Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Поэтому при решении этой задачи обычно идут на дальнейшие упрощения. В этом разделе будет рассмотрено приближение, получившее название ударного из-за аналогии с ударной теорией уширения Лорентца. В основе ') Вообще говоря, в соответствии с (36 9) функцию корреляции надо было бы определить как Ф(т)=ехр [ив т — 1]ц(г) — т](/+ т)]]. Однако для дальнейшего удобно выделить множитель екр [йо,т]. Как правило, ниже будет использовано определение (36,13) — (36,!6). й 36) твогия эвввктов давления в винагном пвивлижвнии 463 464 УШИРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ [ГЛ. Х теории Лорентца лежит допущение, что решающим фактором уширения линии является нарушение когерентности колебаний атомного осциллятора при столкновениях.
Лорентц не уточнял механизма столкновений, которые считались мгновенными. Предполагалось просто, что вследствие столкновений колебание осциллятора разбивается на ряд независимых цугов. В пределах каждого из цугов частота атомного осциллятора равна <О,. Разложение такой совокупности цугов в интеграл Фурье не представляет труда, так как полная интенсивность слагается из интенсивностей отдельных цугов <о+ ~о т(<О)= !Нп 1 ~~ ~ е «л'«1~ = т -'аО 2п Т г ), 1 тч 1 — СОТ(Ы вЂ” Ыа) т< = !'Пп — ~' г . Птг ( — ы,)' Обозначая усреднение по всем возможным значениям времени свободного пробега т угловыми скобками, получаем 1 Г /1 — СОО (Ы вЂ” Ыа) ТТ 1 <1 — СОБ (Ы вЂ” О)о) Т) г ~ОО ПТ То (Ы Ыа) пго (Ы Ыо) где т, †средн время свободного пробега. Нормированная на единицу функция распределении для т имеет вид (Р'(т) = — е То поэтому.
Т(<О) = — ) ! Г! — СОО(Ы вЂ” Оаа)Т 1 — е <!т= пт,) ( — ° )о о 1 1 (Ы Ыо) +( ) (36.18) ! — = !(<Нп, у = 2!Оалп, (36. 19) где М вЂ” концентрации возмущающих частиц. Формула (36.19) для у аналогична формуле (35.4) для радиационной ширины. В данном Согласно (36.18) лорентцевское уширение имеет тот же дисперсионный характер, что и радиационное. Ширина линии у в данном слу- 2 1 чае равна †, где — — частота столкновений или число столкновений То Та в 1 сел. Ширину линии удобно выразить через эффективное сечение столкновений и, определив эту величину соотношением $36) тзогия эееактов давления в винлгном пгивлижвнии 465 1 случае у, = у„ = †, так как т, есть время жизни атома на уровнях та а, Ь. Величины и теория Лорентца не давала. Естественно возникает вопрос: кзк подойти к оценке пу Совершенно ясно, что нет никаких оснований приравнять эффективное сечение и газокинетическому знзчению, поскольку, согласно основному допущению лорентцовской теории, дли уширения линии существенны такие столкновении, которыми нарушается когерентность колебаний атомного осциллятора.
Поставленный вопрос впервые был решен в работах Ленца и Вейскопфа. Сохранив представление о решающей роли сильных столкновений и считая так же, как и в лорентцовской теории, столкновения мгновенными, Ленц и Вейскопф указали конкретный мехзнизм нарушения когерентности. При пролете возмущающей частицы частотз атомного осциллятора смещзется. Хотя сами интервалы времени, в течение которых х+О, крайне малы, фаза осцнллятора в результзте столкновения приобретает дополнительное приращение.
Если этот дополнительный сдвиг фазы т) достаточно велик, т. е. превосхолит некоторое значение т)„ то когерентность колебаний нарушается. Таким образом, столкновениями надо считать пролеты, при которых з) ) з),. Исходя из (36.5), нетрудно нзйти сдвиг фазы т) для пролета на прицельном расстоянии о з)(р) = ) " „ =а„ „", (36.20) ( йа + 021 а ) где (36. 21) Подставляя в (36.21) значении л= 2, 3, 4, 5, 6, получзем л=2 3 4 5 6 а„= и 2 и!2 4~3 Зп~)8 Приравняв правую часть (36.20) т)„можно определить наибольшее значение п„при котором пролеты еще эффективны, т. е. определить эффективный радиус столкновений. При этом сразу возникает вопрос о выборе ц,.
Согласно Вейскопфу надо положить т), = 1. Это дает для эффективного радиуса взаимодействия (так называемого радиуса Вейскопфа) следующее выражение: (36.22) 466 УШИРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ 1гл. х Таким образом, о= е.*=п( — "„Р) у = 2пА)о ( — "" ) (36.23) ЬФ= <егч ' +ат)> — <егч гтг > = <егч "егч> — <егз г г>, (36.24) где через т) обозначен сдвиг фазы зз время Ат. В приближении удзрной теории величина т) не зависит от значения фазы в момент т, поэтому усреднение обоих сомножителей в первом члене правой части (36.24) можно проводить раздельно. Таким образом, АФ = <егч га» ( <егч> — 1) = — Ф (т)<1 — ег4>.
Обозначим число возмущающих частиц, пролетающих за единицу времени через кольцевой элемент 2пй г)р, через Р(р)г(й. Тогда <1 — егч> = Ат ~ Р(р) г)р (1 — е'ч), ЬФ= — Ф6Ьт, Ф=е ', (36.25) где 3 = ) Р(й) г)й 11 — е'ч "и). (36.26) Поскольку Р(р) г)д=МП2пд г(р, из (36.25) следует Ф е-ма. га — аап (36. 27) ') Излагаемый ниже метод вычисления Ф(т) был предложен в работе Р. Ап бе ге оп, Рйуз. Йеч.
16, 647, 1949, Изложенный выше метод подсчета Т страдает двумя недостатками. Во-первых, в силу произвольности выбора предельного значения фазы т), (почему 1, а не, например, и или — ?) формулы (36.23) не могут дзть больше, чем порядок величины у. Во-вторых, из рассмотрения совершенно выпадают пролеты вне ра. Ниоткуда не следует, что малые, но зато гораздо более частые сдвиги фазы несущественны для уширения. Оба эти недостатка ударного приближения нетрудно устранить.
Вернемся к выражению (36.13) для 7 (нт), причем функцию Ф(т) определим соотношением (36.!5). (Тот же результат можно получить, если исходить и из (36.1 4)').) Образуем разность ЛФ = Ф (т+ Ат) — Ф (т); в соответствии с (36. 15) $ 361 таогия зеевьтов давления в ьинлгном пгивлижвнии 467 где и' = 2л ~ (1 — созт)(р))ос(р, (36.28) о" = 2л 3 яп т~(о)р г(р. о (36.29) Подставляя (36.27) в (36.13), легко получить л (и — ы,— )уоо')'+ (уоп')' ' (36.30) Это выражение аналогично (36.18), но теперь ширина линии определяется соотношением (36.31) и максимум линии сдвинут от гв, на величину Ь = Хоп". (36.
32) Выражение (36.30) точно совпадает с формулой Лорентца (36.18) 1 если в последнюю подставить — = Иоо = А)о (и' — ит"). Так же как и в тч лорентцевской теории, ширина линии пропорциональна концентрации возмущающих частиц гч'. При больших значениях го — гв„т. е. в крыльях линии, формула Линдхольма дает то же выражение, что и формула Лорентца 1(ги) — (го — го ) = — — (го — го ) Моо' — а У -2 и 2п а ~(1 — соз т)(о) ) 2лй.г(0=ли', ч ~ яп т) (()) 2лй по (< лд'.
о Таким образом, пролеты внутри й, дают уширение линии примерно той же величины, что и в теории Вейскопфа, и не дают заметного ') Формулы (36.28) — 136.30) были впервые получены Линдхольмом: Е. 1.! п б)го1пи Агс)бж Маг. Ашг. о. Еуа, 288, №3, 1941. Оценим вклад дальних и ближних пролетов в о' и и" для и==3. (При и =.2 возникает особан ситуация, которая ниже будет рассмотрена отдельно.) Запишем (36.28), (36.29) в виде суммы двух интегралов, взятых в пределах от 0 до радиуса Вейскопфа 0, и от до со. Для 0(()(й, т)(й)~1, следовательно, сов т)(о) и япт)(д) быстро осциллируют, в соответствии с чем 468 уп!Нгение спектРАлъных линий [гл. х вклада в сдвиг.
Наоборот, пролеты вне о, (т)(0) =1) мало существенны для уширения, так как ) (1 — соз т) (0) ) 2пр а(0 ( пй,', но дают основной вклад в о". Из сказанного следует, что при грубых опенках ширины линии можно использовать формулу Вейскопфа. Из (36.29) следует, что при изменении знака т)(о)пл меняет знак, Если столкновения рззных типов, сопровождающиеся сдвигом фазы т))0 и т)(0, равновероятны, то суммарный сдвиг га линии равен нулю. В противоположность этому о')О при любом знаке т). Если в интегралах (36.28), (36.29) сделать замену переменных гги~л н' т)(0)= — "— л",=х, то легко показать, что отношение —,„не зависит Ел ' от С„. Таким образом, отношение ширины к сдвигу для заданного значения и является постоянной величиной.
Подставляя в (36.28), (36.29) Ч(о) из (36.20), можно получить следующие выражения для Т, гг: у — — 2п'С,М, г г у=2 ' сг Г( — ) — ===1,15, у 2 р'3 И=3 г г С' па )гг' 11,4С' и' гаг, а а (36. 33) — = 2,8. у Й у=8,16С' па Ж, а Л=6 Полученные значения у при И=3„4, 6 немного больше, чем по Вейскопфу,— соответственно в —; 1,35 и 1,2 раза ').
В случзе и = 2 т)( 0) саз 0 '. Следствием этого является расходимость интегралов (36.28), (36,29). При больших и 11 — сов т)(0)) о-сгй ', а з(пт)(р].р от р не зависит. Поэтому о' расходится как 1пр, з пл расходится как и, Физического смысла эта расходимостьч очевидно, не имеет, так как формулы (36.28), (36.29) получены в бинзрном приближении. Это приближение заведомо неприменимо при значениях 0, больших среднего расстояния между возмущающими частипами, т. е. при 0)Х '".
Поэтому рзсходимость интегралов (36.28), (36.29) можно интерпретировать как указание на возможную непригодность схемы парных столкновений. Во всяком случае очевидно, что дальние возлгущения надо рассматривать с учетом многочастичных взанлюдействий. Можно надеяться, что такой учет окажется эквивалентным об') Велнчнны гг прн и = 3 н у, д прн л =в для атомной спектроскопии интереса не представляет. $361 твогия эвввктов длвлнния в винлгном пгивлижвнии 469 У(га) йо= резанию интегралов (36.28), (36.29) на некотором эффек~ивном расстоянии р„.
Поэтому мы приведем соответствующие выражения для у и Л, полезные для различных оценок: Р пС,) у, = 4ппМ ~ ~1 — соз — '~дпд = аа ) о 2п'Сйп 'М)0,923+(п( — )+ 4( ) +'.. ~, (36.34) Рю Л, = 2ипИ ~ з(п — ' р дй пС, е (36.35) =2п*С,* — И(йм — —,"+,,'1 (а ) 4 ...), пС, ео 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
