Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Это видно из следующего рассуждения. Если вести все рассмотрение в системе координат с осью я, направленной на возмущающий электрон, и пренебречь переходами между различными штарковскими подуровнями (это приближение мы будем нззывать адизбатическим приближением во вращающейся системе координат), то форма линии будет определяться наложением штарковских компонент, уширенных в соответствии с формулами (36.34), (36.35).
Для плазмы существуют два характерных линейных размера, которые в принципе могли бы войти в качестве параметра обрезания 9 38) тшнгвннв линий водогодного спактгл в плазме 509 о в этя формулы: среднее расстояние между частицами Й--АГ-Ч и дебаевский радиус )ср. Оставляя пока в стороне вопрос об обосновании того или иного выбора величины оь, приравняем о меньшему из этих двух значений, т. е.
положим р„ = Аг ". Это дает у--2п'С,'о 'М ~0,92+!п, 1), лс, 138. 22) Поскольку для электронов А=И(п — ') ((1, т. е. С,М т((п, ширина отдельной штарковской компоненты много меньше ее сдвига и поэтому эффективная ширина всей линии определяется сдвигом компонент, т. е. значительно превышает значение у из 138.22). Если же рассматривать столкновения атома с электронами в некоторой неподвижной в пространстве системе координат н снова воспользоваться адиабатическим приближением, то можно получить совершенно другие результаты. После усреднения по всем столкновениям (это усреднение включает усреднение по направлениям векторов о, яг) для каждой из штарковских компонент у -- 2п'С,'и 'М и А = 0 )напомним, что знак сдвига ззвисит от направления поля).
В этом случае ширина всей линии имеет тот же порядок величины, что и ширины отдельных штарковских компонент. Совместное рассмотрение обоих эффектов )отступление от адиабатичности и неприменимость бинарного приближения) представляет собой весьма сложную задачу, не получившую до снх пор удовлетворительного разрешения.
Поэтому ниже мы ограничимся бинарным приближением. Ранее было показано, что в случае взаимодействия, пропорционального Й ', основной вклад в уширение дают сравнительно слабые столкновения, т. е. столкновения с прицельными параметрами 0~0,, Таким столкновениям соответствуют большие значения угловых моментов А Это позволяет использовать квазиклассическое приближение.
Таким образом, мы приходим к следующей постановке задачи: 1) воздействие электронов на атом можно описывать введением зависящего от времени возмущения Ь'11); 2) это возмущение неадиабатично; 3) электроны создают ударное уширение. В такой постановке задача вычисления формы линий водородного спектра в плазме рассмотрена в работе Грима, Колба и Шепа '). ') Н К. бг!ею, А. С. Ко! Ь, К. У. 8Ьеп, РЬуа. Кеч. 116, 4, 1959, 510 ушигенив спвктелльных линий [гл. х (38.25) В этой работе проведены летальные вычисления контуров ряда лай- мановских и бальмеровских линий, причем получено очень хорошее согласие с экспериментом. По этой причине ниже мы будем основы- ваться на этой работе. Следуя Гриму, Колбу и Шену, сделаем неко- торые дополнительные упрощающие предполбжения.
Будем прежле всего считать, что возмущением одного из уровней можно пренебречь. Это позволяет воспользоваться общими формулами второго раздела 3 37. При не очень больших скоростях электронов основную роль играют переходы между состояниями, относящимися к одному уровню, поэтому мы пренебрежем всеми остальными переходами. Это означает, что в уравнениях, (37.17) можно положить У, „= 0 для у ~= а". ! г на --- на В этом приближении операторы у =ее уе " (см. (37,20)) можно заменить на У. Следовательно, а(т)=1+~ — — ~ ( У, (Р)аг'+ $7,) оэ + ( — — ) ~ У„(Р) Ж' ~ У, (1") Ж" +...
(38.23) Выберем некоторую неподвижнуго в пространстве систему координат и обозначим через р, о радиус-вектор и скорость возмущающего электрона в момент наибольшего сближении. Если ограничиться днпольным приближением, то столкновению с параметрами р, о со- ответствует возмущение У, (1) =е'г (38.24) [е'+ он'[ ' где г, — радиус-вектор атомного электрона, причем предполагается, что отличны от нуля только матричные элементы <а [ г,[ у) при у =а'. Поэтому <а [г г, [а'> = ~и~~ <а [г, [ а" > <а" [г, [ а'> ').
Подставляя эти выражения в (38 23), получаем а(р а) — 1=( — — ~е ) " Ж+ Г г, (р+ ог) 37' [Еэ+ о'р) ' Оэ ( 1 ~ ч (' гч (Р+ ос) ~1 [' г, (Р +еГ) 71 (38.26) + Ху',) [е'+ 'г'1' [е'+ чг")' ') В общем СлУчае (а [гг[а')=~ЧР(а [г[У)(У[г [а'), поэтомУ ге не является радиус. вектором электрона г в обычном смысле. 'ф 38! Ршитьние линий водотодного" спектРА В плАзме 511 Усреднение по параметрам столкновенйй в (37.23) подразумевает усреднение как по абсол)отным величинам векторов л, т), так и по их направлениям в пространстве.
Нетрудно видеть, что при усреднении по различным направлениям р, ч) первый член в правой части (38.26) обращается в нуль. Усреднение по направлениям р, я)величины га(З +о!)га(Я+о!') =;„~(га) (й;+о;!)(га)Я(ПЯ+оа!') дает (г )8(ча ! П821,) ! ~~) (г )0(ча ! Па!! ) ! г г (ра ! оаа! ) ! ! Следовательно, второй член в (38.25) приобретзет ьид ОО е' 1 Г 8!! Г О'+ Оа!à — — — гг ) Е)0' — '— 3 з 0 0 .) е' 1 Г ау 2 е' 1 = —.— -г г = — — — гг —. 38 3 а а ) О(ОЯ+О0!8] 3 38 а а ОЯОЯ -Оа Таким образом, после усреднения (38.26) по всем направлениям векторов о, я), получаем 2еа ! а(д, о) — !аа — — — г,г,— + ... (38. 27) 3 ь3 Р~~ Число столкновений с параметрами о, р -)- 8(р;. о, о+ 8!о равно о)ту'(о) с(о2П() ь)р, Рде у (о) — нормированная на единицу функция распределения для о.
Г!оэтому если ограничиться в (38.27) одним только первым членом, то для оператора 6 в (37.27) получим сле.дующее выражение: 1)")а ) 0'01 ( ' — ),, )8808) ! 3 ~* 0 Приближение (38.28), очевидно, законно только в том случае, когда основную роль в уширении играют столкновения с большими значениями р, для которых (см.
(38.27)) е' 1 — С, ) — — <г,г,> а - — *((1. ЕО Это приближение соответствует замене в формуле (36.28) фактора ПС, 11 — соат) (й)) = ! ! — соя' — ' первым членом разложения по степее ням ПС о о Р равным — — ~ .Ранее при анализе формул (36.28), -1 -1 1 ПС,~Я 2 .ОО) 512 ьшиганив спектгхльных линий [гл. х (36.29) уже отмечалось, что Ра 1 (1 — сов Ч(Е)) 2пЕ Фй=пй,*, а где о,— радиус Вейскопфа, причем этот интеграл мало чувствителен к изменению вида функции т)(9). Поэтому Р»а Р»а [1 — соа т((9)) 2пд ауй=пр, '+ [ 11 — соз — "'12пй а[9= ОД„ а Р Р» пйа+) ( — '') пй ср=пйа(1+ [п о" ) . Используя аналогичное приближение при вычислении оператора 11, получаем ~ 2пЕ.
[Е[1 — о(Е, )1=) 2 Е е[Е[1 — (9, п)1+ а а Р» + ~ 2пр лй [1 — о (9, о)) = пр, '+ — — г,г, —, [п о— Оа и, следовательно, б=пХ1ог"(о) Фо ~о,+ ~ е г'г'1п (О )1, 1 l 2е* а (38. 29) В качестве <г,г,> можно взять среднее, для данного уровня, нз величин [<а[г,г,[а>[. Как будет показано ниже, основную роль в (38.29) играет второй член. Поэтому йа в (38.29) можно нлн 2 е' совсем опустить, или заменить выражением — — и г г . При этом з5 0= — пИ вЂ” г .г [ — У(п) еЫ[1+2[п — "1. (38.30) з Р Предположим, что распределение электронов по скоростям является максвелловским 1 При и — 0 9, сь> — — оо.
Но все предыдушее рассмотрение основано иа пренебрежении далекими столкновениями, для которых д)9 . э 38] гшигвнив линий водогодного спвктгл в пллзмв 513 Поэтому нижний предел интегрирования по о надо положить равным о~ы + О. Нетрудно видеть, что область малых значений е дает небольшой вклад в интеграл и, следовательно, этот интеграл слабо зависит от о ы.
Определим о ы нз условии ра1о ш) =о . Тогда, после интегрирования по частям, получим аа — 11+. 21п ~ — ~ у" (о) ай~ = пап а Г ' 1 сп =(„~~,) (ехр ~ — ау, ~ +2 ~ — ехр ~ — 2аГ] гЬ~.138.31) пиш Для значений М, Т, представляющих наибольший интерес,— тп'щ!п 2аГ мало 1как правило, (О,1). Поэтому первый член в 138.31) не сильно отличается от 1 )2 ) и /2т), 4 ~,2лТ) и При вычислении второго члена можно воспользоваться простой аппроксимацией сп тй а ( ° )- ! аат 1 / талип — е Ио — — (1п + 0,577 2 )ь 2лТ "пип = — — (2!п — '" +1п — +0,5771) =1л ~ — 0,17.
2 ( <П> 4 ' / Оа 1<а>) В результате 138. 32) 4. Упрощенная ~сория. Зная оператор 8, можно вычислить контур линии с помощью формулы 137.28). Поскольку такие вычисления весьма трудоемки н требуют применения численных методов, представляется целесообразным сначала рассмотреть несколько упрощенную задачу. Пренебрежем недиагональными матричными элементами 8 тчто, вообще говора, неэквивалентно адиабагическому приближению). В этом случае согласно 137.30) 11гв) будет определяться наложением днспеРсионных контУРов г„а1гл), пРичем шиРина У„, и сдвиг Л„а кажйого из этих контуров могут быть вычислены по' формулам 137.31). Поскольку оператор 8 дейсгвителен, сдвиг каждой нз компонент Ь, тождественно рзвен нулю. 17 И.
и. Спаальпаа ушиРение спектРлльных линиЙ 514 (гл. х Отсюда следует, что результирующий контур, полученный пало. жением шуарковских компонент, близок к дисперсионному, с шириной у М <г г > <и> 0,33+!и ]— 32 е', Г дн 3 3 . 1,,«Е>) = 16АГ <и> 0о (<и>) ~0,33+ 1п 0 1, (38.33) е., (<е>) 1 ' 0о(<п>) = — — <г г,> <и> — ~ — ) — и'(и — 1)'~ — . (38.34) 3 йо о ' 3 ( 8ВТ) йо (,2;тео/ Здесь и — главное квантовое число, е.,— заряд ядра водородоподобного иона. Если пренебречь отличием истинного контура (37.28] от дисперсионного, то ширину у можно вычислить также с помощью общей формулы (37.37) у = — Аà — <П> '10,33+!П "' 1 ° (~, (3',( Р„('1 ~,УГГР„оР „Х х<а(г,г,(а'>.
(38.35) Вычисление суммы по ара' в (38.35) для ряда уровней атома водорода показывает, что в случае равной заселенности всех а-подуровней с достаточной степенью точности можно положить ') ( ) (3г,'(Р (') '~~' АР„>Р <а)г,г,(а'>= — и'1( —,) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
