Овчинкин часть 3 (1181127), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Ья г (п=2 4 6 ) аюа а вне ямы г — ф — агф= О, Нх где введены обозначения (2) (3) Внутри ямы общее решение имеет вид ф = А сов (ох+ В в1п (сх. Вне ямы решение, удовлетворяющее условиям на бесконечности ф(-~- ») -ь О, будет ф=Се "" при х>а, ф = ()еах при х < — а 226 Вследствие симметричности потенциала решения подразделяются на четные и нечетные. В силу граничных условий (ф(гса) = О) на ширине ямы должно укладываться целое число полуволн де Бройля, как это имеет место для электромагнитных волн в случае интерферометра Фабри — Перо или волн<» вода с металлическими стенками. 3.1х.
Ре ше н не. Примем за начало координат центр дна ямы О (см. рис. 19 к условию задачи). Тогда уравнение Шредингера для связанных состояний внутри ямы будет Ы Ф г — ф+ агф= О, (!) Их Из соображений симметрии следует, что плотность вероятности ! д ! з должна быть симметричной функцией х относительно начала коордииат. Следовательно, должно быть СЗ = 0з, т.
е. возможны два случая: С = (> и С = — В. Постояииые А, В, С, () надо выбрать так, чтобы на краях ямы функция ф и ее производная слуаях были непрерывны. На границе х = + а это дает А соз «а + В гйп «а = Се "ч, — «Аз(л «а+ «В сов «а= — аСе "~, а на границе х = — а А сов «а — Вз(п «а =(>е "", «Аз(п «а+«В сов«а= пузе а'. Отсюда 2А сов«а= (С+ В>е ', 2«Аз(п «а =а(С+ В)е "", 2Вз(п «а = (С вЂ” В)е '"я, 2«В соз «а = — а(С вЂ” В)е е'.
ЕслиАчьО иС=(>, то «!б «а = а. (4> Если же В.-е О и С = — В, то (5> «с(я «а = — а. (б> 1! = аа. Тогда г г г 2'"(>оя +г) = — 7— Ь (7) причем для решений с четной волновой функцией т! = ~ь (а ч, (4а) а для рец~ений с нечетной волновой функцией Ч = — ч с(бч. (5а) На рис. !45а построены кривые т> = г, (я е, иа рис. >45б — кривые г) = — ч с(я ~. Вертикальными штриховыми линиями изображены асимптогы этих кривых. Ввиду положительности Ч и г> нужны только участки этих кривых, расположенные в положительном квадранте (ч ы О, Ч ж О).
Пересечем эти кривые окружностью (7), радиус которой ьГ2т~/ а!б должен 227 Эти условия ие могут быть удовлетворены одновременно, так как в противном случае получилось бы «з = — а, а это невозможно ввиду вещественг ности «и а. Решение, когда все коэффициенты А, В, С, В равны нулю, физического смысла не имеет. Таким образом, все возможные решения разделяются на два класса: решения с четной волновой функцией, когда Аыб, В=О, С=(> и решения с нечетной волновой функцией, когда А=О, В-.еб, С= — () Уровни энергии найдутся путем графического или численного решения уравнения (4) или уравнения (5), в которых положительные величины «и а определяются выражениями (3).
Для графического решения удобно ввести безразмерные величины считаться известным. Координаты точек пересечения этой окрухсности с кривыми (4а> и (5а) дадут возможные значения ч и т>. После этого по фор- О в/2 Зя/2 5я/2 В О ч 2х Зя а б Рвс. 145 мулам (3) легко найти значения 8. Число уровней всегда конечно и определяется глубиной (/ и шириной 2а потенциальной ямы. Например, если радиус окружности равен 7, то получается пять уровней. Точкам пересечения /, 3, 5 соответствуют четные, а точкам 2, 4 — нечетные волновые функции.
Если О а (/оаз а йзп~/8/и, то имеется только одна точка Рвс. 146 пересечения, которой соответствует четная волновая функция. Следует еще раз подчеркнут~, что в симметричной одномерной яме при любой ее глубине и ширине всегда есть хотя бы один уровень, отвечающий четной 1р-функции. Анало)я)я ха! ((/о>зс((/з>т"(/щ гичио обстоит дело в двумер- ном случае. Принципиально ! / х по-другому обстоит дело в / ~ / / ( / случае трехмерной потенциальной прямоугольной ямы .
л/2 х Зя/2 2в йа (задача 3.!б*), где уровень есть не всегда. Дадим также другой спо- соб решения уравнений (4) и (5> г г Рассмотрим четное решение й(8 йа= а, откуда 1+ 18~/со = г г он(/за 1 ( В созт /са Ь (ха) ~ 2т(/за 228 Надо найти решения этого уравнения, убывающие при г-ь + и обращающиеся в нуль при г = 0 Это будут у=Вз(паг при гса, у =Се "" при г> а, где ./зм ю 8= +"„— 2 —, а= + 8г (3> Задача свелась к задаче об одномерной потенциальной яме — уровни энергии определяются точно так же, надо только отбросить состояния с четными и сохранить состояния лишь с нечетными волновыми функциями. 229 При этом (т. к.
188а > 0) годятся те четверти, где з!п да и созда имеют одинаковые знаки. Для нечетного решения получаем У, 1т 8г !з)п/са! = '~ — — ~ аа, и т. к. 2ш(гоа 1 щ8 яа < О, то годятся те четверти, где з(п яа и созда имеют разные знаки. Е Графическое решение полученных ((з уравнений изображено на рис. !46 и 147. — а а х Видно, что в зависимости от величины ()о (при данном а) или а (при Рпс. !48 данном ()о) в случае четной ямфункции хотя бы одно решение есть всегда! Это будет иметь место при 8 1 2 гдг — — > — = —, или (! а > ' .
При дальнейшем уменьшении ()о уро2ш((, 8т вень поднимается к потолку ямы, но частица из ямы не вылетает (рис. 148)1 3.!3.8 и,="" ""' '""''",Р=х 4шбу 6 2шег 6 3.!4. Вообще е > фа + ! . При Ф«! е = — ке 2 см)с. Ч л8 тЛ яви,! При г! = ! (квадратное сечение канала> е . = ' - 2,8 см(с. тг2 х8 вич ш~( ЗЛ5. ! = 0,065 с. 3.!6'. Решение. В сферической системе координат уравнение Шредингера для стационарных состояний с волновыми функциями, зависящими только от г, имеет вид ' '" (гг"'~1+' ( — и(г))у=О.
Решение этого уравнения должно быть конечным при г = 0 и достаточно быстро убывать при г- м (чтобы ~ (~р(2гйг сходился). Введем новую функцию у, = г~р, Тогда „г — 22 + (б У(г) )у 0 г( г 3.17. Решение задачи сводится к решению трансцендентного урависния 2«п(Уз — 8) (з!и )са( = )) — — ~ йа, где 82 = — — 2 —, (см. рис.
!49). ~(гсв()з ) ' 82 Минимальная «мощность«(г аг ямы, при которой появляется первый уровень, Уоаг=ягйг((бт). При этом энергия уровня (Ка=л/2) равна о = О, т. с. уровень лежит на «потолке«ямы. При увеличении ((о или а уровень опускается в яму. Из рис. 149 видно, что второй уровень появится при 2, 2 (8 а = —; третий — при (8 а = — и т. д. Итак, ((о —— — я — у.
Зя 5к 8та Рвс. !49 гбг псе 3.18. (1, = к — + 8-42 МэВ, где р = — ". Это довольно грубая оценка. 8ра Точное решение трансцендентного уравнения дает ((о 53МэВ. Смотрите задачу 3.!7. 8' г 4т а (со г г 8~ 8« 3.19. (к ) = — 2-2 —., (р ) = — 2 —, (к ) (р ) = — > —. 8та Ую 2 2 3.20'. (г) — 20а = !00 А, где 6 = 0,01 (точнос значение (г) = лб 4 ! Ог!) «2х 6 Р с ш с и и с.
Разобьем область нахождения атома гелия на две части: 1— внутри потенциальной ямы (О < г ж а) иП вЂ” вне ос при г > а. В области 1; «р! + )с ф! — — О, где )с = — л —. 2 .2т8 (1) Решение этого дифференциального уравнения очевидно: «рс(г) = в!и (сг, поскольку при г = 0 долясно быть фс(0) = О. В области П: ! — нг«Р = О, гДс х = — 2«п(((о — ) . Л (2) Решение последнего уравнения ф!!(г) = Ае™, где А — нормировочная константа. Заметим, что формальным решением этого уравнения могла бы быть положительная экспоиснта и скр (хг). Но тогда при г- », «р(г) — ««, что ис имело бы физического смысла. 230 На границе областей, т. е.
при з = а необходима гладкая сшивка ф-функций; ф!(а) = ф!!(а), т. е, гйп Ка = Ае ""; ~рг(а) = фц(а), т. е. К сов Ка = — Аке х". Откуда следует с!я Ка = — —. к К (3) ф!(з') = в!и Кг' = 1, откуда Кя* = — ", 2 и откуда определим К; л я л = — (1+ Ь), 2~* 2(! — Ыа 2а Вычислим х пб сов г . хб лб с!я Ка = = — в(п— х лб 2 2 в!и -+ — ' 2 Из соотношения (3) определим х; г х= — Кс!яКажК вЂ” "= — Ь вЂ” 5 1Озсм !.
2 4и По определению ) вв!в Кв!(в+)Ае "'воя (з) — ' ~ в!в Ккйвь)А е ™дв а а Но интегралами по области т' можно пренебречь в силу ик малого вклада, одновременно расширив область интегрирования в области П до О. Дейст~ ве ыдв ~ вг !(т вительно, о 1 а , но 2х ~ е ™ !(~ а я это очень близкие выражения. Поэтому = !+2х", Так как 2наж 10 2, то 2х ~ те ~Не ( ) О 1е !(т о — — 20а = 100 !ь 2х 23! По условию волновая функция адсорбированного атома в основном состоянии достигает максимума при з = г' = 0,99а = (1 — Ь) а, где Ь = 0,01. Максимум лежит в области 1, т. е, На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
