнение для ∆ сводится к равенству1 = gρF ln2 ~ω,∆(8.21)откуда∆ = 2 ~ω e8.6−1gρF.(8.22)Гамильтониан для электронов всверхпроводникеВ гамильтониане (8.13) после исключения «неправильныхчленов» остаются квадратичные операторные слагаемые, входя2щие в первую строку, и дополнительный член − ∆g . Формула(8.22) определяет среднее значение ∆, когда в исходном определении в (8.12) числа заполнения квазичастичных состояний были2приняты равными нулю. Из члена ∆g , входящего в гамильтониан, естественно выделить квадратичные операторные слагаемые.Гамильтониан для электронов в сверхпроводнике59Если представить ∆ в виде среднего значения и операторной чаˆ то в гамильтониан следует включитьсти, ∆ = h∆i + ∆,−∆2h∆i2 2ˆ.≈−− h∆i∆ggg(8.23)Операторная часть, как это следует из определения в (8.12), равна2ˆ X− ∆=2up vp (n̂p + n̂p̄ ) .(8.24)gpВ результате гамильтониан принимает видXXH=2p vp2 +p u2p − vp2 (n̂p + n̂p̄ ) +p+pX∆2∆ 2up vp (n̂p + n̂p̄ ) −,gp(8.25)т.е.
приобретает «правильную форму» (8.10). Энергия основного(вакуумного по квазичастицам) состояния H0 естьH0 =Xp2p vp2 −∆2,g(8.26)а энергии квазичастиц с учетом выражений (8.17) для up , vp равныqEp = p u2p − vp2 + ∆ 2up vp = 2p + ∆2 .(8.27)Отсюда видно, что величина ∆ определяет порог в энергии квазичастичных возбуждений.Глава 9Физические предсказаниятеории БКШ9.1Квантование потокаТеория Лондонов правильно описывала многие свойствасверхпроводников. В теории БКШ переносчиком тока являются не электроны, а куперовские пары (с зарядом q = 2e), чтотребует некоторых количественных изменений.
Введем волновую функцию для конденсата куперовских пар (с плотностью√ns ) Ψ = ns exp(iϕ). Выражение для плотности тока принимаетвид (сравни с (7.6))j=e~ q ns ∇ϕ − A .2m~c(9.1)При отсутствии тока в сверхпроводнике изменение фазы связанос A:Z22eϕ2 − ϕ1 =Adl.(9.2)~c1Если точка 2 описывает замкнутую траекторию и возвращиетсяв точку 1, то фаза при этом может измениться только на 2πn,Туннельные эффекты в сверхпроводникахгде n целое число, т.е.III2e2e2e2πn =Adl ⇒rotAdS ⇒HdS.~c~c~c61(9.3)Последний интеграл, поток магнитного поля через поверхность,Φ, для которого находимΦ=2π~cn ≡ Φ0 n.2e(9.4)Мы получили закон квантования магнитного потока через контур в сверхпроводнике. Величину кванта потока Φ0 можно ощутить из следующего примера: чтобы через контур диаметром0.1 мм проходил поток Φ0 необходимо поле 0.1 от магнитногополя Земли.9.2Туннельные эффекты всверхпроводникахМежду двумя нормальными металлами, разделенными тонкой прослойкой изолятора, может протекать электрический токс занятого состояния в ферми-зоне одного металла на свободноеместо в зоне другого металла.
Это объясняется квантовым эффектом прохождения электронов через потенциальный барьер.Туннельный переход электронов между сверхпроводникамивозможен только при конечном потенциале между ними, чтобыкомпенсировать энергию разрыва Куперовской пары.В 1962 г. американский физик Джозефсон предсказал возможность туннелирования между сверхпроводниками Куперовских пар (что получило с тех пор название «эффектов Джозефсона»). Такой ток не требует дополнительной энергии на разрывпар и может протекать при одинаковых потенциалах двух сверхпроводников.В сверхпроводниках при T = 0 все электроны вблизи поверхности Ферми связаны в пары с суммарным импульсом равным нулю.
Такая корреляция в импульсном пространстве приводит к появлению пространственной корреляции с характерной62Физические предсказания теории БКШдлиной ξ0 , называемой длиной когерентности. Обычно ее размер ∼ 10−4 см. Поэтому изолирующий слой должен быть существенно меньше ξ0 , обычно 10-20 ангстрем. Если через такойизолирующий слой протекает не слишком большой ток, то этопроисходит без разности потенциалов между сверхпроводящимипластинами. Ток может протекать и при установленной разности потенциало двух пластин, но тогда разность компенсируетсясоответствующим излучением или поглощением электромагнитных квантов.Простое описание эффектов, происходящих на джозефсоновых контактах было предложено Фейнманом в виде двух уравнений Шредингераi~∂Ψ1= U1 Ψ1 + KΨ2 ,∂ti~∂Ψ2= U2 Ψ2 + KΨ1 ,∂t(9.5)где U1 , U2 — гамильтонианы каждого сверхпроводника, а K описывает связь между сверхпроводниками.
Если на контакте имеется разность потенциалов, U1 − U2 = qV , где q заряд переносчиков тока, то выбирая нуль отсчета энергии в центре контакта,систему уравнений можно записать в видеi~∂Ψ1qV=Ψ1 + KΨ2 ,∂t2i~∂Ψ2qV=−Ψ2 + KΨ1 .∂t2(9.6)Представим обе функции через плотности ρ и фазы θ,Ψ1 =√ iθ1ρ1 e ,Ψ2 =√ iθ2ρ2 e ,ϕ = θ2 − θ1 ,(9.7)qV.~(9.8)для которых из уравнений получаем••ρ1 = − ρ2 =2 √K ρ1 ρ2 sin ϕ,~•ϕ=Через контакт между сверхпроводниками (из 1 в 2) возникает••ток J =ρ1 = − ρ2 , для которого находимZq2K √J = Jmax sin ϕ0 +V (t)dt , Jmax =ρ1 ρ2 ,(9.9)~~Туннельные эффекты в сверхпроводниках63где ϕ0 — случайная фаза, Jmax — максимальный ток через контакт, который зависит от свойств сверхпроводников.Полученные формулы позволяют понять все процессы наджозефсоновском контакте.а) Если потенциал на контакте V равен нулю, тоJ = Jmax sin ϕ0 ,(9.10)т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
