Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 82
Текст из файла (страница 82)
2. Ударная теория уширеиия с учетом вырождения уровней и иестационариости возмущения'). Рассмотрим сначала случай точного вырождения. Будем исходить из общей формулы (37.10) для функции ') В этом разделе мы основываемся на работах: А. К О!Ь, Н. Ог ! ел, РЬуз. Кеч.
1Н, 5!4, 195Я; Н. Ог !ею, А. Ко1Ь, К. 5Ьеп, РЬуэ. кеч 116, 4, !959; Л. А. В ай нште 6 н, И. И Собел ьма н, Оптика н спектроскопня 6, 440, 1959. 466 УШИРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНий (гл, х корреляции, причем с целью упрощения выкладок предположим, что возмущением одного из уровней можно пренебречь. Это не является сколько-нибудь серьезным ограничением общности. Все окончательные формулы можно без труда обобщить и на случай возмущения обоих уровней.
Пусть не возмущается уровень Ь. В этом случае а; р(т) = Ьр р и (37. 16) где ггаг, = ) )г„ „ а,„ехр~ — (Е„ — Е„)г1 . (37.17) Суммирование по у в (37.17) распространяется на все стационарные состояния атома, Прежде чем перейти к вычислению (37.16), удобно переписать это выражение в несколько ином виде. Коэффициенты а,, представляют собой матричные элементы некоторого оператора а(т) а, „= < а' ! а (т) ! а >, причем в (37.16) входят средние значения этих матричных элементов по параметрам столкновений. Переставляя порядок выполнения операций усреднения по столкновениям и интегрирования по координатам атомного электрона, получаем (а..
(т)) =( <а' / а (т) !а> ) = <а' $(а (т)) ! а >, (37.18) (37.19) Начиная с этих формул, во избежание путаницы, мы будем обозначать усреднение по столкновениям фигурными скобками. Уравнение (37.17) также можно записать в операторной форме. Введем оператор Е нм --А- на )'= е )ге (37.20) ! ! — ни — ни етг Для матричных элементов е" имеем (ен ),„=е" ' Ьтт. Это — 'ли соотношение нетрудно получить, разлагая е" в ряд и вычисляя матричные элементы от каждого из членов ряда. Поэтому ! — е.н — — е г =е" ' )У„„е ", и вместо (37.17) получаем Гда = )га. (37.
21) Будем искать решение этого уравнения методом последовательных приближений. Учитывая начальные 'условия а(0) =1 (аж (О) =бы ) 487 % 37) НВАнтоаомехАническое ОБОБщение теОРии получаем а(1) =1+аго(1)+а"'(1)+..., гтла"' = Р, Ма'н = Рап', ..., Йаы' = ъ'а'" (37.22] и воспользуемся приближением ударной теории. Если столкновения мгновенны, то приращение оператора а на интервале т, т+ Лт не зависит от величины а(т) и усреднение обоих сомножителей в первом члене этой разности можно проводить раздельно. Поэтому Л (а(т)) = (а (т)) (а(т, т + Лт)) — (а(т)) = (а(т)) ) Р(т) гЬ [а — 1~ Лт и (а(т))=ехр(т) Р(т)г(т(а(т) — 1) ), (37,23) где а(т) есть приращение оператора а, вызываемое столкновением типа т (под т понимается совокупность параметров, характеризующих столкновение), Р(ч)г(т — число столкновений с параметрами т, т + г(т в единицу времени.
Если обозначить возмущение, вызываемое столкновением с параметрами т, через (Р„(1), то а(т) будет определяться формулой (37.22), в которой надо заменить 1'(1) на (Р„(1) и положить 1 = оо. Учитывая, что вклад в интеграл дает лишь малая О область порядка =, вокруг точки наибольшего сближения 1 можно н ь положить также нижний предел интегрирования равным — оо и 1, =О. После этого ( ) =1+ ( — $ ) 1 Р, (1') '+ +( — — ) ~ Р„(1)Л'~ Г,(1')Ж" +... (37.24) Подставляя (37.23) в (37.19), получаем П1 (т) ЕААН Ч~р~ Р, О С'СС ( а-а~ (СЕ') аут' (37.
25) Усреднение по столкновениям в (37.19) можно выполнить с помощью метода, изложенного в й 36 (см. Бьвод формулы (36.25)), Образуем разность Л(а(т)) =(а (т+Лт) — а(т)) =(а(т) а(т, т+ Лт)) — (а(т)) УШИРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ 488 [гл. я где б = ) Р(т) дт 11 — а(т)1. (37.26) Если состояния а относятся к группе близких уровней, то, исходя из (37.15) и повторяя все рассуждения, легко получить Ф(т) = ~ИР ~Ж„е» "а»Р„„Р <а)е '" )а'>.
(37,27) Таким образом, ! (Ьз)= — )се) е ' "Ф(т)г(т= О Ве~~» %'„Р жРЕ.(аб е гг " ~ 'г(т~а')= а О Ке~ Ж„Р„ЕРа,(а~. а,~а). (37. 28) где у,а —— 2йе <а!8«!а>, »3, =!гп <а)бн)а). (37.31) Кроме того, в атом случае из уравнения (37.21) следует гг»а = (т„,а„„а„„= ехр ~ — — ) Ь'„,(1')»1г'] о 0» — ~ <а!)Р„(1')(а) ~й'] = = ~ Р(т) дт» [1 — е'ч). (37.32) <а(б"(а> = ) Р(т) с(т ~1 — ехр Нетрудно показать, что в адиабатическом приближении формулы (37,27), (37.28) переходят в обычные выражения ударной теории. Если матрица оператора а(т»), а следовательно и б, диагональна, то <а(е-ы ~а') =е-«1»!«»,б Ф(т) =~~р ~Ф«а(т), Ф«(т)=ЯУ,е'" а" )Р, Ге-<" ~»м ">', (3729) т(ы) ~~ Ю«(Р«а ~ 2 «(37.30) «» (м — м.а — д а)«+ ~ 2) 490 ушигение' спектРальных линий [гл.
х ГО, — ОЛ„Е, ГДЕ ОЛ« — СРЕДНЕЕ ЗНаЧЕНИЕ ЧаСтОт ОЛ«н МНОГО МЕНЬШЕ (ОЛ вЂ” ОЛ,) !(ю) =~~',, )л'„[ Р„ ['2 ( ,, (37.36) у= ['~'„(л»,[ Р„[') '2Ке ~ [л»,Р„',Ра„<а[8[а'>. (37.37) / ар»' В адиабатическом приближении, а также в тех случаях, когда матрица 8 диагональна по аа', формулы (37.35) принимают вид у„а = 2 Ке (а'[8[а'>, (37.38) у= Я Р'„[Р [') ''5" (о',[Р ['<а[8[а>л (37.39) получаем Ф (т) = ехр (т ( ио, — ) Р(т) а[И (1 — еа: оо) 1 ) . (37.
41) Фаза 5, была вычислена выше, в 9 28 при рассмотрении штарк-эффекта в переменном поле — формула (28.60). Используя эту формулу и повторяя те же рассуждения, что и при выводе (37.24), полу лаем 5„( ) = — 1 < [(„(у)[ > 1 $ — У' ( <а) И ([') е> е'""а' Ж')( л( ') (е[)'„(га)[а>ела*'" л[г" +... (37 42) Зго выражение, очевидно, находится в полном согласии с (37.22) и (37.24) и'ллогло бы быть получено непосредственно из (37.17) или (37.21). Сравнение формул (37.35), (37.37) и (37.38), (37.39) позволяет ответить на вопрос, какую роль в уширении линии играет неадиабатичность возмущения. Пусть уровень а невырожден, и пусть, кроме того, расстояния до ближайших соседних уровней велики по сравнению с уширением.
В этом случае из (37.25) следует Ф(г) =ег""[Р. ['ехр [ — г ) Р(т) г[т(! — <а[а" (т))а>)]. (37 40) Для дальнейшего удобно ввести фазу 5„, определив ее соотношением <а[а[а>=е-"«. Подставляя зто выражение в (37.40) и опуская несущественный множитель [ Р, [', влияющий лишь на нормировку 7(ол), 6 37) КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ 49'1 Ограничимся первыми двумя членами (37.42). В этом приближении фаза 6„ комплексна Ь.
= т)„— 7Г„ (37. 43) причем, как это было показано в $ 28, 2Г„= — ~~~~~ ~ ] <а[ У„(7)[г> е' .Р'Ж[ (37А4) а Дф есть полная вероятность перехода из состояния а во все остальные стационарные состояния атома. Лействительная часть т)„ определяется смещением уровня Формулу (37.41) нетрудно обобщить на тот случай, когда возмущаются оба уровня — начальный и конечный. Повторяя все выкладки, легко получить вместо (37.41) цз(т) = е"" ' ехр [ — т ~ Р(и) еЬ (1 — <а[ а+(т)[а> <р[ а (т)[ р>)] = = ехр (т [ (ю, — ] Р(т) ~тт (1 — е-<г+га>+'1ч„-че> )]) .
(3745) Фаза б =~) — сГЗ определяется формулой (37 42), в которой только надо заменить индекс а на индекс р. Из (37 44) следует дисперсионное распределение янтенсивности 2 (37 Аб) (м — ы — Ь)'+ ~ у ~ ,причем ширинз и сдвиг определяются выражениями у = 2 ) Р(т) ет [1 — е -" Оп соз т) (т)] Ь = ~ Р (т) ите - г он а! и т) (ч), (37.
47) где Г(т)=Г„(т)+ГЕ(т), з)(т)=т)„(т) — т)в(т). Если под т понимать прицельное расстояние о, как вто делалось в $ 36, то ОЭ Т=2МОО', о'=2п] д[1 — е г1а~созт)(О)]~79, (37.48) о А =%по", и'=2п ~ Ое "ю1 з(п т)(О) г(п. (37.49) о Таким образом, учет неадиабатичности приводит к дополнительному уширению линии, которое имеет простой физический смысл. Переходы нз состояния а в другие состояния под действием возмущения приводят к уменьшению времени жизни атома в состоянии а, что хшиэанив спяктялльных линий 492 (гл. х эквивалентно уширению соответствующего уровня. Это уширение уровня симметрично, поэтому оно увеличивает ширину и уменьшает сдвиг линии. На языке модели осциллятора переходы, индуцированные возмущением, означают затухание колебаний осциллятора.
Неадиабатичность возмущения сказывается и на действительной части фазы т). Это обстоятельство будет подробно обсуждено в 9 39 на примере уширения линий неводородоподобных спектров вследствие квадрзтичного штарк-эффекта. 3. Квантовомеханическан теория уширення спектральных линий электронами '). Выше было показано, что в тех случаях, когда относительное движение атома и возмущающих частиц можно описывать в рамкзх классической механики, теория уширения спектральных линий является естественным обобщением классической теории, основанной на модели осциллятора. Поэтому под квантовомеханической теорией мы будем понимать такую теорию эффектов давления, в которой не только движение атомных электронов, но и относительное движение атома и возмущающих частиц описывается уравнением Шредингера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
