Овчинкин часть 3 (1181127), страница 59
Текст из файла (страница 59)
5 5.18. Т И с — ж 500 с. Ь 5Л9'. Р е ш е н и е. Теплое мкость молекулярного водорода С = С с + Свр + Скал Поскольку расстояния между колебателы~ыми уров- нами велики (сьв(хвл ')( — сЛсв' Яе 402Л8 р), то пРи комнатных темпеРатУРах (М Ф колебательные уровни не возбуждены, а вращательные уровни возбуждены все, поскольку по условию С, = (512) й.
При Т = 100 К вращательные уров- ни не возбуждены вовсе. Таким образом, — Ь 2 2 ат и 2)17 = —, ОтКуда 1Н вЂ” — 10 г.см, -4о г вв 1 1сТ где Л вЂ” постоянная Больцмана. Следовательно, 73р = — 2(1+ 1) ж )сТ(1 + 1); р = — (1+!), где 1= О, 1, 2, . 21 6 250 о;„— ж 2,1 10!2 Гц, ); „„1,5.!О г ем = 0,15 мм. ооо Соответствующая линия лежис в далекой инфракрасной области спектра, 5.20.
Количество вращательных уровней /т „— 4. г г 522'. 8„= йю ~и+ -~ — -е — Т, где и = О, 1, 2, .... 2/ 2тсо Решен не. Запишем уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора в электрическом поле В 2т ~Ох 2 Перепишем его в таком виде: й тм/г геЕ г г/ Нсо = — — со" + ~х — — х с(с. 2т г Полученное уравнение можно свести к уравнению колебаний осциллятора со смещенным пололсением равновесия, если выделить полный квадра| в выражении в скобках в правой части уравнения гг г 2еЕ ( еЕ! Ее,г еЕ х — — ух= х — — у — — 2 — т= (х*) тсо ~ тсо ~ т со т со Тогда уравнение Шредингера примет вид Ь „о+тсо х еЕ, Й+ еЕ или — с! о + —" х' ~В = Ю*ф 2т 2 Уровни энергии в этом случае, очевидно, следующие: 8'„=Во~и+ — ~, илн 8„=/)со и+ — — -е —, где и= О, 1, 2, ...
!! 2~ 2) 5.23'. со! — сог — — сог — асг — — ь) = 0,32 10!5 с ! = !/Д/)с, откуда вычисляем к яо 1,2 1ОЕ дин/см. Ре ш е н не. Найдем частоты, соответствующие заданным переходам (рис. 156), ас! = — = 5,59 10 с 2хс Хс = 2"е = 5,27 10!5 с с; гг соз = — "' = 4,95 10!5 с-!. )сз При вычислении мы сделаем округление в третьем знаке. Это дает точность (0,01/5) 100'4, = 0,2;,', что укладывается в интервал измерений (0,2осс — по условию). Вычислим разности частот ас — ас = 0,32 ° 10!5 с с; сог — сог = 0,32 10!5 с !.
г 251 Такое совпадение указывает на эквидистантность уровней 1, 2, 3. Следовательно, они могут быть связаны с колебательными уровнями молекулы .)'2 щ! г шг юз (2 1( где )( — жесткость упругой связи, )г — приведенная масса молекулы Х . Таким образом, искомая жесткость Вращат Колебвт. 2 3 и( Ьыо хА г лыса 8, = = †, откуда А 2 2 4„ 1= П()г = 1,2 10Ь дин('см, где (ь = 11,69 1О ~ г.
Заметим, что найденный колебательный квант молекулы азота Ы = й(2 = 0,21 эВ. Табличное значение 0,29 эВ. ° дщв гщ 4щ Электр. бя 8, (г) М вЂ” масса атома, 2 2 2 Р еш он не. Двухатомную молекулу з г можно рассматривать как квантовый гар- 5(1) монический осциллятор.
На рис. 157 изо- бражен потенциал взаимодействия атомов Рис.!5б в такой молекуле. Вблизи положения рав- новесия форма ямы приближенно параболическая. Однако из-за соотношения неопределенностей квантово-механическая система не может находиться в этом положении — на дне потенциальной ямы, В результате возникают нулевые колебания с полной энергией бо — — Ьоо/2. Далее идут эквидистантные г) уровни возбужденных состояний двухг о атомной молекулы с Л() = дщо, где абае†частота колебаний двухатомной молекулы що = гйl(г = ~2ММ, где К вЂ” коэффициент упругой молекулярной связи, приведенная масса молекулы, М вЂ” масса атома в молекуле типа Нг или О . и(гз) Согласно соотношению неопределенностей и теореме вириала для осцилятора г „г Ряс.
157 мо:кно записать 8 2 — Т (счи- 2лп щл таем, что область локализации электрона порядка межатомного расстояния). Отсюда искомое отношение 3 'дуМ дг т, „2лм ~0,035 для Нг, „т=бм )~ м 10,01 штя О,. Для оценки амплитуды нулевых колебаний воспользуемся приведенной в условии соотношением к = 8,/а~. Как указывалось выше, энергия нулевых колебаний 252 Подстановкой найдем 4!т„!0,15л для Нз, "и (0,08а для 02. «Г. Величина К = )( †' носит название параметра неадиабатичности (см. )(м задачу 5.29).
5.25. А, = — 4,74 !0 !о см; Т а 3100 К. ~ 2лср 5.2б. Молекула 02 находится в основном состоянии, так как «7' = 0,025 эВ ~ 2(б. Поэтому Ао — — = 0,058 7г, где р — приведенная 8 ~Н~ масса Оз. 2 пах з 'ггзы 5.27. " = ж 180, где (г — приведенная масса молекулы азота, лб.„ г — положение минимума кривой, берется из графика. 528. 2 = 2пс)( — р = 31 ем; Вы = 4 10 ь эВ; Ао= в — = ")) — 79 — ж 4 ° 10 !з см.
лын 92 2!8 йыо ЛЮ 529 бои= — = =0,27эВ; гоп= = — — 0,19эВ. 2 У2 — 1 2 т2 — ! Решение. Поскольку масса электрона много меньше массы ядер, то скорости движения последних малы по сравнению со скоростями электронов. Тогда в первом приближении можно найти энергию электронов при неподвижных ядрах, а затем учесть движение ялер.
Такой подход носит название адиабатического приближения. Энергия молекулы с учетом движения ядер может быть записана как л л (д) ! лкяя«л При этом энергия электронов зависит от межъядерного расстояния как от параметра. В энергию е л(Д) включена также энергия электростатического отталкивания ядер, поэтому бз (й) фактически является полной энергией молекулы при фиксированном положении ядер. Полагая далее, что Й = Яо + ЬА, где Яо — равновесное расстояние между ядрами, а Ьй — отклонение от него вследствие движения ядер, запишем б „(й) 1дб (Я)! озх(до) + — — — у — ~ (бд) .
Второй член представляет собой потен- 2 дЯ Я ло циальную энергию ядер Он~от, т. е. усредненный потенциал, создаваемый электронами. Вместе с кинетической энергией они образуют энергию колебаний 8к„"н+ У„"~от =балю Если сюда добавить энсРгию вРащениЯ молекУлы квк целого бз, то получим энергию молекулы в адиабатическом приближении о = 8 х(йо) + бк, + с . Заменяя по принципу соответствия классические выражения двух последних членов их квантовыми аналогами, получим бо — — бзх(йо) +дюкова+ — ') +В!(!+ 1), 2! 253 где В = — Т вЂ” постоянная вращения, ц — приведенная масса ядер, Ь 28Д» г» = — ~ — квадрат частоты колебаний ядер.
Можно показать, г 1 а'8181 дА что б (ло): йсок»,: В= 1. к; к» (см. задачу 5.24). Энергия диссоциации — это разница между энергиями основного состояния молекулы и энергии двух удаленных атомов водорода (дейтерия), принимаемую равной нулю. Т. о. 1 = бо. Энергия основного состояния молекулы ео — — еэл(до) + — йюк» . Разность энергий диссоциаций молекул Пз и Нз 1 2 Да = ГО гя, = 2бц 2бзл П(КО) — — 2би+ 2б .Н(ДО) + 8ыо дын Поскольку » оп ен = — т (йп йн) 28 Рис. 158 254 в„хт ! м,1 где и= =т,(1 — — 1 — приведенная масса электрона, то с учетом ю+И ( Мl одинаковости потенциалов взаимодействия, получим ЬЮ 8 = — — — 1 ын .)рп г— 8ыо лб Отношение — = х — =т2, откуда следует — = ж 0,19 эВ и о ~рн 2 7г — 1 — = т72 = 0,27 эВ.
2 т2 — 1 5.30. Во — у 1,2 10 ге эрг= 0,75 10 4эВ, где 2гя» 4,5 ° 10 З см— 8лг характерный размер области, занимаемый одним атомом в жидком гелии, 2г ( — е — ) 5.31'. — 'г = — т = 1,63 1О з. 88»»» ййго Р е ш е н и е. С ростом номера колебательного возбуждения меняется средний квадрат расстояния между атомами в молекуле и, следовательно, момент инерции молекулы (рис.
158) зависит от л. бк»в = А(л+ — ) = (К) +(сГ) = 2(У) — теорема вириала. Далее, (11) = = 2 1-"~ (хз) -+ (хз) = — н + —, где н — приве! Я а ' ' ' денная масса ядер. При этом (хо) = — — = — (см. з 1 8» 2 ~ио задачу 5.25). Тогда 2х„ 1' 2 "тГ(хф = з11 — — = 1О ~ см = О, 1 А ж 1, 1 А = го. 2 яды Среднее значение вращательной энергии г г (1) «21(1+ 1) й 1(1+ 1)(1 ~ й 1(1-Р1) Надо отметить, что усреднение ведется по заданному колебательному состоянию. В силу адиабатичности, 8 „— поправка к бх Последнее равенство 1 — 21 справедливо, поскольку для неболь1,„1 (,„ ~ ших в < 100 справедливо соотношение (хз) ~ г . «2 Лбвр(1=1,-~1= 0) = —,-; й(.) 2 2 г Дбвр(О=О) (ОО 1 х1) ) (ге 1 2хнс 1 Х1) ге 1 (х1) Аавр(а 1) ((10-1-ХО) ) (ГО.)-2ХОГО-)-ХО 10+(ХО) Т=т ГОО -р Зй)12ИО3) ( 3 й 1 й 61 й, -З вЂ” — — — .63 3 гс 4 й/(2рва) Иавго ИО3го )вавго Как видно из решения, существует взаимодействие мехсду вращением и колебаниями ядер, что соответствует выходу за пределы адиабатического приближения (см.
задачи 5.29 и 5.57). 5'32' 43о= ~ = 3«)г"-уу = 1,944 10 2 эВ 226 К. 2 тге ввег «„. (4В 0 3 2643нв 2Д|шА 5.34. 1А = 13а = где )зе = «(Π— р'). л1А(331А 1 3лв) мв(3нА+ лвв) 5.35. Разность энергий ионизации атомов ~~Ы и О~В 6333 = 7.10 ~ ОВ; О ширина линии поглощения из-за эффекта Доплера 2«63О3 ж «Ов— с 4,4 10 5 эВ, точнее (с учетом коэффициента 2т1)п 2, см. Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
