Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Таким образом (ср. с обсуждением границ применимости ударного и статистического распределений), фор- 1 мула (36.8) применима лишь в области частот 1в — в,1>) —. Вну- 1 тренняя часть линии ~ в — в,1(< — описывается дисперсионным расо, пределением (36.62). 4п'Р /2п/ т ' оа При малых плотностях, когла 2л/.)>)ь и — ( — ) ° — '>) ),а (, 1.,) '/' оа >) — = †, практически весь контур линии попадает в область пряменимости обычного допплеровского распределения (35.8). В противоположном случае 2п/ (<)ь подавляющая часть интенсивности сосре- 1 доточена в области ~ в — в,1(< —. Следовательно, в этом случае линия должна иметь дисперсионный контур (36.62) ').
Лишь в далеком крыле линии /(в) саз ехр ~ — 1 дво / ') Впервые этот результат был получен Лике (к. 01с К е, Р)ауз. кеч. 82, 472, 1853). исследовать различные предельные случаи и выяснить общий характер функции /(в). При малых т,рт(<1, ш' 2 — т'=о,'т' и а а а Ф(т) ехр ' а (36.60) ф 36) теОРиЯ ЗФФектОВ ЛАВлениЯ В БинАРном пРЯБлижении 48! Отношение ширин контуров (36.62) и (35.8) 2 ° — - 2 ~ — ' 4л'0 I 2л1. 1а оа 'Л ~ «.) 1.
2л 2л 1. и !(ш = — ю, примерно равно — . Следовательно, при увеличении Р Х плотности (в области 2л!.(()а) имеет место уменьшение допплеров2лб ской ширины примерно в — раз. Подобное сужение допплеровского А контура, очевидно, может иметь место только в тех случаях, ко~да отсутствует или мало уширение из-за взаимодействий'). Необходимо отметить, что в общем случае нет никаких оснований разделять эффекты взаимодействия и допплер-эффект. действительно, нарушение когерентности колебаний при столкновении может быть вызвано как сдвигом фазы, так и изменением скорости атома.
Совместный учет обоих эффектов требует вычисления функции корреляции Ф(Т)= <агля>е (36. 63) Если принять, что приращение фазы т)(т) и перемещение атома х(т) за время т статистически независимы, то Ф(т) =Ф„,„„„(т).Ф„„„„(т) и !(ш) определяется сверткой вычисленных независимо 1„,„„(ш) и !Ааааа ( ' )' В ударном приближении 1 ~а — ма (ы-гач а — —,ю* ф(Т) — е а с* ехр [ — !чо(Π— !О )Т вЂ” 4 сгшрт|, т((тш (36.64) ехр [ — Р!О(п' — 1па) т — —,'От ~, т)) т,.
(36.65) Легко видеть, что выражение (36.64) приводит к формуле (36.55) для !(ш], а вырзжение (36.65) дает дисперсионный контур с шириной е ыа 2!топ'+2 —,!) и сдвигом Моо". Мы не будем подробнее рассматривать функции корреляции (36.63) по той причине, что как раз в оптической области спектра допплеровское уширение обычно представляет интерес именно при условии !. > Х, когда справедливо (35.8). Действительно, характерный допплеровский параметр сгшр можно записать в виде а а 2 Ао — с а= с 'са ~ Л) а ~).) о'' ') В некоторых специальных случаях допплероиское уширение и пря больших плотностях, т е при й(()с, не маскируется эффектами взаимодействия, В оптической области спектра примером такого типа является релеевское рассеяние в газе. Как известно, линия релеевского рассеиния не испытывает уширения из-за столкновений, так как это рассеяние определяется вынужденнымн, а не собственнымн колебаниями осциллятора, аб И. И.
Соеааьмаа 482 УШНРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ (гл, х где и,— газокинетическое эффективное сечение атома, и' — эффек. тинное сечение ударного уширения и у — ударная ширина. В оптиче. ской области спектра, как правило, и' ~ и, и, следовательно, /7. ) Агар < ~ — ~ у. С дру~ой стороны, допплер-эффект дает существен'(л) ный склад в уширение в случае гьгяр>у, т. е. при условии 7. > 7,, В 37. Кваитовомехаиическое обобщение теории ! (га) суз ~ ~ Р (1) е '"' Ж ~, (37.1) где Р, (1) — матричный элемент дипольного момента атома, вычисленный с помощью возмущенных волновых функций Чг„(1), Ч' (1).
Эти функции яаляются решением уравнения Шредингера для гамильтониана (37.2) Н=Н,+ У(1) формула (37.1) представляе~ собой естественное обобщение классической формулы (36.3). 1(ля лальнейшего ее удобно записать в виде, аналогичном (36.11). Повторяя те же преобразования, что и при выводе формулы (36.11), получаем 7(ге) = — Ке) рте ' 'Ф(т), ь (37. 3] где Ф (т) = Р (г+ т) Р,а (1) = Р (1+ т) Ра, (1) (37.4) или (37. 5) Ф(т) =(Р,а(т) Р~,(6) >. .рассмотрим далее переход между двумя вырожденными уровнями а, л, причем индексаМи а и р пронумеруем состояния, относящиеся соот. 'ветственно к начальному и конечному уровням.
Вудем считать, что 1. Метод фурье-анализа. В квазиклассическом приближении воздействие на атом окружающих частиц можно описать введением зависящего от времени возмущения У(1). В этом 'случае координаты возмущающих частиц можно считать заданными функциями времени, а не динамическими переменными, что позволяет перейти от возмущения У()с) к возмущению У(1).
Поэтому в этом разделе будет пока. ,вано, каким образом вычисляется форма линии в том случае, если атом подвергается произвольному возмущению У(1). Используя общие методы теории возмущений, нетрудно показать, что распределение интенсивности в линии, соответствующей переходу "между состояниями а, р атома, определяется выражением 6 37) КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ 483 все состояния а заселены с равной вероятностью. В этом случае 'ал (Ы) ~К~ Е~а3 (ГО) а3 поэтому вместо (37.4), (37.5) надо положить Ф(т) =~~~ РР (1+ я) Ра„(1), а3 (37. 6) или Ф (т) = ~чр ~<Р.а (т) Р3.
(О) > (37. 7) Возмущенные волновые функции Ч". (~), Ч",(1) можно представитн в виде разложения по функциям изолированйого атома Ч~„ (т) = ,", а,„ Чг'," (1), Ч~бм (1) = и,,е А " . При этом Р„л(1) =~ а,„(1)а (1) е~ ба г Р °, бб (37. 8) Подставляя(37.9) в(37.6) или (37.7), можно выразить функцию Ф(т)' через средние значения произведений коэффипиентов а (1). Пусть воз. мущенне включается в момент времени 1=0. Тогда Ра (0) = < а ( Р ~ р' > = Р и из (37.9) и (37.7) следует Ф(т)=е' " Х р. ° Рв.<а..(т)а, (т)>.
«еа'3' (37.107 коэффициенты а„т опРеделЯютсЯ известными УРавнениЯми теоРии возмущений ! Иап'=Х(гтт (7) аг"г'еа ' т г"" (3711) 16а где агом =Е,— Е,, Є— не зависящий от 1 матричный элеменТ <е(Р~ е' >. В общем случае сумма (37.8) распространяется на все стационарные состояния атома. Однако в интересующей нас задаче вычисления интенсивности в узком частотном интервале вокруг несмещенной частоты ы, = — (Š— Ел ) представляют интерес лишь те члены этой а а а б а суммы, для которых ы,„=ы,. Поэтому можно положить Р„3(1) = ег ',)~ ~а„„(1) аз 3(г) Р;аб.
(37.9) '3' 484 УШИРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ (гл, х где (гп- (1) = ) ф )г(1) ф- г67. Уравнения (37.11) должны решаться при начальных условиях а т (О) = б „. Таким образом, формулы (37.6), (37.7) и (37.9) в принципе позволяют рассчитать распределение интенсивности в линии с учетом вырождения начального и конечного уровней и для любого возмущения И(1), как адиабатического, так и неадиабатического. Из этих формул, в частности, легко получить все результаты предыдущего параграфа. Если возмущение адиабатично, т. е.
не вызывает переходов между различными состояниями, то матрица а диагональна и из уравнений (37.13) следует Й~„= )г„„~„, нтг сл~ ехр ~ — — ~ )'тт (1 ) г(1 ~ ° тт Поэтому ! Рю (1) сл Р„ехр [ — 1 ~ м„(1') Ж' 1, 1 где ню (1) = — (И вЂ” И ) — мгновенный сдвиг частоты перехода «а ш а р, и Ф ( г) = ~ Ф„, (т), Ф„, (т) сказ ( ахр [1 ) и«, (Р) г(г'1 >. «1 « Таким образом, мы пришли к модели осциллятора с переменной частотой, причем каждая компонента линии а Р уширяется независимо от всех остальных. формулы (37.6), [37.7) легко обобщить на тот случай, когда линия образована совокупностью переходов между двумя группами близко расположенных уровней.
Пронумеруем индексом а состояния, относящиеся к начальным уровням, и индексом р — к конечным и обозначим через )Р'„ вероятность заселения состояния а. Тогда (37. 12) Ф (т) Х ЯР Р (1+я) Р (1) Х иг» < Р«з(т) Рз (0) > (37.13) «а «в КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ 485 9 37! Формула (37.13), очевидно, справедлива и в случае вырождения. Выражения (37.13) можно записать также в виде следа оператора О=ЕР(!+ )РЯ Ф(г) =Яригй Р(Г+т) Р(1) =Ярнгй < Р(т! Р(0) >, (37.14) где 0 — статистическая матрица или матрица плотности, Ярнг 4) = 'сР 0„„.
В (37.14) предполагается, что квантовые числа и выбраны таким образом, что матрица 0 в представлении и диагональна. При этом условии В тзкой форме записи особенно наглядной становится связь приводимых выше формул для Ф(т) с формулами предыдущего параграфа. Согласно общему соотношению между классическими и квантовомеханическими величинами некоторой физически наблюдаемой величине У в квантовой механике соответствует оператор Р, причем наблюдаемое значение у для системы, описываемой статистической матрицей 0, равно Бриг(д Р). Подставляя (37.9) в (37.13), получаем Ф (т) = ~ %',е'"«'З' Р„ З Р < а„,(т) аЗ З (т) >. (37.15) «ъ'з' В этой формуле, как уже отмечалось выше, индексами а, 'Р' пронумерованы состояния, относящиеся к двум группам близко расположенных уровней, переходами между которымн образована рассматриваемая линия.
В общем случае вычисление функции корреляции Ф (т) по формулам (37.10), (37.15) представляет собой весьма сложную задачу, поэтому обычно в конкретных расчетах делаются дополнительные упрощения. В следующем разделе мы проведем это вычисление в ударном приближении. Приводимые в этом разделе формулы для !(гв) и Ф(т) относятся к излучени!о определенной поляризации. В общем случае в этих формулах надо заменить Р„ З Р-„ на Р, „РЗ„. Эта замена может сказаться на результате только в том случае, когда одно из направлений в пространстве выделено. Всюду ниже для упрощения записи мы будем рассматривать излучение некоторой определенной поляризации, подразумевая, что суммирование по поляризациям можно выполнить в окончательных формулах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
