Овчинкин часть 3 (1181127), страница 56
Текст из файла (страница 56)
150 приведен график зависимости !ф(г) ) г. Хотя максимум ффункции и лежит внутри потенциальной ямы, но среднее значение координаты (г) — далеко за ее пределами, поскольку ф-функция крайне медленно спадает при г > а. Точное интегрирование дает ( ) 2»г2а 140 А яЬ Рис. !50 3.21. тт =4к,()- — + — -тА, 2» 2х »„„»--'»» г,; --' г ~о,-'Гт- -' г л:л,-и,— л.» д о ! — д чет показывает, что (г) 5,4 А, т. е.
кв среднем» атом находится не впе ямы, а все-таки внутри нее. 2 Д Д 3.22. У = — и — = 16,6 эВ; 8 =-и — = 12,45 эВ. Ота бта г„г 3.23. Уо = и, =5,53 эВ; 8 = — = 1,38 эВ. 2!шаг 4 З.М'. Решение. Энергия частицы т, находящейся в одномерной потенциальной яме шириной а, квантуется г г хд г 8 = — и. о г 2та При переходе частицы из состояния и+ 1 в состояние и излучается квант энергии с частотой Ог„г»1 „= = (2И+ 1). гд 2та Классическая частица колеблется в яме с частотой о»кл = 2л(Т, где Т = 2а/о, где в свою очередь о — скорость частицы при движении от стенки к стенке — определяется ее энергией. Для сравнения примем значение энергии равным Ет Тогда яо к да г <о кл а г' та Теперь сравним огл»! „с ш "+ '" = ! + — -» 1 при и-» о».
ог „2и 232 где аг='ш (а-и). 6 (2) В области 1 волновая функция частицы состоит из падающей волны = е!(4< х — ы!) 31 и отраженной — !(2 хьюг) 1= а в области 11 — из прошедшей волны = с(ейьгх со!) 2 где индексами 1 и 2 отмечены волновые векторы в областях 1 и П соответственно. Амплитуда падающей волны принята равной единице, что, очевидно, не нарушает общности получаемых ниже результатов. Волновая функция и ее производная по х на границе раздела долхсны быть непрерывны. Это приводит к соотношениям ! + г = с(, )с! — Ф1г = )сгс(, из которых находим )с1 — (с! 2)с! г=, 11= )с!+)сг )с!+)сг (3) !) если 4 > (12, тО вОЛна Юг оДнородна, так же как падающая вОлна д!! и отрахсенная д!1. Вычислим плотности потоков вероятностей для отраженной волны 1'„= — д!' — !Р'~ — = — (г И! + г гас!! = — г !й с(Ч!1 м с(тс~ !й г..
г ь)с1 гт ~ с(х с(х3 гш Пс и для прошед!ней волны !Л с1'гг с(Ф2 2 с)сг 14 = — ~фг — 'ч12 — 3! =" —. ге ~ с(х с(х3 т Плотность потока вероятностей для падающей волны 1, = й(с!/ш = и! (равна скорости частицы, налетающей на барьер>. Вычислим энергетические коэффициенты отражения Я и прохождения (): 2 й ! ! гг! !с!+ )сг У Г1 ()с1+)сг) (4) 233 Эта задача является иллюстрацией принципа соответствия Бора.
При больших значениях квантовых чисел квантово-механическое поведение системы переходит в классическое. 3.25'. Решение. Запишем уравнение Шредингера в виде И'~~ — тг + йгф = б, (!) с(х Величины этих коэффициентов находятся в согласии с законом сохра- нения энергии: й + П = 1. 2) Если Ю < Уг, то кг — чисто мнимое, т.
е. волна во второй области не- однородна. В этом случае й = 1, т. е. отражение полное. Полагая >сг — — га, для волны во второй области получим ее"е'', 221 (5> lсс+ (сг т. е. амплитуда волны в области П экспоненциально затухает при удалении от границы раздела областей, Глубина проникновения 1 определяется как расстояние, на котором плотность потока энергии убывает в е раз. Для нее получаем Ь Ыс сч-«г (6> ! )гоо 3.26. М вЂ” — — 1) — = 2,5, где Π— коэффициент прохождения, 1> 4 о — оо Примеч ан ие.
Видно, что число ударов очень мало, т. е. здесь состоянис «слабо стационарное», и обычно используемое выражение для числа ударов через коэффициент отражения плоской волны от барьера в данном случае является очень грубой оценкой, дающей представление лингь о порядке величины числа отражений. 3.27. г — (и(>) ж — о в — 10 с, где п = — ")) — частота ударов — ! а .сш -15 1 2(>о 4 2(> а))т ьь'((>а.ь 6) .
е о стенки ямы; (> = 4 = 4 ")~ — — коэффициент прохождег ))По ~К 6+Ч7) ния См. также примечание к отвст6 предыдущей задачи. 3.28. й = ')~ я" яе 20 А, см. также решение задачи 3.16. 8от 3.29. 1 = 0,56 нм. 3.30'. Решение. В области 1 (х<О) гр>=егасх+ге с(ссх, где (с21= 2т(8 — П1 182. В области барьера (О <х <1) ф = ае'ах +Ье сох, где lс = 2т(6 — П)18 . В областиП (х >1) Щ = асеыг", где(с» — — 2т(6 — Уг)16 .
Сшивая волновые функции и их производные в точках х = 0 и х =1, получим систему уравнений относительно г, а', а и Ь. 1 + г = а+Ь; аеса(+ Ье 121 = с(ес"г(с (Сассш — >СЬЕ ск) = К С>ЕСЕ«1. 2 а — и- г»» Ка — аЬ; Отсюда получаем (lс1 — К) Я + lсг) 6 (lс1+ И) Я вЂ” йг)е™ Я1 6 (с ) Я + (сг) + (lс1 — >с) ® — >сг) е -Хег с ья ( с 1+ )С) Я 6 Ьг) + Я1 — 1С) Я вЂ” Ьг>Е 234 В случае, когда энергия частицы ниже высоты барьера, т.е. 6 < (/, волновая функция в области барьера имеет вид 2!) = ае ББ + Ьех", где Х2 = 2т((/ — о)/82, и в Этом случае в формулах для г и 81 нужно провести замену 8 — Ах.
Таким образом, поскольку в области П мы по-прежнему имеем прошед)пую плоскую волну, то получаем важный вывод — квантово-механическая частица может проходить сквозь барьер даже в том случае, кон да ее энергия меньше высоты барьера (атуннельный эффекть). 3.3!. Полная энергия о должна быть больше потенциальной энергии (/ частицы внутри барьера (ямы). Толщина барьера (ямы) должна быть =).)2, А 58)2 2)., 52)2,,. 2 = 8) 2 )З вЂ” 8) — 33 8. ,.„'.;„', ° 8.'* 8.
"'„). А . -.)га 8)г )А=и) ° 282 повременно 8 = (/ + -". — р, где р = 1, 2, ..., т. е. энергия частицы должна к 2 2т1 совпадать с одним из собственных значений энергии в бесконечно глубокой потенциальной яме, дно которой расположено на высоте барьера. '282 3.32. 8„ = (/ + †" лз, л = 1, 2, 3, ..., или в числах Ва = 2т1 (5 + 37 62л2) эВ. 3.33.
8,2 А. )2 8 =,98 А). л )8 8) 3.34. (/ = = 1,64 эВ, где (! = — ъ/2ттХ= 6,22 10т см ' 8 1 в!я2 /88/ ' ' 8 *8)-)38) Бг а-'. „=-',г )8:Б) )9)3' Х т= — т1,8!О с,гдел= — в — 1,2210 с Ы 2 — А! 1 -)2е, !5 -! пР ' ' 28~т 3.35. т= — ж 1,2 10 "с, где Р=ехр ( — 598ах) ж 8,3.10 5, х= 1 пР 2 )Я вЂ” т))8 5.38 3 . ', =БА. 3.36'. Решение. На рис, 151 обозначен подбарьерный переход а-частицы с энергией 8. Так как заряд а-частицы 2 = 2, то оставшаяся часть а ядра имеет заряд Л' = Л вЂ” Л = 2 — 2. (/(г) = 2'У е /г По условию 2 а а 6~(/(/1). Вычислим коэффициент прозрачности барьера по известной формуле л ( Р ж ехР— — 51 2т — 8 8(г Х ~ г л В подынтегральном выражении можно пренебречь 8 в силу указанного в условии неравенства.
Вычислим этот интеграл л, 2 л, — — 2 ' 8 --- )гг'~~) -"'5 = 2, 2 йае Ь г Х а — — А г ггл ~ — АГ) 235 г'г,ез 2'2 е' Из рис. 151 видно, что ' = 8, откуда й! ††Я! 8 Подставляя это в формулу для й получаем г = — — Л'2 е~ —, а ! Ь где использовано очевидное неравенство й, ъ.
Я, справедливое в силу заданного условия 8~0(й). Таким образом, В = ехр ~ — — х'у е З вЂ” ~ = ехр а Лля приближенной оценки вероятности распада в единицу времени (ностоянной распада) Х необходимо прежде всего оценить число столкновений а-частицы с потенциальной стенкой за 1 с; л ж и/(2й), где в — скорость а-частицы внутри ядра, которую оценим из соотногдения неопределенностей: л Ь в Ь о=в и — ж гл и! М 2Я 2м йз Вероятность распада в единицу времени ). нО Ьтэ 2твй Период полураспада Т ядра, как известно, равен ге.Я'!и 2 ( Ь ) Т= — ж ' аехр 5!э где а и Ь вЂ” очевидные константы. Прологарифмировав это выражение, получим закон Гейгера †Нетто 1я 7ж А+ В Рис. 152 З.З7! Реален не.
Оценка изменения туннельного тока может быть проведена нри рассмотрении одномерной задачи (рис. 152). Обратим внимание, что на такой энергетической диа!рамме потенциальная энергия электронов возрастает снизу вверх, а потенциал поля — наоборот. Очевидно, что туннельный ток пропорционален прозрачности барьера, изображенною на рис. 152. О = О,> ехр — — ~ 2т (Аз + еЕх) х(х, о где напряженность электрическою поля Е = (А! — А — е$')Я.
Интеграл в показателе экспоненты ле!ко вычисляется: т 1,г !тт,я,~ ~,= — ''м~и,~-,ю~ц' — хг'~. Хз ЗЬ еЕ о 236 По условию, если г — скорость атомов гелия в вихре, то ог = К вЂ” интенсивность вихря. Откуда К= — л; А' ы= =1,б 10 4смг/с. — 4 тн«тн« ЗА4. я(г) = тн«г 3 45. /.;„= Л/4. 3'4б' Вяля г г 8= "=3,8104 В, 8та г и — 4( =— 8 а 4та и= (и — 8) +8= 3.47. Энергия связи 7,63 10 з эВ. Глубина потенциальной ямы — у(п+а) =8!О зэВ.
4»ла г г 348 О«в=ив О= г=123кэВ. 2та 237 Следовательно, прозрачность барьера 4 т/гтА [ 1 з/г (з/г[ % (А! — Аг — е)') При перемещении иглы над с~упенькой высотой Ь в полученном выражении следует заменить с( на с/ — Ь. Таким образом, ток «У возрастет в = ехр ) 4~™ [(А! — е>')з/г — Аз/г)ь = е~сз = 8 раз. ,р(А> [ЗЬ(А! — А,— ер> 3.38. Ток уменыпится: — = е о эх 0,44. — о,зг «у 3.39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
