Учебник - Квантовая механика систем многих тождественных частиц - Беляев (1183823), страница 2
Текст из файла (страница 2)
И это возможно, так как частицы тождественны и нетнеобходимости их нумеровать, как это сделано в нашей задаче одвух частицах в двух состояниях. Достаточно задать число частиц в каждом состоянии.Так, основное состояние для идеального бозе-газа (системы любого числа тождественных, невзаимодействующих бозечастиц) очевидно: все частицы будут находиться в самом нижнемБозоны и фермионы9энергетическом состоянии, а все возбуждения связаны с переходом частиц на верхние энергетические уровни.Аналогичную задачу для ферми-частиц полезно рассмотретьболее подробно.
Мы начнём с неё Главу 1, посвящённую основным свойствам некоторых квантовых систем, важных для нашего дальнейшего изложения.Глава 1Квантовые системы1.1Основное состояние идеальногоферми-газаЭта, казалось бы, абстрактная задача имеет важные практические применения. Одно из них связано с описанием электронов в металле. Электроны — отрицательно заряженные фермичастицы, но в металле их заряд скомпенсирован ионами кристаллической решетки, поэтому с точностью, достаточной длямногих приложений, их можно рассматривать как идеальныйферми-газ, равномерно распределенный по объему металла.Выделим внутри металла некоторый объем V .
Состоянияэлектронов внутри этого объема будем различать их импульсами. При температуре T = 0 электроны будут занимать нижниеуровни, от p = 0 до некоторого максимального pF («импульсаФерми»). Число различных квантовых состояний N (и электронов, которые можно на них расположить) определяется количеством ячеек размером (2π~)3 в полном фазовом объеме, т.е.величиной4π1V (2s + 1) p3F ,(1.1)N=(2π~)33где (2s + 1) — число различных спиновых состояний (для электронов — 2).
Формула (1.1) определяет зависимость импульсаФерми pF от плотности n = N/V .Электроны в атоме11В основном состоянии электроны будут занимать все уровни энергии от нулевой до максимальной, называемой «энергией Ферми», εF = p2F /2m. Плотность электронов при этом ограничена числом квантовых состояний: в каждой ячейке фазового пространства объемом (2π~)3 могут разместиться только дваэлектрона с противоположными спинами. Это условие дает связьмежду импульсом Ферми и плотностью электронов n,pF = ~(3π 2 n)1/3 .1.2(1.2)Электроны в атомеОт идеального ферми-газа перейдем к рассмотрению реальной ферми-системы заряженных электронов в атоме.Для одного электрона в кулоновском потенциале ядра с зарядом Ze известно точное решение уравнения Шредингера.
Всесостояния дискретного спектра характеризуются тремя квантовыми числами: главным квантовым числом n, орбитальным моментом l и его проекцией m. Энергии уровней зависят только отn = 1, 2, 3, ...,2m Ze2En = −,(1.3)2~2 n2а для каждого n возможны значения моментов l = 0, 1, 2, . . . n−1,так что каждый энергетический уровень En вырожден с кратностьюn−1X(2l + 1) = n2 .(1.4)l=0Принято атомные состояния обозначать числом n и латинскойбуквой для момента l: s, p, d, f, g, h, .
. . (вместо 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .).Так 2s и 3d означают состояния n = 2, l = 0 и n = 3, l = 2.Итак, мы имеем точное решение уравнения Шредингера дляводородоподобного атома, т.е. одного электрона в поле ядра сзарядом Ze. Когда электрон занимает самое нижнее состояние,то из (1.3) при n = 1, Z = 1 найдем энергию основного состоянияатома водорода.12Квантовые системыВопрос: последовательно заполняя электронами самые нижние свободные состояния и суммируя их энергии из (1.3) (увеличивая каждый раз Z на единицу), будем ли мы получать правильные энергии основных состояний все более тяжелых атомов? Ответ отрицательный, так как не учитывается энергия взаимодействия между электронами.
Причем ошибка не мала, таккак суммарный заряд электронов равен заряду ядра. Поле электронов является самосогласованным, так как оно определяется плотностью электронов, которая сама зависит от волновыхфункций электронов при движении в этом поле. Точного решения уравнений с самосогласованным полем не существует, нолегко можно аппроксимировать это решение последовательными приближениями одноэлектронного уравнения Шредингера сменяющимся центральносимметричным потенциалом. При учететолько поля ядра для всех занятых электронами состояний известны волновые функции, т.е. распределение электронов в пространстве.
Распределение заряда определяет электрическое поле. Решение уравнения Шредингера с новым полем дает поправленные волновые функции. Повторяя эту операцию мы будемсо все большей точностью определять самосогласованное поле.Но и без детального вычисления самосогласованного поля легкоустановить его влияние на энергетический спектр, заполняемыхэлектронами уровней.В отсутствие выделенного направления самосогласованноеполе естественно считать центрально симметричным.
Известно,что в таком поле волновые функции при приближении к центру убывают как rl . Поэтому с увеличением l притяжение ядра уменьшается и все более чувствуется заряд электронов. Этоприводит к расщеплению уровней водородоподобного атома помоменту, и чем больше l, тем больше уровень сдвигается вверх.Группировки уровней уже не определяются главным квантовымчислом n = 2, 3, 4, .
. . т.к. уровни с большими моментами, d(l = 2) и особенно f (l = 3), сдвигаясь вверх, догоняют s- иp-состояния с большими n. Качественно группировки электронных состояний (с учетом двух проекций спина) представлены вследующей таблице:Электроны в атоме13Таблицаn1234567электронныесостояниячисло местдляэлектронов1s2s, 2p3s, 3p4s, 3d (от Sc до Zn), 4p5s, 4d (от Y до Cd), 5p6s, 4f (лантаноиды), 5d (от Lu до Hg), 6p7s, 5f (актиноиды), 6d (трансактиноиды) .
. .288181832Видно, что эти группировки электронных уровней точно соответствуют периодам таблицы Менделеева (ТМ).По электронным спектрам легко понять и другие свойстваэлементов ТМ.Химическая активность атомов связана с энергией связиверхнего электрона, которую естественно сравнивать с известнойэнергией для атома водорода. Для гелия заряд ядра удваивается, поэтому почти вдвое возрастает энергия связи.
Следующийэлектрон (в литии, Li) занимает более высокую орбиту 2s и егоэнергия связи резко падает. По мере дальнейшего заполненияэлектронных орбит график изменения энергии связи приобретает пилообразный вид с вершинами для инертных газов (Ne,Ar, Kr, Xe) и провалами для наиболее активных химическихэлементов (Li, Na, K, Rb, Cs). Это полностью соответствует таблице Менделеева.Валентность в квантовой механике связана с числом «неспаренных» электронных спинов в атоме, что тоже полностью соответствует ТМ.Волновые функции электронных d-состояний (l = 2) и особенно f -состояний (l = 3) из-за центробежного потенциала расположены в глубине атома и слабо влияют на химическую связь,определяемую в основном внешними электронами. Поэтому элементы, отличающиеся только заполнением d- или f -состояний14Квантовые системыимеют близкие химические свойства, что соответствует «группам» в ТМ.Атомы все же являются системами с не очень большим числом электронов.
А наша главная задача — рассмотрение системиз большого (макроскопического) числа частиц. Одна из такихзадач — идеальный ферми-газ — была рассмотрена выше. Но этасистема довольно простая, а нашей задачей является сформулировать общий метод рассмотрения систем многих тождественных частиц.Но прежде чем сформулировать такой метод, полезно опробовать его на простой задаче.1.3Квантовое описание осциллятораРешение этой задачи известно. Гамильтониан одномерногоосциллятора имеет видp̂ 2mω 2 x̂ 2+.(1.5)2m2Решение соответствующего уравнения Шредингера определяеткак волновые функции (через полиномы Эрмита), так и энергетический спектр — эквидистантные уровни с энергиями1, n = 0, 1, 2, .
. .(1.6)En = ~ω n +2Ĥ =Мы получим решение другим способом, не рассматриваяуравнение Шредингера. Гамильтониан (1.5) можно записать какпроизведение двух множителейrrmmp̂p̂~ω√Ĥ = √+iωx̂−iωx̂ +,(1.7)2222m2mгде дополнительный член возник из-за некоммутативности операторов x̂ и p̂.Две скобки√ в (1.7)√эрмитово сопряжены друг другу. Обозначим их как ~ω â+ , ~ω â. Легко проверить, что эрмитово сопряженные операторы â+ и â коммутируют как [â, â+ ] = 1. Bведем также оператор n̂ = â+ â. Тогда гамильтониан (1.7) можноКвантовое описание осциллятора15записать в виде1Ĥ = ~ω n̂ +2.(1.8)Рассмотрим уравнения, определяющие собственные состояния и собственные значения эрмитового оператора n̂n̂|ni = n|ni.(1.9)Используя следствия из коммутационных соотношений операторов â, â+ и n̂n̂â+ = â+ (n̂ + 1),n̂â = â(n̂ − 1),(1.10)найдем, что состояния â+ |ni и â|ni также являются собственными состояниями оператора n̂ с собственными значениями n + 1 иn − 1.В основном состоянии n = 0, а каждое возрастание n на единицу добавляет энергию ~ω.
Это можно трактовать иначе.Будем представлять наш осциллятор как некоторую ячейку,которая может заполняться тождественными частицами с энергиями ~ω. Все изменения происходят путем изменения числа частиц действием операторов â или â+ , которые естественно назвать операторами уничтожения и рождения частиц, а n̂ — оператором числа частиц.
Из сравнения гамильтониана (1.8) с егоэнергетическим спектром (1.6) видно, что собственные состоянияоператора n̂ равны неотрицательным целым числам.Итак, наш осциллятор можно описывать как ячейку (характеризуемую параметром — частотой), а ее заполнение — целымнеотрицательным числом n. Естественное обобщение — системамногих осцилляторов, которая описывается набором из многихячеек с индивидуальными операторами рождения и уничтожения частиц в каждой из них. В следующем разделе этот методбудет использован при рассмотрении важной физической задачи.16Квантовые системы1.4Квантование электромагнитного поляРассмотрим некоторый замкнутый макроскопический объем V , в котором возбуждены и поддерживаются электромагнитные колебания всех возможных частот и направлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
