Овчинкин часть 3 (1181127), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Этот результат справедлив и в кванто- 2 2нг' вой механике. Зная координату частицы х(0), т. е. в момент ( = О, мы могли бы знать положение частицы в момент( = т: х(П = х(0) + й Следовательно, по крайней мере одно измерение координаты нам было бы необходимо. Согласно основным представлениям квантовой механики при измерении вносится неконтролируемая неопределенность (Дхох) =(х ) — (х)2. В результате после измерения координаты возникает разброс в значении импульса (Др„), который можно найти из соотношения неопределенностей в 2 форме Вейля д2 бт (дхф(др~~) э —, откуда (дрз) э— х 4(Ьхе) Через время т это приводит к неопределенности в пройденном расстоянии (конечную координату мы можем измерить сколь угодно точно).
(Ьрк)т А т (Дх,) = — «~ — Э вЂ” 2 — 2-. «л 4т (Ьхс) Складывая обе дисперсии, в силу их статистической независимости по. луч им д2 2 (Дх ) = (Дхо) + (Дх«) ~ (Дх1)) + Минимизируя полученное выражение по (Дхтс), определяем неопределенность первого измерения координаты, которая обеспечит минимальную неопределенность пройденного за время т пути (Дхзо) т = йт/2т. Это соответствует (Дхз) М = У«т/т. Силу можно будет зарегистрировать, если смещение / под действием силы окажется больше неопределенности пути Рт откуда 2т -11Ьт,/4тЛ 2 2.45'. г ст Р е ш е н и е.
В этом случае мы измеряем энергию частицы до действия си. лы и после. Первое измерение дает значение начальной энергии. Точность Д4) такого измерения зависит от длительности измерения ти т. е. ДЮ = йlт, (в принципе при достаточно большом 21 она может быть сделана сколь угодно малой). Поскольку полное время наблюдения ограничено величиной т, то часть этого времени должна быть затрачена на измерение начальной энергии, а в оставшуюся часть времени т — т будет происходить изменение энергии за счет работы силы Р. За время т — т! при условии гт1 <к ро изменение энергии РвЬР Г(1 — т1) Д~о Ро Это изменение энергии можно обнаружить, если Дйо > ДЮ = /)/21, откуда Г«т Ро«1(т, — 11) ' 22! г Вводя 8о — — — и минимизируя по тз, получаем ро 2т т Ь .)"оитз т = — и г 2 а~и г14 т о Заметим, что при подобных измерениях необходимо уменьшить все флуктуации энергии неквантовой природы (например, тепловые) до уровня меньше квантовых.
2.46'. Пороговая энергия рождения пары Еи»х 2тл,сг. Эта энергия «появля! ется» при попытке локализовать электрон Ьг в размере Л,/2, где Л, — комптоновская аг длина волны электрона. Действительно, 2 5з Л, Ь при Ьх — — ' = возникает неопреде2 2т,с лг ез пенность в энергии Ы = —, кото/ гиз»/лх) рая равна 2т,сг, Таким образом в области -Л,/2 электрон не может рассматриРас. 143 ваться как «точечный» объект. 2'47' Гизи 4, 10 — гс С; Ь8 — = 15 КЭВ.
— — го изм /„,и 2.4о1 Решение. Условие возникновения первого максимумами~ — 52 —— = Хдн. Из геометрии разность хода (рис. 143) з,— з,=з)( —:«*) «з' — '~(«* — — )»з' где использовано обычное условие эксперимента Аж О, Ьх. Если электрон прошел через щель 1, то изменение импульса экрана Ьх -'; О/2 «ос т 7 а если через щель 2, то ) Ьр ) Ьх — О/2 7**- ~»' с' Чтобы определить по измерению импульса, через которую щель прошел электРон, нУжно сУметь Различить по величине ~ЬР„г) и )ЬР„г), т.
е. точность измерений импульса должна быть лучше, чем р ! Ь 1 ) Л р ) р А х . 1- О / 2 Ь х — О / 2 О х х х х Согласно соотношению неопределенностей Ьх Ьр — Ь, откуда Ьх — — и — = — = — '. Ь Л Ы, го в/ Ьр, Ар„рО О 222 Так как Л ь —— , то Ьх > Ьх Тем самым неопределенность в положе- Вах ннн щелей (обе щели смешаются как целое вместе с экраном> будет больше, чем масштаб интерференционного расщепления, и картина размоется.
2.49'. Решение. Пока расстояние Ы между расщепленными пучкамн меньше 0,61Лф (результат, хорошо известный в оптике как предельное разрешение двух светящихся точек), определить, каким путем движется атом, невозможно. Поэтому первое размытие картины произойдет при г( = 0,61Лф. Так как угол дифракции мал, то, как следует из рис.
144, размытие интерференционной картины произойдет при расстоянии между пучкамн т 6 а~ хО = х — = — —. а а р Поэтому а 0,61 Л(дМв х=061Л а = ' =бмм. Ля я Следует отметить, что при таком способе измерения координат атомов изза их большой массы Ьрх, возникающее из соотношения неопределенностей, очень мало. и И 2.50. Р'= — у (Лзз — Лз() 5 10 ы дин, где 44 Лх — — 4 А н Л1 — — 2 А (упруго рассеиваться будут все нейтроны с длиной волны Л к 4 А).
2.51. и = — = 2,77 104 см)с, где Л = —— 4 МЛ длина волны фуллеренов. 2.52. Скорость тримеров и димеров одинако- ва: н = = 1,8 1О см/с„где ))( — число ато- 6 ам)гы Рис. 144 мов гелия в кластере. 4) ~2 2.55. древ )~ Лу, (йзтз81з)Н4. Легко проверить, что б|рЖ,~й. ги 1 а 2.54'. Р е ш е н и е. Флуктуация энергии в системе осцилляторов Ы = б)т'йю; в свою очередь, б( = —. Поэтому = й)т' Ь~р = 1.
Ь 68 а( (О 8 8 3. Уравнение Шредингера. Квантование. Потенциальные барьеры. 3.1'. Р е ш е н и е. Плотность потока вероятности вычисляется по формуле ) =,'" ( рЧ р" — ) "~ р), илн в одномерном случае 223 а) В случае плоской волны тр(г) = е>ь' плотность потока вероятности определим прямой подстановкой волновой функции в (4): 84 7 = — =о, 4 т. е. равна скорости частицы е, б> В случае сферической расходящейся волны 4р(г) = — е>4', очевидно, 1 ы4 Йт вектор плотности потока вероятности 1 направлен по радиусу-вектору г, Кроме того будем считать кгж.!. Поэтому 8>4 1 г а г т )=в г 7 г.
Иг) " (4г) (Ь ) В последнем равенстве учтено, что 1с >( г >( т. Можно было бы воспользоваться декартовыми координатами, направив ось г по радиусу-вектору. Естественно, ответ получился бы таким же; Е4 (хе) в> Для суммы сходящейся и расходящейся волновых функций приведем только ответ: )=, (И' — 1). (24г) 3.2. (>(х) = х (гармонический осциллятор), В = —.
2йЬ' г аб т 4Л Указание: в задачах 3,2; 3,3; 3,4 предпочтительнее не интегрировать по частям, а наоборот — дифференцировать по параметру а определенный ИитЕГРап ~ Е х 4(Х = —. 1 О и 3.3. (Т) — — г точное значение (Т) = — ; (/(х) = — — — — ; 8' ( 32лга 64ла ~ х 8г В = — — у (см. указание к задаче 3.2). 24на 3А. (Т) = — точное значение (Т) =; (х) = — а;(>(х) = — —; Ь 8' '1 3 8' 8та 2л4аг~ 2 ' мах> Ь В = — — (ем. указание к задаче 3.2 >. 2гаа (р 8гйг 13 41 ИЗ 3.5. Во ( — ), паРаметР а= — ~т . см. также задачУ 2.39. )4 гя ) Полученный ответ совпадает с точным решен~ем с точностью 6%. э ггг 36 В 3 >4яб пг>3 2 лг 2г 4 82 3.7. 6 = — = — 1,36 кэВ; а = — = 0,053 А. 28 2те г 3.8' а = >) ( +" 1,54 10 'Э см.
2ийеа (а 4 3) 224 Р е ш е н и е. Учитывая сферическую симметрию задачи, запишем где Ф> = 4лг з(г; а = !ли/2 — приведенная масса дсйтрона. Оператор г г г ( г Вычисляя интегралы, получаем г г з (а) =" ",-и, Вял П ч-а) Основное состояние соответствует минимуму энергии: ~~~~ = О, откуда (!+а> 2>ш ((е з(а а(3+ а) Далее находим (! Ч.а)з 4 (1+а)з Используя указание к задаче, находим, что а = 1,5. Таким образом, з а=в а 1,54 10 )Зсм.
2р((з«(а Ч- 3) „г г з 3.9. (Е(а)) = г ()о з 2,2 МэВ, где а = 1,35. Вял~ (! -ь а) 3.!О'. 1> а = — — Н ; !з = >' ; Ю = — Воз, посколькУ Вн = Ьо())( + — ~), то 3 Ь ' 23' 2 2! ' 2 > а = О; Е = — Воз, )т' = О. 2 Ре ше н не. В зрехмерном случае в сферических координатах (г, О, р) лапласиан Л имеет вид о„,. ! Поскольку ~р-функция не зависит от углов (сферически симметричный случай, изотропный осциллятор>, то лапласиан в нашей задаче сводится к радиальной части зв, (г Г Иг Дифференцируя исходную зу-функцию, получим — д = 2Ае Р" ) (а — р) г — а)>гэ).
4г (г Н з(з 24;рч )2„рг„4 н(5 2~)„г ! („())) г(г Таким образом, уравнение Шредингера имеет вид й (г( 9+ 2 И~ + 1«м гг, 2« (нТ г(г( 2 — 6В+ 4фгг — 14абг + 4афг + ба— г г г г — В-~ — г —  — ~ — г а = — -фб — — «убог . Ь Л )) Поскольку энергия 8 = сопя( и не может зависеть от г, то сумма коэф- фициентов при вссх степенях г должна давать О. ,о 6(а ~)+21 д б г гг; — 14а(1+ 4р~ —  — ~ — + ~~ а = О, Ь Ь г г г4 4а1«г —  — ~~- а = О. б Из этой системы и следуют искомые значения а, (), 8 и М, приведенные в ответе. 1 сов лях 3.11. ф = в(п —" 1 . лах а 2я (я= 1,3,5,...), 8= — и в обоих случаях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
