Овчинкин часть 3 (1181127), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Пусть б и б' — полные энергии тела до и после излучения. Ссютвегственно бо и б — энергия покоя, а р и р' — импульсы. Обозначим также энергию и импульс излученного фотона каке и ц и запишем законы сохранения е =е — е; р=р +ц. Возведем эти уравнения в квадрат и вычтем, предварительно домножив второе соотношение на с~. Учитывая, что е = пс, а Е~ — р с = Юо и 4'з р'с'= д' получим о б т бз гбв+ 2стрз 203 Релятивистский импульс тела р = ор/с, где р = п/с. Подставляя это в по- лученное уравнение, находим Йо — ло =, е (1 — 0 сов О), 24 бо-о~о где Π— угол между импульсом тела р и направлением вылета фотона (рис.
135). Дла массивного тела Мог»/г», откУда бо 8о, и ~огда Йо — е3о ~ — е (1 — р соз 0), или (Йо — Юо) г/ ! — р = с (1 — р соз 0) . 4' Юо Поскольку бо — 8о = 6», а е = /!»', то получим искомую связь частот неподвижного и движущегося источников 9г' г 1 — В О' При О = — 'смещение частоты Л» = »о —, а при () ~1 принимаемая ча- 2 2с стога»»о!1+ — соз 0 и Л» = — соз О.
» » с ( с г соз О- ! — — = 6 ! — (1 — В)/а — (1 — Р), 1 — а 2 1 — (1 — О) а откуда Ог= 2 — (1 — ~). а Так как»'1 — р~ = тс /б, г г 1/тс ! ! — () — ! — ) . Это дает 2(е/ где о — полная энергия частицы, то 1 — а тс =Г= а При а = 1/2 получаем 0 = гас~/8, иначе говоря, частота излучения падает вдвое под углом 0 = тсг/о = »/! — р~ =; 1.22.
ЛЛ = Л (1 — соз О) = Л! — Л„= Ло = 4 1О З нм. г ! 23 Т глс Л,в1п (О/2), г Тг+ 2,гТ Л Л.Ь2Л,в!и (О/2)' Здесь Л = 2,4263 !О З нм — комптоновская длина волны электрона. При О = 90' 204 1.21'. Решен не. При 0 = 0»(0) = »„. При О = — эта частота 1 — 0 2 »(и/2) = »оф1 — Рг. Если Р— ь 1, то»(0)»» (п/2) . Отсюда Ясно, что в Узкой окрестности угла О = 0 частоты излучаемого света особенно велики. Найдем угол О, для которого»(0) = а»(0), где а < 1. Для этого угла нетрудно полу- чить Т = — с ' = 0,103 — с= 0,67 !04 эВ, ср = 3,3 104 эВ, е ) т„,„; * е т, е. фотон передал электрону около 10% своей энергии, а импульс электрона отдачи по абсолютной величине оказался больше импульса первичною фотона.
!.24'. Р ею е н не. Как видно из рис. 136, из закона сохранения импульса следует (е 'т /ее де /ее р соз че = — — — сов О, р в(п р = — в!и О. е с с ' е с Р Почленным делением находим Рвс. !36 йп0 (3 Р= е/е — сов 8 Отсюда с учетом соотношения —,— ! = — в(п О легко получить 26е г г е шее ~(з (Е/2) (а 'р = Ье ! -,'- — т т,е При 0 = 90" (а р = 0,8916, р = 4!'43'. !.25. ЛК = — в!пг — = — = 2,4263 1О З нм. ш,с 2 ш,с !.26'. 0 м р < агссов ~'~1+ ( — ) еР Р/ Решение. Запишем закон сохранения импульса в соответствии с рис. 2: р = р — р, откуда по теореме косинусов ~ — ) = ( — «) — — рсов р+Рг.
Закон сохранения энергии: Ю' =/е' — Т = 8 — 8 + шсг, т. е. т т "'=~ -~7ее*е( 'Ге Исключая де, получим г .г (рс) — Т 2(ре сов р — 7') Определим знак числителя; (рс) — Т -( )*-~(~Ре(.е*-ее7~ме7~)* *е( 1ч =г,еее,ре ~,е*- .1 всегда.
Так как бо > О, то и знаменатель полученной дроби тоже положите- т (ше( г шс лен: Рс соз р — Т > О, откуда сов ~р > — = 1 + ( — ) — —. Таким обра- рс Р Р 205 зом, диапазон углов, под которым мог вылететь электрон с заданным им- пульсом, лежит в пределах 0 < ~р < агссоз ")~ 1 +— те нес Случай а) Яю = Р 8. бч-рс 2 Ультрарелятивистский элсктрон (8 = рс) передает фотону всю свою энергию (пунктир на рис. 137).
С.Оеяай б) ЯЕО' = ЯЮО~ Р ) = 4( ЯЕОО, ГДЕ о+Рс г тс ! Й~:„(с Таким образом, в этом случае Яю ес уг (рис. 137). 1.34. Яо = . Если доз т сг, то Яе гье ' е 1 Ч- — т м,с Рнс. !37 Яо' т сг/2 1.35. При условии Т м Яеоо ответ имеет вид 8 — Яе о 2Т (т,с')'()(2Т);2Я о (кинетическая энергия электрона Т~т,сг, поэтому полная его энергия бо Т). Здесь возможны два случая: г )г 1) Яю,) «тес —,. Тогда 8 - Яеоо — = 7,2 МэВ (этот случай и г тес 2Т е реализуется в задаче).
г г тес 2) Яеоол~т сг —,. Тогда 8 = Ям Т. В задаче этот случай не выполе Г т няется. У к а з а н ив: рассмотреть два последовательных преобразования частоты из-за эффекта Доплера. 1.3б. Х = 2,4 пм. 206 1.27. Т < 2тсг с(8г че = 0,34 М В. 1.28. 0 < |р < 45'. 1.29. р = !8 — б 10 ~ г см/с. )о 2 1.30. а = 90'. 1.31. 8 = 2т сг = 1,9 ГэВ, где т — масса протона. в 1.32. о = с, где Л, = — = 0,0024 нм — комптоновская Ь уг ' тс длина волны электрона. 1.33. Яю =Яеоо ' . где р — импульс электрона. га ое ее рс !+ т г лес лес Если Юо«те~[те~/лйюо), то йю (28/тс )зЬоо«бо.
В пРотивоноложном предельном случае лсо бо. В приведенном примере /ко = 10В эВ. 1.38. По формуле для эффекта Денвера <ФЬЮ вЂ” в /с 'о (ч /с — 1 1.39'. — = 1+ — у — — 0,05, где Тф и ҄— кинетические энергии йТ 28 электронов фотоэффекта и эффекта Комптона, ЛТ = Т; — Т„. Решение.
Запишем закон Эйнштейна для фотоэффекта йт = бюя+ А+ Тф, где Тф — кинегическая энергия фотозлектрона, А — работа выхода вещества, авен — энергия ионизации электрона атома. Поскольку для самых глубоких К-электронов бн ь !3 6 Я~ [эВ[, где Я вЂ” заряд ядра, то даже для У вЂ” 1ОЗ Юяо» Н 0,136 МэВ «Лж Величина Работы выхода, как пРавило, не пРевышает 10 зВ, поэтому под действием у-квантов (выокоэнергетичных фотонов> при фотоэффекте Тф ~ 8 . При Комнтон-эффекте 8 + т,с = бт+ тес~+За + Т Следовательно, Т 4 ог Ьс /!с ВЕ ЛХ к т т ° 2„6; ), ° +62 Энергия электрона в эффекте Комнтона максимальна, когда фотон рассеива- ется назад, т. е. ЛХ =Л, (1 — сов р); Л).
= 2Л, = 2— Таким образом, Т Лс гд ! ~ 2ет й т,сХ гв т у т~ т,с м, ск Введем разрешение аппаратуры но энергии как ЛТ = Тф — Т„. Тогда ат = 0,05 (5 lо ) у'ф 8 1 -(- — т т с 1.Ю'. Ытес ( сы 207 (фотон и электрон считаются движущимися навстречу друг другу, причем скорость электрона равна о). В ультрарелягивистском случае отсюда следует, что шо — — сотов/28о, и усдовие йю к тот принимает вид гг (тс ) 2л <ос Р е ш е и и е. Требусмая разрешающая способность спсктрографа й = — = л/т, Ы где Ф вЂ” число огражающих слоев, т — порядок интерференции. По формуле Брэгга — Вульфа ш =, где 0 — угол скольжения; по условию Ъ/мпя 1 т = 1, откуда з1п 0 = —.
24 Изменение длины волны (комптоновское смен(ение) Л).=2пЛ (! — сов ~р) =4пЛ з)пг т, где Л = — 3,86 1О )) см. е з г' т,с Таким образом, /г = Л/т =— 4яЛ, з(я 6р/2) Отсюда г 1.41. Ря(з = = 2 нм, Л = 0,0024 пм - комптоновская 4Л, з)п (О/2) зш р длина волны алек~рона. 1.42'. Ре ш е н и е. Перейдем в систему центра масс пары.
На пороге рождения скорость продуктов реакции равна нулю. Но 7-квант и в этой системе движется со скоростью света, что противоречиз закону сохранения импульса. Раз процесс невозможен в системе центра масс, то он невозможен и в других инерциальных системах, т. е. невозможен вообще. 1А4. Ом „= 60'. 4 3 1.45. О( — — 90'; 013 — — п — агс18 — - 127'; Огз — — п — агс18 — = 143". 3 4 1.46 ~) =О 854/о = 432 кэВ; ог= — т йо 216 кэВ; бз=т/Зпгж 3,.73- о- 374 кэВ.
1.47. Решение. Преобразование Лоренца для энергии частицы й, импульс которой р, — зр соз 8 — р 0 т/1 — з /с где о — скорость штрихованной (движущейся) системы о~счета, а 0 — угол в неподвижной системе между направлением движения фотона и скоростью источника. Энергия феона 6 = /зт = рс, тогда 1 — (з/с) соз 0 т/1:ог/сг Здесь т — частота света в неподвижной системе отсчета, т' — в движущейся вместе с источником. Переписывая ее в общепринятом виде, получим т/) - зг/с' 1 — (и/с) соз 0 1А8.
соз 0 = = О, 116, 0 = 83,3'; где тзасг = А. 931,5 МэВ, да г~гт „,. 208 =3,6 10 — 4, 4 ~ )с 2трс ЕЯ'. Н =йэ=згОО км. 2 Решен не. Если считать Землю шаром, то гравитационный потенциал на поверхности Земли чг = — у — = — и, где г — первая космичег окая скорость, На расстоянии г ог цегнра Земли гравитационный потен- „М пиал !Рг — — — "( —. Фотон, испущенный на спутнике, имеет энергию г О~ + г О + г где сэо — част!рта генератора в нулевом поле.
Из-за движения спутника (вследствие поперечного эффекта Доплера) на Земле этот сигнал будет иметь частоту где р = в — — скорость спутника. Расстояние между энергетическими .Гм уровнями приемника на Земле "юэ~~ + г г "'оО 1 + Сдвига частоты не будет, если ю! — — егг, откуда 7~ р с 2с г г' р 'тг 'гг г — — — = — или— г г г с 2с с с Подставляя значения, получим — ( — + у — = ( —, откуда г = — Яэ.
М М М 3 ' йз 2г' 2 209 $.50. Т~дх = е = 663 кэВ, где Л),~а" = Х' — 2 = 2Л,; г = — с 62 д!ах (!с Хч-Ы. 4, (комптон-эффект нейтрино на электронах). !.эН Длина волны гамма-квантов от источника равна Х = = 1,88 1О 'о смж.Я д, поэтому комптоновское рассеяние идет не на нуклонах ядра, а на ядре в целом (но не на молекуле, т. к.
1, жйи д — 3 А для Н20). Кемптон-эффект на протоне Лгн отличается от соответствующего эффекта на дейтроне Л).п. Таким образом, В 2. Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей 2.1. Т 880 МэВ; Т рс 1550 МэВ. 2.2. Т = тсзф2 — 1) = 0,212 МэВ. 2.3. Л = ъГ5/ЗЛ = 0,00129 нм. 2.4'. ш я 2, 10 — 42 г; т с2 я 1,1 ° 10 ш эВ. т т Решение. Допустим, что фотон (квант электромагнитной энергии) имеет энергию покоя т,с2. Тогда согласно релятивистской формуле его полная энергия г = т р Р2 'та т где р — релятивистский импульс фотона.
Скорость фотона -Н2 В эзом выражении Л = Ь>р — дебройлевская длина волны фотона. Заме- тим что скорость фотона, в вакууме зависит от длины волны Л, т. е. в этом случае должна наблюдаться дисперсия электромагнитных волн в вакууме. По условию задачи Ь = 5. 10, поэтому т я — -2-. 2Ь Ь сЛ 25. Как следует из решения задачи 2.4, если у фотона ненулевая масса, то его энергия покоя т с к — 2 в 0,6 10 эВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
