Овчинкин часть 3 (1181127), страница 52
Текст из файла (страница 52)
2 2Ьс.йЕ В ~(. . 8ьлв 1:, 2.б. и= —,= )~ = )!1+ — (б и !' соответственно энергия элект- Л 8 рона в вакууме и разность потенциалов, пройденная им>. 2.8. 2а н — соз 0 = тЛ(,, где ).о — длина волны в вакууме, н — пока- 2 2 ватель преломления волн де Бройля, 0 — угол скольжения. 2.9. и= 1+ — = 1,05. 2.10'.
и = т-ь)41)'1, з 7 = 1,17; г'2 = — — — = — 75 В, где е — заряд элек- Т ' ' 4 1е) трона. Решение, Очевидно, что полная энергия электрона, преодолевающего потенциальный барьер, сохраняется: 8 = Т + (I = сопш, откуда Т = = Т> + ер(, где Т и Т, — кинетическая энергия до и после барьера. При этом 2 2 2 Р Р4-1-Р( Т= — = 2т 2т рх и р11 — нормальная и касательная к границе раздела компоненты импульса.
Поскольку скачок (( связан с силами, действующими перпендикулярно к границе (электрического поля), то Р11 = сопя!. Откуда р Лп р = р> в)п Р>. Относи1ельным коэффициентом преломления сред является величина Л! Й/Р1 Р 41П Е! т Т Т 2!О Полное отражение электронов произойдет, когда з!и Р! —— 1 (при этом разность потенциалов равна Уз), т. е. з!п 1 [е!)'т з!и Р! —— — — 1 или — = 1 + [.Ь <[с[У )РР 4 откуда и следует второй ответ. ьх г 2 2.1!.
Б= — ~ — ) = 1,2.!0'эв. 2т [Яа~ 2 Д= Р 2т 2.12". Р е ш е н и е. Для нерелятивистского электрона ег . Поэтому искомую немонохроматичность электронов х(ЮЯ 2тХ Х легко оценить по числу наблюдаемых отражений т „= 12, откуда следуе~ Ы = —. И далее — = 2— Х ]а8] [62 т 12' ~ Л 6 Вне металла скорость электрона о, ест/У, внутри металла ох т аг тГ Уо + !', где !' — внутренний потенциал металла.
Таким образом, показатель преломления металла и= — = !+ —. в! т !' Эквидистантное расположение максимумов интенсивности отраженных электронов наблюдается, когда внутренний потенциал металла У «У. Это соответствует показателю преломления кристалла л = 1 (для т э 6). В этом случае в соответствии с формулой Брзгга — Вульфа (рис. 138) 2аз!п р=тХ; 2=; тУ= 2л8 — 2яй теУ Х 2те Последнее соотношение обычно записывают так ~лр:Ы~= х 211 У = — 'К-= 12,26 12,26т Х[ ] Импе' где Ы следует подставлять в ангстремах [А], а результат тгУ получается в Впт.
В нашем случае при т = 1 тГУ = 3,06 ВН~, и поэтому межплоскостное расстояние Ы = 2,03 А. Из рис. 5 и условия задачи следует, что при т < 6 максимумы интенсивности незквидистантны. Это означает, что при соответствующих энергиях показатель преломления отличается от 1. Закон преломления волн де Бройля идентичен классическому закону Снеллиуса: тх =,; ° т = Л: .; Р у = т ~Р- з!в ф л По формуле Брэгга — Вульфа и 2х( з!и 0 = тХ или л 2Ы соз ф = юй, откуда следует Обозначим через )' ускоряющий потенциал, соответствующий энергиям электронов, когда л ю 1.
Тогда Чг)т 12,26 12,26т Гр .Г)к л — соз р 2 Из соотношения )/ —, мы и определим л. )( —, =, откуда )' 3!л т !/т л = —,зйя р+ соз ~р (р.з 2 Для ш = 5; т/рт = 14,68 В'/2; ъ'Г= 15,3 В'/2; л = 1,04 для т=4; т/рт=)1,42 в'/'1 т/Г=)г,г4В'/'! «=1,02, Для гл = 3; )/Р = 8,16 Вг/2 ч р = 9,18 В!/з; л = 1,12. 2ЛЗ. з!л 0 = з)л Оо+ (и/л), где знак ч- определяет направление движения кристалла («+ * — вниз, « — » — вверх).
Отражение возможно при скоростях и, удовлетворяющих соотношению (з)л Оо »- (и/л) ! к 1. 2.14, Т = г = 14 К, !(= — = 0,335 нм. 3 шахт 2 2.15'. () и — = 82 А. гле Р еще н ие. Согласно условию Брэ!та — Вульфа первый порядок (ш = 1) отражения соответствуют углу Х з)я ~р = —. Ы Длина волны, соответствующая энергии нейтрона 6 = 1 эВ, равна 0,287 А, поэтому Х/(2!О 0,06. Это означает, что з!и р ж |р 0,06. Очевидно, что — = — Дебройлевская длина волны ). = — = сс Ю . Поэтому Л Ы !/2 )' р ~2т дх 1 68 — — — . Откуда 1 2 8 Ье = ге — = 26 — х 0,58 эВ.
Толщину кристалла О выберем из тех соображений, что разрешающая способность такой системы Я = тд/в Л/Ы, т. е. при ш =! и числе интерферирующих пучков, равном числу слоев, М= ()/!/: Л Л»! Л !( ЛХ Лр 2»(др' откуда г) в ~ = 8г А. где Приведем другое решение этой задачи. Рассмотрим бесконечную решетку в направлении оси Х (рис.
139). Волновая функция всей решетки представ! я,к) лает собой плоскую волну Аехр ! ! — ), где р — импульс решетки в направ)' к 212 ленин оси Х. При смещении всей реше~ки о о 0 о о о вдоль Х па период г/ волновая функция ум(. а,/') ножается на ехр ~г — ) и переходит сама 3) о в себя. Отсюда р„г/ = 2янгй, т. е, импульс, о о о о о о> передаваемый решетке, квантован! При Рис. 139 упругом отражении рк = 2р з)п Р, откуда следует 2а з!п ю = т(/г/р) = т2. Таким образом, мы получили условие Брэгга — Вульфа. Если же решетка ограничена по х, то передаваемый по Х решетке импульс приобретает неопределенность Ьр„> /г//). С другой стороны, Ьр„= 2рЬ (з!и т) = 2р соз р Ьр.
Поскольку соз р — 1, то брт а ЬР =-— 2р /7 2р 2/Э искомая толщина кристалла /) э —. Полагая 2ба Таким образом, Ыс 0„0 2яй до ти откуда ан ы ~ ~ соз 0(н) г/О с точностью до очевидных констант. Подставляя ео в (*), получим выражение для полного числа актов рассеяния молекул (плотность потока) в угол ь!О, имеющих скорость из заданного интервала скоростей, с точностью до известных констант 21 АУ и пз ехр — — ) тп~ соз 0(п) ИО. ът) Полагая, что соя О = 1 (около 1О'), оО = сопя!, найдем экстремум этой функции: г)1 — ехр ~ — — )~ =О, откуда тн =5/гт. ~ 22т)~— 213 Ьр ж Л р = 0,1', получим ответ.
т т 2.16'. т ж 470 к. 5/стг/ 8 Решение. Под интенсивностью пучка молекул понимается плотность потока молекул с размерностью (1/(смт с) ). Плотность потока молекул, сели считать их распределение по скоростям максвелловским, в интервале скоростей от п до о+ й~ с точностью до известных констант равна г) а/(н) и и ехр — — ")о г/н. от) (*) Далее пучок молекул испьпывает рассеяние на кристаллических плоскостях 1.1С1. По условию Брэгга — Вульфа Ъ/ з!и О = 2 = 2пй/(то), где согласно графику порядок интерференции равен 1, а и! — масса молекулы водорода.
Отсюда следует н = . Из пучка шириной оО дифракционное яЛ нн/ з)п О рассеяние испытывают молекулы из интервала скоростей г/н, при этом Таким образом, г г Т = ~ "и 470 К. 54 ( ли! Яп О/ 5(ото 6 При вычислениях из графика взято О 11'. 2Л7. Л = — х-= 0,92 нм, — = о = 0,072. тая ' ' Л 19 2Л8. — т- = О,б нм; — = — = 0 2' Ьоптни = г(ЛЕ = 2 6, 10-з см (заме- ну тим, что этот численный ответ зависит от того, в какой форме взять соотношение неопределенностей; 1)рЬ вЂ” 6 или 6).
2.19. 4< =5 1О ~ед. СГСЭ. (гтооо — гз У1 2.20'. Е< ~. 5 !О ~ед. СГСЭ или о(<е !О !э ем, где е — заряд ((ебоо ГЕ электрона в ед. СГСЭ. Ре ш е н не. Без поля сдвиг фаз на участке длиной 1 (разность хода!) оо2п Ей = 1ро18, где ро — импульс частицы При включенном поле импульс нейтрона дол:кен измениться на ((р, и появится сдвиг фаз р! = Про + Ер) 18. Разность сдвигов фаз рг — Чго = Ею = Ыр()1. Изменение импульса найдем из закона сохранения энергии: работа поля равна изменению кинетической энергии— (Ро+ар) Ро г г 2т 2т Из этого уравнения следует, что Ер > Еауп .
Отсюда получим Лр > — — и 1 Ег( Ь оо Побое дипольный момен~ ~( < 1Е 2.2!'. 9 т 2 т !О 4 рад, где ш = 1, 2, 3, „, от,ТЛ Решение. В резонаторе лазера устанавливается стоячая волна типа Е(х, 1) ог гйп (ох е ' г (рис. 140). Электронная дебройлевская волна рассеивается на пучностях поля В стоячей волны, которые отстоят друг от друга на Л12. Это и есть период структуры.
От этих «плоскостейь происходит зеркаль. нос отражение. Условие Брэгга — Вульфа (рис. 141) 2о( з1п р = тЛ в( Ряс. !4! Ряс, !40 Лхн — — Ь(р. Поскольку кинетическая энергия электронов Т «шос, то их мож- г но считать нерелятивистскими. Поэтому Т = ргl (2т,) и р = Г2т,Т По усло- 214 вию угол скольжения р ~ 1, таким образом, хкь !~ р л! — '= пх —. Ъ/ )с/2т У Искомые углы отклонения 2Л 0 2р т гп 10-4 рад ХЧгт,т 2.22". ш = — + —, Лп = — тп + сопз1. Еопз), 1 г 2 о 2 Р еще н не. По формуле Рэлея групповая скорость п = ш — 2 Иш/г/),. Полагая здесь ); = /г/р = /г/(тп), и = и и рассматривая движение с нерелятивистскими скоростями, получим 1 = ш + и — = — (пт), с/ш с/ о'с с/о откуда г и с = — + сопз1, ш = — + —. о сопз) 2 2 с Далее, г т с/2-1- сопи/и тс /2 т сопз1 й/(то) Л Во всех явлениях произвольные постоянные, входящие в выражения для с и ~с, не играют роли.
Их можно положить равными нулю. Разумеется, решение можно распространить и на движения с релятивистскими скоростями. Тогда, если отбросить не играющие роли постоянные интегрирования, формулы примут вид г г ш= —, /го= тос у ' Ъ/1:сот/ст 2.23'. Решение. Если электрон прошел через щель, то в плоскости самой щели координата х будет фиксирована с точностью Лх Ф, где г/ — ширина щели.
Однако в результате дифракции на щели волновая функция электрона ф будет иметь максимумы и минимумы. Электрон может быть обнаружен в любом месте, где ф т О. Наиболее интенсивным получится максимум нулевого порядка. Его угловая ширина равна 20, причем г/ ип 0 = 2. Практически достаточно принять во внимание именно такой максимум В этом приближении после прохождения через щель неопределенность Лр„импульса электрона получится порядка Лр„= р ип 0 = (/г/Х) ип 0 = /г/с/. Таким образом, ЛхЛр — /ь Более определенное неравенство, которому должны удовлетк ворять Лх и Лр„, с помощью этих соображений указать нельзя, поскольку не указан точный смысл самих величин Лх и Лрк. 2.24'. При рассеянии фотона на электроне рассеянный фотон может попасть в любую точку плоскости изображения. Дифракционная кар~ила в этой плоскости состоит из концентрических светлых и темных колец с цен~ральным светлым кружком, называемым кружком Эйри, радиус которого равен /2 2/р (рис.
142). Практически, рассеянный фотон может быть зафиксирован только внутри крухска, поскольку интенсивность там наибольшая. В этом приближении положение точки попадания фотона в плоскости 215 изображения может быть определено с точностью порядка й. Неточность положения Ьх электрона в предметной плоскости найдется из условия синусов Аббе йр = Ьх з!п а, т. е. ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
