Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Статистическая теория. К проблеме уширения спектральных линий вследствие эффектов давления можно подойти и с другой точки зрения. Излучающий атом нзхолится во внешнем поле. Наличие поля приводит к смещению термов и, следовательно, к сдвигу частоты атомного осциллятора. Если внешнее поле квазистатично, т. е. меняется достаточно медленно, то можно принять, что 7(га) пы просто пропорционально статистическому весу конфигурации возмущающих частиц, при которой частота атомного осциллятора заключена в интервале ы, га + г(га.
В бинарном приближении сдвиг частоты создается ближайшей частицей. Следовательно, для вычисления 7(га) необходимо найти вероятность )г ()х)Нс того, что ближайшая частица находится на расстоянии гс', тс' + г(тс' от атома. Эта вероятность равна Ф 3 (р'()7)д~ — 4пр,'77а а г()7 в е К 3 ( ) (36.36) т,~а~ /~ l 3 хпа где )с = ( — ) ' . Подставив в (36.36) н=ы — ы =С гс ", получим о (4пМ ) ю л распределение вероятности для сдвига частоты атомного осциллятора.
В соответствии с основныч попущением статистической теории этим распределением и определяется форма спектральной линии. Если ввести обозначение Лй = †", то из (36.36) следуе~ 7(л ' ь „ехр ~ — (м ) ~ г(ю. (36.37) л(м — м,)" В этом разделе мы не будем касаться вопроса о границах применимости самой статистической теории и отметим только, что выражение (36.37) имеет смысл лишь для достаточно больших значений 470 [гл. х УП<ИРЕНИЕ СПЬКТРАЛЬНЬ<Х ЛИНИЙ „<л (ю — ы,), для которых 77= ( —,') значительно меньше )с,. При 77~)7, бинарное приближение незаконно.
Таким образом, выражением (36.37) заведомо не описывается внутренняя часть линии. Условие 77(( )с, означает, что <х<Й (( <н — о<,. Поэтому в (36.37) можно опустить экспоненциальный множитель, после чего получим 4ИА<С„" з'л л(ы — <лл) " (36.38) 7(<в) <[<о = ( — ") =к(7А)=<)<о. Поэтому основной вклад в (36.3) дают малые области 7!та вокруг этна точек и вместо (36,3) можно записать 1(<В)= !ПП вЂ” ( 'у ! Е<!'«>+Н"О- «<-<А<-Р< -"><А!<7[~ (36.39) ! ~ г н —,.„(2 т)~2.,) А Ал Разложим функцию т)(!) в ряд вблизи <А по степеням ! — ! . Так 7«п '< как ( †) = Л<в, то члены, линейные относительно ! — 1, в показа'(л< Л, А теле экспоненты в (36.39) сокращаются, и ряд начинается с члена ! (с~ ч) При интегрировании существенна область Лт<н где этот член меньше единицы (дальше начинаются сильные осипла<яции).
Отсюда легко 4. Соотношение и границы применимости ударной и статистической теорий. Ударная и статистическая теории дают резко отлича<ощиеся выражения для формы и ширины линии. Это обстоятельство вынуждае~ поставить вопрос о границах применимости обеих теорий, соотношении между ними и их связи с общими выражениями (36.3), (36.4).
В основе статистической теории лежит допущение о квазистатнчности, т. е. о достаточно медленном изменении возмущения. Для того чтобы установить границы применимости статистической теории, которую, кстати, правильнее было бы назвать квазистатической, надо выяснить, что является критерием квазистатичности. Вернемся к общим соотношениям (36.3), (36.4). Рассмотрим сначала (36.3] для больших значений <А<в = ы, †. Если <А<а велико, подынтегральное выражение в (36.3) сильно осциллирует всюду, кроме окрестности точек !А, в которых $ 36) тиогия эееиктов длвлиния в винаином пгиилижении 471 получить размеры этой области 1 Ьти=)'2/( — лг,) / =)г 2/(лг) (36.40) Если в прелелах этой области слалующий член разложения /( Ч) (1 1,) /<-.1, для чего необходимо выполнение неравенства (36.
41) /®г„/'/(йг) „/ =/(Лг*)г„/ /Я~г <1, (3642) 7(а)= Иш — /~ ехр)[т)(1д)+(в,— в))д[ ') ехр)Х 1 — „2ит 2. Х ~ — ( гз) (1 — )з) ~ й/ = 1 гш Т /Хехр)[т)()д)+(в~ в))е+ 4~ Я 1 чзч 7 с)н 1 - г 7(в) йе= Ию — з ~ — ) йн. (36. 43) язч lпнд -з Легко видеть, что ~ )т †) есть вРемЯ, в течение котоРо~о я (нГ )гь х(1) заключено в интервале в — в„в — а,+г)а.
Действительно, 7йй1 с)те и с)в на Рис. 33 свЯзаны соотношением ( — „1 ) г)те=с)а, поэтомУ (,лг 7'ы (36.43) является не чем иным, как статистическим распределением интенсивности Ф'(го — а,) йо. Заменим суммирование в (36.43) интегрированием. Число пролетов через кольцевой элемент 2ир с)р за время Т булет равно 2пр г)р)чиТ, где М вЂ концентрац возмущающих частиц. Учитывая, что каждое столкновение при 1 би 7С„~» х,„= — „"«Лвилий(рз„=)т —,") дает две точки 1д (рис. 33), ') Здесь предполагается, что фазы аз= [г) (Ге)+(в,— в) )з) независимы.
Ниже будет показано, что зто предположение выполняется, то ряд можно оборвать на члене, пропорциональном (1 — 1„)', и в каждом члене суммы (36.39) пределы интегрирования распространить от — со ло оо (вне гзт из-за осцилляций подынтегрального выражения интегрирование дает нуль); при этом ') 472 УШНРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ [Гл. х получим Э РА гднт 1 4ЛД1С„" 7(гв)йа=тйо ') 4пд( — „1) ЛГПИ=-," Ао, (36.44) 1 лбы т. е.
статистическое распределение в крыле линии. 1ггл Рнс. 33. Функция к(1). и соотношение (36.42) принимает вид С„ (36.46) Как легко увидеть из рис. 33, точки 7А (в которых ( †„- ~ = Лв) и дают лишь те пролеты, для которых — „)Лго, другими словами, нас Сл ол 1 интересуют столкновения с д =ПА„=( — ") . Учитывая зто, (36.46) (,бы) можно переписать в другом виде: „Л вЂ” 1 Лю>) " =ьз. СЛ 1 л (36.47) Соотношение (36.47) является условием применимости статистической теории. Из него следует, что статистическая теория применима для больших Лю, т. е. в крыле линии. Рассмотрим теперь (36.3) в предельном случае малых Лы. Если 1 Лсо мало настолько, что — много больше длительности столкновения дв 1 — >) —, ОЫ Р' Если опустить из рассмотрения малую окрестность вокруг момента наибольшего сближения 1„то (36.45) $ 36) таогия эвяектов давления в яинагном пгивлижвнии 473 н — ! Ью(("— , = ьа.
С!! 1 и Таким образом, в центре линии Лю (( Й справедливо ударное (дисперсионное) распределение интенсивности. Для больших же значений стг», Ага>) Й, ударное распределение сменяется статистическим. Статистическое крыло может располагаться как с длинноволновой, так и с коротковолновой стороны в зависимости от направления сдвига термов. Выясним теперь, при каких условиях большая часть интегральной интенсивности линии сосредоточена в ударной области.
Легко видеть, что для этого необходимо, чтобы ь2 значительно превышало ударную С„1»-' ширину т. Учитывая, что Т 2по,'№=2м№(сс„— „"), получим и !! ". ! 2пй,'Мп ~~ Й = — е! бч -! ч откуда / Сл1:! 2гтр',М(<1 или 2гс( „) М((1. (36.49) Таким образом, для малых давлений и больших скоростей, пока выполняется неравенство (36.49), ударный механизм уширения играет решающую роль. На долю статистического крыла приходится относительно ничтожная часть общей интенсивности. При больших давлениях и малых скоростях, когда неравенство(36.49) нарушается, т.
е. при Ь=д,*И- 1, (36.50) ударная теория неприменима даже к внутренней части линии. Отметим, что если условие (36.49) не выполняется, то, вообще говоря, нет никаких оснований использовать бинарное приближение. Действительно, соотношение (36.50) означает, что эффективный радиус о, примерно равен среднему расстоянию между возмущающими то изменение фазы при столкновении можно считать мгновенным. Но мгновенность столкновения как раз и является исходной предпосылкой ударной теории, позволяющей крайне просто вычислить 7(ы)г(ю. Основную роль в ударном уширении линии играют столкно! С„~:! венин с 9=0,-(а„— ") .
Подставляяо, в (36.48),получаемсоотношение, обратное (36.47) ушнгенне спектглльных линий [гл. х частицами. Хотя прн (),'АГ)1 статнстнческзя теории применима практн чески ко всему контуру, выражения (36.37), (36,38) не описывают центральной части линии. К крылу линии, как нетрудно видеть, этн формулы применимы. Действительно, большие сдвиги частоты создаются наиболее снльнымн возмущенннмн, т.
е. взанмодействнем с ближайшей частицей. Выше прн выводе формулы (36.43) было сделзно предположевне о незавнснмостн фаз а,. Для точек 1„, 1д относящихся к рззным столкновениям, независимость фаз а„, а, очевидна. Нетрудно показать, что сделанное предположение справедливо н для точек гм 1„ относящихся к одному столкновению. Действнтельно, †„" — с точ- С„о 'о" а постыл до множятеля порядка единицы представляет собой полный сдвиг фазы прн столкновении. Следовзтельно, соглзсно (36.46) основную роль в образовании статистического крыла играет излучение в течепнс сильных столкновений, лля которых т) )) 1. Отсюда вытекает, что (а„ч, — а„) >) 1, прячем эта разность различна для разнгых столкновений. Проведенный в этом разделе анализ дает, конечно, лишь весьма общее представление о контуре линии.
Тзк, вопрос о распределении интенсивности в промежуточной области га †,--П остзлся нерешенным. Кроме того, неясно, насколько хорошо днсперснонное распределение описывает центральную часть линии, если неравенство (36.49) выполняется с небольшим запасом, т. е. если ьа, хотя н больше у, но имеет тот же порядок величины. На этн вопросы может дать ответ лишь вычисление 7(ю), не связанное с упрощающими предположениями удзрной нлн статистической теории. Такие вычисления были проведены Андерсоном н Талмэном '). Получить общие аналитические выражения для всего контура оказалось невозможным.
Поэтому Андерсон н Талмэн детально исследовали предельные выражения для l(го), справедливые для внутренней части н для крыльев линии, н, кроме того, построили ннтерполяцнонные выражения для промежуточной части. Этн вычисления дали целый ряд уточнений контурз спектральной линии. Все этн уточнении, однако, невелики н представляют интерес скорее с принципиальной, чем с практической точки зрения. Поправки к контуру, полученному плавным соединением дисперснонного распределения со статистическим крылом, лежат в пределах той точности, на которую вообще можно рассчитывать в рамках рассматриваемой модели, 6.
Обсуждение границ применимости и возможности уточнения модели. Изложенная выше теория эффектов давления основывалась на следующих главных допущениях: 1) движение возмущающих частиц квазнкласснчно; ') См. цитированный выше обзор С, Чена н М. Такее. й 36) твогия эьэвктов давления в винлгном пгивлижянии 475 2) уширение связано с модуляцией частоты атомного осциллятора, причем эта модуляция подчиняется простому закону (36.6); 3) основную роль играют бинарные взаимодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
